福建基地校厦门双十中学2020年高三数学10月专项练习数列、不等式、算法初步及推理与证明形成性测试

1、数列、不等式、算法初步及推理与证明形成性测试卷第I卷（选择题共60分）、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）等差数列an中，a1 + a5=10, a4 = 7,则数列an的公差为（2.3.4.5.6.7.8.9.123(D)不等式 4x2 12x 9 0的解集为（(A) ?(B) R等比数列an的前n项和为S,已知S = a2+10ai,(C) x|x 2a5= 9,则a1等于(D)(A)已知(A)0 xb1, c0,给出下列三个结论：其中所有正确结论的序号是（）（A）（B）10.已知数列 2 008,2 009,1, - 2

2、 008 ,(C)C. 5(B)(D)(D)2 (D)-312(D)D.必要不充分条件既不充分也不必要条件n ,则此数列的通项公式an等于（1)c ca b(D)； aclog a( b- c).(C)1512n 1(D)-2 009,，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于（）(A) 2 0082 0101011.设是R的一个运算，A是r的非空子集.若对于任意a, be A,有abe A,则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、(A)自然数集乘法和除法（B）（除数不等于零）四则运算都封闭的是（整数集（C）有理数集）（D）无理数

3、集12.数列an满足an 1(1)nan2n 1,则an的前60项和为（(A) 3690(B) 3660(C) 1845(D) 1830第n卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卷的相应位置.ax 1 13.若关于x的不等式组,的解集不是空集，则实数 a的取值范围是 .x a 0,.x,一 14.已知 f (x) = t, x0,右 f i(x) = f (x) , fn+i(x) = f (fn(x) , nC N+,贝U f2020(x)的表达式为.1 十 x .在等差数列an中，a1=7,公差为d,前n项和为S,当且仅当n=8时S取得最

4、大值，则 d的取值 范围为.定义：若存在常数 k,使得对定义域 D内的任意两个 xb X2(XiWX2),均有| f(x1) f (x2)| wk|x1 x2| 成立，则称函数f (x)在定义域D上满足利普希茨条件.若函数f(x)=JX(x1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请在答题卷相应题目的答题区域内作答.求下列关于x的不等式的解集：x(3 x) x(x 2) 1； (II) (x 2) x 3 0.218.已知函数f (x) (a、b为常数)，且方程f(x) x 12 ax b(I)求

5、函数f(x)的解析式；(II)设k 1,解关于x的不等式：0有两个实根为Xi3, X24.f(x)(k 1)x k2 x.已知数列 an 满足 a1 1,an1 2an 1(n N ).(I)求数列an的通项公式;r 一一一一._* .人、一一 . , TOC o 1-5 h z (II)右数列bn满足bi1,bn1bnan(n N ),求通项公式bn；.定义：由n个有顺序的数Xi,X2,X3,., Xn所组成的有序数组Xi,冷，X3,.,Xn称为n维向量，记作rr.2222a(Xi,X2, X3,.,Xn),匕的模 |a|7 XiX2X3.Xn.r已知| a |=i,分力1J解答下列问题：(

6、I)当n=2时，求证：Xi+X2 后；(n)当n=3时，比较Xi+X2 X3与J3的大小，并加以证明；据此写出一个一般性的正确结论(无 需证明).根据规划，本.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业年度投入800万元，以后每年将比上一年减少1,本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建51设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.4(I)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为 bn万元，写出an,bn的表达式；(II)问至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(参考数据：lg2 0.3).已知函数 f0(x)=

7、s_x(x0),设 fn(x)为 fni(x)的导数，nCNi. x兀兀 兀(I)求2fi y 十万七的值；(II)证明：对任意的 nCN*,等式 nfn i + -7-f n - =坐都成立.44421 ，.2xy 得 xy 3,故 xy 1.2 一 ，y 2 1故选B.2n(n 1)119. D【解析】b1,-.a bc c .一 .又c。，.言故结论正确;数列、不等式、算法初步及推理与证明形成性测试卷参考答案2ai+ 4d= 10,ai= 1,B【解析】设等差数列&的公差为d,由题意得解得.-.d=2.ai+3d= 7.d= 2.3D【解析】依题意，(2x 3)2 0,解得x 2 .C【

8、解析】设等比数列&的公比为q,由&= a2+10ai得ai+a2+a3= a2+10ai,即a3=9ai, q2 = 9, 又 a5= aiq4= 9,所以 ai =-.9B【解析】-0 x0.X+ 1 X 2 3r 一1 一一一.x(3-3x) =3x(1 -x)15,此时输出的 k 值为 5.B【解析】若x2 y2 1 ,则由1 x2 y2若xy 1,则取x 1,y1,满足xy 1,但x2n 1n 1 n 2B【斛析】anan 1gan 2n 1n 1 n函数y= xc(cb,，aclog b(b c)log a(b c),故正确.正确结论的序号是.B【解析】由已知得 an= an 1 +

9、 an+i(n2), an+1 = an an-1.故数列的前 8项依次为2 008,2 009,1, - 2 008 ,-2 009 , 1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为 6,且4=0.2 014=6X335+ 4, S 0i4 = &=2 008 +2 009 + 1 + (2 008) =2 010.C【解析】A错：因为自然数集对减法、除法不封闭； B错：因为整数集对除法不封闭； C对：因为任 意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.D【解析】因为an 1

10、( 1)nan 2n 1 ,所以aiai岛1 a1，a37 ai,a5ai, a69 a1，a7 2 a1，a8 15 a1,a9ai, ai017 ai, aii2 a1, a223 a1,a57a1，a58所以113 &, a592 ai, a60119 & ,a a2(A10 (10a?26a60a3 a)(a5 a a?42 L 234a8)L(a57a58a59a60)13.14.15.16.234) 151 18301,0时,0时,0时,)【解析】设P x|ax1 , Q x|x a0)x | axx|xx|xx _. 一1 + 2015x解析1)R,Q x|x 0,此时P Q ?

11、；1), a1)， a0,f2(x)a9x|xx|x综上，a0,0a),此时Pa,要使P1.Q ?,f(x) f(x)a1a1x一,f3(x)f2(x)1f2(x)f2015(x)x1 2015x7d8d0,07d 0,8d 012【解析】由已知中利普希茨条件的定义，若函数f(x)=5(x1)满足利普希茨条件，所以存在常数k,使得对定义域1 , +8)内的任意两个x1x2,则 kn 水l 在Xi X2 x1+ ;1x2x2(x1 丰 x2),均有 | f (x1) - f (x2)|2,所以k的最小值为1)匕(2n 1 1)(22 1) (2 1) 1(2n 122 2) (n 1) 1(2n

12、 2) n 22n n当n 1时也符合上式，所以20.解：(I)当n=2时，由 /、2 (X+X2)n ，*、bn2 n(n N ).r 99| a|=1 得 X1 +X212X12X22x1x22X12X222(X1X2 )X1+X2工,当且仅当X1X22时，等号成立2(注：未写等号条件不扣分，其他方法酌情给分)(n)当 n=3 时，X1+X2 X3r 99证明如下：由|a|=1得x1+x2/、2222(x1+x2+x3)X1x2x3X321 .2X1X2 2x2x32x3X1222X1X2X3X1+X2+X3 后,当且仅当X1根据以上结论可得一般性的结论：(X12 X22) (X22 X3

13、2) (X32,3、X2 X3 q-时,等3成乂x1 x2 x3 . xnn.X12)3.1 _ ,(1 -)万兀，第n年投入为4004400 (5)n 1 1600 (-)n 1.44bn an0 ,即(1 TOC o 1-5 h z 21.解：(I)第1年投入为800万元，第2年投入为800 (1)万元，第n年投入为800 (1 -)n 1万 55元，所以，n 年内的总投入 an 800 800 -800 (4)n 1 4000 1 (-)n;555第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400万元，所以，n年内的旅游业总收入 bn 400 400 5445所以，所求 an 400

14、0 1 (4)n,bn 1600 (5)n 1.54(n)设至少经过 n年，旅游业的总收入才能超过总投入，即1600 (5)n41 4000 1(4)n 0，54 n1 (舍去)，即(一)n5又 lg 2 lg 5 15.2一 ,5所以 TOC o 1-5 h z .42令x(一)，代入上式整理得 5x2 7x 2 0,解此不等式得 x 一或x5542两边取常用对数得nlg lg-n(2 lg 2 Ig 5) Ig 2 Ig 5 ,55n(3lg2 1) 2lg2 1 n 21g 2 10.6 1 4,又 n N * ,所以 5所3lg 2 10.9 1答：至少经过5年，旅游业的总收入才能超过

15、总投入22.解：(I)由已知，得 f i(x) =f 0( x)sin x cos x sin xcos x是 f 2( x) = f 1 ( x)=- xsin xsin x 2cos x2x x2sin x-x3，jf2 J- U22兀 兀故 2f 1 万 + f 2 = 1.(II)证明：由已知得，xfo(x)=sin x,等式两边分别对即 f o(x) + xf 1(x) = cos x=sin x+ .类似可得2f 1(x)+xf2(x) = sin x=sin(x+jt),3兀3f2(x)+xf3(x) =cos x=sin x+ -,x 求导，得 fo(x) + xf o (x) = cos x,4f3(x) +xf4(x) = sin x=sin(x+2jt).卜面用数学归纳法证明等式nf n 1(x) + xf n(x) = sin对所有的nCN*都成立.(i)当n= 1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n = k时等式成立，即 kf k1(x)+xf k(x) =sin x+q因为kf k1(x)+ xf k( x) = kfk 1(x)+ f k( x)+ xf k (