09年国内建模竞赛全部试卷35队题

1、2009 高教社杯大学生数学建模竞赛承诺书仔细阅读了学生数学建模竞赛的竞赛规则.完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）、与赛题有关的问题。知道，别人的成果是竞赛规则的, 如果别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文处和参考文献中明确列出。郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。竞赛规则的行为，受到严肃处理。参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：A的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：0835所属学校（请填写完整的全名）：哈尔滨工程大学参赛队员 (

2、打印并签名) ：1. 马骞 张鹏飞(打印并签名)：指导教师或指导教师组日期： 2009年 9 月 14 日赛区评阅（由赛区评阅前进行）：08352009 高教社杯大学生数学建模竞赛页赛区评阅（由赛区评阅前进行）：赛区评阅（可供赛区评阅时使用）：（由赛区送交前）：评阅（由评阅前进行）：评阅人评分备注制动器试验台的控制方法分析摘要问题 1 中，问题 2 中，应用物理学知识，解出等效的转动惯量为 51.9989 kgm2。了等效转动惯量、机械惯量以及电的转动惯量之间的关系，考虑到了当等效转动惯量大于机械惯量时，电促进主轴转动；当等效转动惯量小于机械惯量时，电阻碍主轴转动。计算出了三个飞轮的转动惯量，

3、并进行了组合，得出这三个飞能得到 8 种机械惯量，分别是 10、40.0083、70.0166、100.0249、130.033、160.0413、190.0496、220.0579（单位是均是 kgm2）。在电补偿惯量范围为-30, 30 kgm2 的情况下，得出了电补偿惯量的两个解，分别是 11.9906、-18.0177（是均是 kgm2），这里正值就表示电促进主轴转动，负值表示电阻碍主轴转动。问题 3 中，应用物理学的转动定律知识，最终建立了驱动电流与主轴瞬时转速的微分方程模型。在解决具体的实际问题时采用了适当的近似计算，将主轴瞬时转速在某点对时间的导数近似为瞬时转速在某一小时间段内的

4、平均变化率，得到的驱动电流值为 174.688 A（此时电为正补偿，转动惯量的值为11.9906）和262.496 A（此时电为负补偿，转动惯量的值为-18.0177）。问题 4 中，利用了能量守恒定律，采用了“化未知为已知”和“逐段累加求和”的，分别计算出了制动器在试验台上制动时消耗的能量 EE 及在路试时消耗的能量 ER，并计算了相对误差，其值为 8.02%。认为问题 4 中所给出的计算机控制方法所取的时间步长（10 ms）过长，当试验受到外界的扰动时，驱动电流不能够做出及时的调整，导致可观测离散量的瞬时转速与瞬时扭矩不精确。问题 5 中，利用了控制方法，当得到前一个时间段瞬时转速，即完成

5、一次采样过程。利用微分项对误差变化的趋势进行微分，反馈给电动机，进而调节驱动电流，利用问题 3 中的模型设计出本时段驱动电流的值。问题6 是对问题5 的改进可在采样周期内通过压力传感器对制动扭矩进行检测。仍然使用控制方法，利用扭矩与电流的关系来计算出本时段的驱动电流值。的模型较为简单，是对实际问题的高度抽象，能够基本反映实际工作原理。缺点是模型成立的条件过于理想化。在计算过程中，采用的近似计算带来了一定得误差，但是可以通过增加测量数据的数量、缩短时间间隔来缩小近似计算的误差。：制动器试验台；等效惯量；电流控制；控制方法；微分方程；近似计算一、问题重述汽车的制动性能是确保车辆行驶安全性和车辆行驶

6、动力性的决定之一。进行制动器试验，检测其装配制动性能不可或缺的工作。价它的综合性能，成为改善制动器为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试：车辆在指定路面上到指定的速度，断开发的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值一下。假设路试时轮胎与地面的摩擦为无穷大，故轮胎与地面无滑动。但是，车辆设计阶段只能在制动器试验台上进行模拟试验，原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷，将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构

7、转动时具有的能量，与此相应的转动惯量称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如当机械惯量小于等效惯量，而不能用机械惯量精确模拟实验时，可在制动过程中让电在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。一般假设试验台采用的电的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为，且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的

8、制动器与相应的试验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。求：设车辆单个前轮的滚动半径为 ，制动时承受的载荷为 ，求 等效的转动惯量。飞轮组由 个外直径 、内直径 的环形钢制飞轮组成，厚度分别为 、 、 ，钢材密度为 ，基础惯量为 ，问可以组成哪些机械惯量？设电能补偿的能量相应的惯量的范围为 ，对于问题 中得到的等效的转动惯量，需要用 电量？补偿多大的惯建立电驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题 和问题 的条件下，假设制动动 秒后车速为零，计算驱动电流。度为常数，初始速度为 ， 制 对于与所设计的路试等效的转动惯量为 ，机械惯量为 ，

9、主轴初转速为 转分钟，末转速为 转分钟，时间步长为 的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。 按照第 问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。第 问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。二、模型假设 不考虑风等对系统造成的能量损失。 不考虑电做功时产生的内能。三、符号说明：的半径，为 米。：钢材密度。：飞轮的厚度。：等效的转动惯量。：机械惯量，为飞轮的惯量与基础惯量之和。：制动开始之后电的补充惯量。：角度。主轴、车轮、电机等的角

10、度是相等的，都用这个符号表示。：电对主轴产生的扭矩。：制动器对主轴产生的制动扭矩。：主轴的瞬时扭矩，是可观测量。：通过电的瞬时驱动电流。：电的驱动电流与电产生的扭矩之比，值为。：制动器在试验台制动过程中消耗的能量。：制动器在路试的制动过程中消耗的能量其余的符号将在文中解释。四、问题分析图 制动器实验台结构简图 试验台各部件的转动惯量关系分析因为飞轮的转动惯量是离散的值，所以需要与驱动电机配合，才能模拟出等效的转动惯量。由此可以得到等式当时，电促进主轴转动，电补偿的转动惯量；当时，电主轴转动，电补偿的转动惯量。 驱动电流与可观测量模型分析第 题中要求题中条件建立电驱动电流依赖于可观测量的数学模型

11、作为突破口。再根据物理学中的转动定律就能得到 与主轴角速度 的关系，进而得到 与可观测量主轴的瞬时转速的关系。 制动过程能量分析与计算机控制方法的评价对控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，由此应分别计算出路试时的制动器以及其对应的试验台上的制动器在制动过程中消耗的能量。 试验过程中，制动器消耗能量求解方法分析在制动过程中，根据能量守恒定律，有如下关系这里，、分别代表制动开始、结束时系统的机械能，可以由公式计算得出。 表示由于制动器做功而转化成的内能，亦即制动器在制动时消耗的能量（根据模型假设中的第 条，电产生的内能不计，故式成立）。因此下面如何计算。其中为电对主轴产生的制动扭矩；

12、为制动开始时刻， 为制动结束时刻；为主轴瞬时角速度。在原题向提供的数据中，可观测量是主轴的瞬时扭矩和主轴的瞬时转速 ，而 可以用 表示出来，于是应当想办法用表示，这样就能化未知量为已知量，进而求出。 路试过程中，制动器消耗能量求解方法分析由能量守恒定律，可以得到路试时制动器消耗的能量为其中、分别为制动开始时刻和制动结束时刻主轴的瞬时角速度，它们可由主轴瞬时转速表示出来。 控制方法的评价分析在计算出了和之后，应当利用“相对误差”的概念来评估该控制方法的好坏。五、模型的建立与求解 等效转动惯量根据物理学知识，进行如下计算其中是制动时承受的载荷；，是重力度。这样，等效的转动惯量为。 机械惯量组合及电

13、补偿惯量由题意，代入数据计算表 不同厚度的飞轮及其相应的转动惯量由此可以得到如下的机械惯量表 不同的机械惯量组合以及电补偿惯量的理论值表格中最后一列所示的电补偿的惯量（）中，正值表示等效的转动惯量大于机械惯量，而负值表示等效的转动惯量小于机械惯量。如果电能补偿的能量相应的惯量的范围为 ，那么符合要求的解仅为第 、 组，即（）仅有厚度为 米的飞轮一个，此时电需要补偿 的惯量；（）仅有厚度为 米的飞轮一个，此时电需要补偿的惯量。 电驱动电流依赖于可观测量的数学模型及在一定条件下的驱动电流 电驱动电流依赖于可观测量的数学模型由物理学中的转动定律、角度的定义及题中条件可知组合序号飞轮惯量（）基础惯量（

14、）组成的机械惯量（）电补偿的惯量（）飞轮厚度（）转动惯量（）因此，有又因为所以知道知道，频率与转速 （）的换算关系为带入上式，有故这就是驱动电流与可观测量瞬时转速 之间的函数关系。当 非常小时，可以做近似计算，有即求得了某一时段内，电驱动电流 的近似值。 求在一定条件下的电驱动电流在第 、 及 题的条件下，有当制动度为常数时，有如下等式将上式带入式，得代入各项数据，得当等效惯量大于机械惯量时，电流值为；当等效惯量小于机械惯量时，电流值。这两个电流的方向是相反的。 针对于某种控制方法的评价根据 中的分析，下面就来计算和。由物理学中的转动定律，有在 中已经分析出式。另外，由于题中所给的数据：等效转

15、动惯量大于机械惯量，所以在制动试验过程中，电输出的扭矩、制动器对主轴产生的扭矩以及可观测量主轴的瞬时扭矩满足这样，、式联立可以 解得因此，有、 分别表示题中所给的电子表格中瞬时扭矩和瞬时转速。题中一共给出了个 时 间 点 ， 可 以 分 成个 时 间段，则 ，故上式可化为所以，的表达式为对于，有在以上两式中带入电子表格中提供的数据，计算得出那么，能量误差为则相对误差 为评价：经计算得知，能量误差，。相对误差为为该方法所取的时间步长（）过长，当试验受到外界的扰动时，驱动电流不能够做出及时的调整，导致可观测离散量的瞬时转速与瞬时扭矩不精确。 基于 原理的驱动电流计算机控制方法采用 控制原理来实现本

16、时间段电流值的计算机控制方法。已知 控制规律输出函数传递函数其中为比例系数， 为调节周期， 为积分时间常数，为微分时间常数。由于在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。而在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分成正比关系。自动控制系统在控制误差的调节过程中可能会出现震荡甚至失稳可以利用微分控制中的微分项误差变化的趋势，即与或 ，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零。当得到前一个时间段瞬时转速与或瞬时扭矩，即完成一次采样过程，采样器的采样时间 远小于采样周期，在本控制方法中，可近似认为。可利用微分项对误差变化的趋势进行微分流，设计出本时段驱动电流的值，反馈给电，进而调节驱

17、动电逐次进行该过程，直到完成制动。评价：使用 计算机控制方法，使系统的自动化程度提高，同样也提高了试验的精度，使电惯量提供的能量减少，即使路试与试验台检测的能量的差值减少；使用 控制系统，可通过微分项迅速对所测量作出趋势并进行反馈，故整套试验系统的性能增强。 控制方法的改进与评价根据题意可知，一般假设试验台采用的电的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中的比例系数取为）。又推导得可在采样周期内通过压力传感器对制动扭矩进行检测。利用微分控制中的微分项对制动扭矩变化的趋势进行流的输出。，反馈给计算机，进而控制本时间段驱动电六、误差分析在问题 、 中建立的模型，在求解的过程中采用了近似计算，这样就产生了误差。 中计算了驱动电流这里，在的情形下，认为，从而有在 计算时，所给的时间分成一个个步长为 秒的小段，计算每个小段上的能量，再将这些能量累加起来，这样会产生一定的误差。而且，在第 段上，用 对应的 来代替整个这个小时间段的瞬时转速，这里也会产生误差。显然，对于以上两种情况，增加数据测量量，缩短时间步长，有利于缩小误差。七、模