矩形大法讲座

1、中考数学矩形大法讲座学生也要进入期末复习了，我和同事今晚在这里也来交流复习一下“矩形大法”，也 是我们这些学生向于特交的一份作业也希望熟悉“矩形大法”的群友，一起和我完成这份作业讲座中肯定有许多不完善的地方，有不妥的地方还请大家多多包涵，也真诚地希望大 家提出来，我们一起研讨！还有由于本人不会几何画板，所有的图都不怎么漂亮，大家也就将就点看咯我们主要从三个方面和大家交流：一：“矩形大法”的提出背景二：“矩形大法”的基本构造三：“矩形大法”的实例应用一、矩形大法”的提出背景问题：我们如何刻画一个角大小呢？是的，角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是 常被我们忽略的边

2、长刻画法（即三角函数值）。如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计 算出来。但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。也许学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式但现在讨论的背景是初中数学教学因此我们要回避用高中数学知识作为南通人，我首先要提的就是南通2014年的28题第三问：口 14南通）如图，抛物线+21+3与工轴相交于乩E两点，与轴交于C,顶点为D设P为工轴上的一点，总口+ P0= 当面12凡=4时，求点P的坐标.十DV不知大家第一次看到这道题

3、的第一反应是什么？能否在短时间中用传统方法解决？看到两角和差关系这样的条件想到什么？本题它有比较巧妙的求法，但要发现，还是需要一定的时间的。第 1 页共 19页这里涉及到两角和差关系，需要说明的是，命题人员绝非希望你采用高中“两角和与 差的三角公式”去解决问题，这是由于：他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的，而且只要方法得当，的确能够 解决问题即使意识到了，他们认为因为初中不具备这样的知识，有这样的想法却因为不具备 的能力，从而无法解决原问题最关键的原因是，由于命题人员想出了构思极为巧妙，常人很难想到的解法.于是，这样的考题在不知不觉中出现了，而且通常情况下，这样的考题必定处于试卷 中

4、的难题位置那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系，那不就可以不花多少 时间直接攻破此题了呢！再譬如今年盐城的中考题第3问：（2口 1加盐城改编）如图，已知故3小CQQ、G （0,373）（3）连接CG,如图，P为ACG内一点，连接PA PC. PG,分别以AP、AG为边，在 他们的左侧作等边APR,等也AAGQ,连接QR求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.这题给出的答案也比较复杂，我想学生在短时间里容易找到点P的位置却不易求出点P坐标。那么这题究竟如何成功破解呢？而类似这样的问题不管小题，大题，其实在中考中是比较多的。现在的问题是，有些题目构思非常

5、巧妙，但采用“因果确定法”思考，面临的困难就 是：已知两个角的大小（边长刻画），最后只有在解决了这两个角的和或差的问题后，才 能真正解决原问题。那么有没有既遵从原始的“因果确定法”的思考方法，又付出代价不大，同时还易于 操作的解法呢？也即如何做到“想有背景，解不超纲”呢？这就让人开始思考从比值刻画一个角的大小，就得出现一个包含这个锐角的直角三角 形。那么两个角呢？就必须出现两个直角三角形。最后还要有两个角的和或差的大小的比值刻画，即出现了第三个角，又必须出现一个 含有这个和角或差角的直角三角形。这样就需要三个直角三角形，那么怎样才能沟通彼此 联系呢？在平时的基本构图模型中有吗？在这些想法的基础

6、上，朦朦胧胧地继续探求构造，最后终于产生了那个精妙绝伦的矩 形一下子全部满足了要求！为了在网络上交流，既有一定的趣味性，又揭示方法的本质，于特将其取名为“矩形 大法”。我们在课堂上有时为了表述的方便或激发学生的学习兴趣和积极性，也可以一起 命些名称，不必太过计较说法，我的课堂里还有个“晨博公式”呢！(晨博是我现在的一 个学生名字)二、“矩形大法”的基本构造下面我们以75，15这两个特殊角为例聊聊矩形的构造我们可以通过30与15的倍半角关系求出tan15的值，通过互余关系求出tan750 的值。那如果利用30，45这两角的和差关系又该怎样构图表示出75与15的正切值呢？1、先思考75即45与30

7、和的构造：。、根据刚才的阐述，我们究竟该如何用比值来刻画45 ，30，以及75这三个角呢？苜先得先把4T弟和前“角(X2)都要构在一个直角三焦彩中，为了有方。，想到平行角相等，所以构矩形媪具体操作的时候可以按如下步骤：（1）作一个45。角（20）如图，水平的那条线为第一条线，另一条为二号线（两个角 公共边），（2）在二号线上取点A向角的外部作垂线，构造/加乒30 t也即以OA为公共边向%外构造一个含30角的直角三角形ABO）+J（3）过点A, B,三点分别作坐标轴的垂线，框成一个矩形OCDE ,有此得到2EBO= ZEOC =75（4）由一线三直角得到两个阴影的三角形相似，相似比为AE和人的比

8、1： 值 不 妨令B。为1,由45则AD=BD=h由相似比知QC=AC=75,所以OE=CD= 73 + 1- EE=ED-BD=-1,顺时针标出矩形边上各线段的值（如图）得出tarLZEB0=tanZB0C=tan75o2、15即45与30差的构造刚才两角和是在一个角的基础上向外“扩张”，现在是两角差，该如何构造呢?作T 4父启上由A抬在二号鳍上取点也向角的内露作垂娃，构造二切淤3（r 也即iHqa迎为公共边 向内树造一个含3口,需的苴角工第我揖W（3过点儿民口三点分别存坐标柏的垂筑.框成一个拒肠口仃坦.有比得到EOE就为15C地*BD为I，逆时针可标出矩形边上各线段的值(如图)霜出tan/

9、TEO即七小正。4 后一(4)由一线三直角得锣两个三角的相似，相似比为AB和0A的比I：JL不妨令tanor=-,求tan力l11 =-3、已知 2即构图说明223借用上次纪博士讲座中的图：I It II 1 H了式 F12345”特版T 23 4 5十倍半 %ci+ g15lan a= lan现在如何用矩形构造呢？【江苏苏晓艺(361604892)向外作是求和，向里作是求差】总结的好！这里我们可以仿照上面的15，75，的构造，得到如下的构图如图：同样可以构造|工构造如图得到矩形OCDE,因为由相似知tan/E助二士如2g所以ED:AD=1： 2, 2不妨令ED=1,则知=2,两个三角形的相似

10、比为妞:0对1:2,所以虹=2, 0C=4.4可tan 2 EBO t an2 Ci 从这里可以看出“12345”显然可以看成是“矩形大法”的一个特殊运用掌握了矩形大法，要解释为什么有：“1/2” + “1/3”=45,“1/2” + “1/2” = “4/3”等，就显得非常容易了哦！其基本步骤是：构直角，框矩形，用相似，表线段。下面先来几个小题，热下手哦！已知：tan or = 2, tan户=；,求tan (or+产)的值【四川黄拾樵(413969651)已知：tan o； = 3, tan尸=工，求tan（、境-校）的值2如图，点A（2,4）, ZB=90 , OB=AB求点B的坐标.解

11、法一：这里A点确定，所以2也确定，又/也0B确定，于是求点B就是求2BCJK即 ZAOXMZAOB,两角的公共边为0A,所以过点A向内作0A的垂线交0B延长线于点C,过点A,C,0构矩形口。印,易知hODA咨AZEC,根据点A坐标可求出矩形边上各线厚的长，则点C坐标为（包2）,易知点B为0C中点，所以点B坐标为（3,1）解法二:这里有现成的直角，可直接过点OAB框矩形口口印,这里tanZAOD=-, ZA0BM5 2。，所以由弘5可求tan2B0F=；,0B为而，所以卑B坐标为（3,l）o4如果是填空或选择的小题，那就可秒了哈殳在平面直角坐标系四乩中，A （屯口），B（0,3）。若点C在第一象

12、限里, 且AABC是等边三角形，求点C的坐标。这里A;B点的坐标是确定的，所以/DBA的大小也是确定的，而2 ABe的大小也是确定的, 所以这里就可以看成求/CJHA+2 ABC 了，两角的顶点为B,公共边为EA,所以过点A作 AB的垂线交BC延长线于点D,然后依次过三线上的点框矩形，(如图)易知点C为BD的中点，可求得C点坐标为(2 + )22川E解法二：根据等边三角形的特殊性，作AB边上的高，过垂足构一线三直角框矩形也 是比较方便的。4、先来看一道2013淄博中考题的第三问口13淄博)如图，工EC是等边三角形，A (4, 0),(7 (0, -23 ), D (10, 口),求2口的正切值

13、.本题中求NODB的正切值的关键是什么呢？本题中求NODB的正切值，一边OD确定，所以只要确定点B的坐标即可。这题就和 上一个小题一样了。这里既可以看成NOAC+60。角，也可以是NOCA+60。角的和差关 系，可构如下图：5、再来个中考小题解：构造如图所示的拒形OABC,则点产13由此可谀点p 3曲唠(泗川3代人求解 得V因此C萍这里求出F (7,1),知tanZFOA= 1 , P在射线OF上，所以增量巧设P点左标为(7m,m)，将其代入解析式即可。现在我们再回过头来看南通的这道中考题：口 14南通）如图，抛物线=一/+21+3与工轴相交于工、3两点，与轴交于C顶点为R设尸为工轴上的一点，

14、ADAO+ADPQ=A当tan/E=4时，求点尸的坐标现在看到“NDAO+NDPO=Na，”这个条件，有想法了吗?试想我们找到了 P点，由上图可知，这里点1,4）,点效-1,力都是确定的，所以tanZDJlO2 显然是确定的，值的大小显然也是确定的，那么如果求出29F口的大小，那幺这道题目立 刻就“土崩瓦解”了.根据NDPO=Na -ZDAO现在估计很多朋友在“施法”框矩形了!2由图可知 tanZZ)PO=tanZ1= p 9而DF=4,所以FP=18,所以P点坐标为（19,0）或（-17,0）如果在原图外另构图的话，那是不是分分钟的事情呢!即使我们不向学生介绍这种方法，作为教师掌握了这个“大

15、法”，当学生来问你题时，你能快速地报出答案，那学生岂不对你佩服的五体投地呢！第 12 页共 19 页由点D坐标（1,4）不难发现图中隐藏的2心就是2。口区 则构图如下：|产1-17, 0)9在原图上就可以如上构图利用平行关系可知NGDO=NDOX=tan a =4,在NGDO内部过点O作垂线构造tanZ EDO=tanNDAO=2的直角三角形，所以两阴影的三角形的相似比为1:2,则可表示出矩形 FDGH边上各部分线段长，可得P点坐标为（-17,0）再根据对称性得另一点坐标（19,0）除了这种矩形构造,我们还可以构造更具一般性的矩形。【广州苏德杰（14814998） 21:59:12本想静静地学

16、习,发现实在不行。黄萍老师是一位优秀的数学老师,其他老师能否静 静聆听讲解呢？您上课讲的时候学生也讲,有何效率？有问题能否课后问？得罪了。】图中tan/HDA=a,所以两相似三角形的相似比为4:1,依次标出矩形边上各线段 DA的长，DFM, AF=2,由相似比得 AG=16, GH=8, HE=GF=18, EDM,可知。为 EF 中点,所以易知FP=HE=1乱所以OFT。.所以P点坐标为（19,口），由对称得另一点P （-17口）裂这里由于题中D点的坐标特征，利用tan/DOF=4,命题人存在构思巧妙的方法倘若我们没有发现这一点呢？但这里用“矩形大法”，我们可以无视这个条件譬如把“tan/a

17、 =4”改成3也许原先的巧妙构思就不再可以了，而“矩形大法”在此可再显其神威无论怎么变，只要两角的值是确定的，都可以“强行破门”，“直接碾压”大家可以一试其实只要在上图中改动几个数据即可：图中tan/HDA=3,所以两相似三角形的相似比为3:1,依次标出矩形边上各线段的长就OK 了！ P（-27,0）或（29,0）7、再来破解今年盐城的这题：（2口盐城）如图，已知氏-2口）、G （0,373）（3）连接CG,如图，P为ACG内一点，连接PA PC、PG,分别以AP、AG为边,在他们的左侧作等边APR,等边AGQ,连接QR求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标

18、.由图易得PG=QR,P&=PR,所以P也+FC+PG=PR+PC+QR，所以当Q、R、P、C四点共线时取 得最小值.炉由图3易知，Q点坐标为(-6, 3也),是确定的，点C (1,0)也是确定的，所以2QCA也是确定的，tanZQCA=-,而2QCA+2PAC=2处q二台口。，所以2PAC也是确定的,这里AC=4是确定的，所以点P是确定的. ZPAC=60 -ZQCA,即可构造矩形求出tanZPAC 的值.由图4,求出tanZPAC=- =,在图3中，不妨设PH=3“旧m,则CH=7m, AH=12m 1644_所以12m+7m=4,m=一，所以，点P的坐标为 199 127319, 19),P也+PC+FG最4、值为2、回炉年（加16年广西贵港市）如图，抛物线尸建+h笈-5 （aO）与x轴交于点口（-5, 口）和点B （3, 0）,与y轴交于点C.4（1）求该抛物线的解析式；y = ；0 + 5）O-3卜（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当5 ABE=S ABc时，求点E的坐标；W-2.-5A（3）在（2）的条件下，抛物