按年龄分组的人口模型

1、按年龄分组的种群增长模型一一Leslie模型 种群直接通过雌 性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较 方便。下面提到的种群数量均指其中的雌性，总体数量可按照一定的 性别比算出。将种群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组，如每1岁或5岁为 1组。与之相对应，时间也分成与年龄组区间大小相等的时段，如1 年或5年为一个时段。记时段k第i年龄组的种群数量为 x.(k),k=0,1,2 ，i=1，2，3，4， ，n。在稳定的环境下和不太长的时间内，合理地假设种群的繁殖率和 死亡率不随时段k变化，只与年龄组有关。记第i年龄组的繁殖率为 b.，即每个(雌性)个体在1个时段内繁殖的数量；记第

2、i年龄组的 死亡率为d.，即1个时段内死亡数量(占总量)的比例o si=1-di称为 存活率。通常，和s.可由统计资料获得，且有以下性质：=0，i=1，2，3，n，且至少有一个b.0； 0s.=1,i=1，2， 3， ，n-1o种群数量x.(k)的变化规律由2个基本关系得到：时段k+1第1 年龄组的数量是各年龄组在时段k的繁殖数量之和；时段k+1第i+1 年龄组(i=1，2,，n-1)的数量是时段k第i年龄组存活下来 的数量，由此得到x1 (k+1)=况 b x(k),k=0，1，2， (1)i =1x.+1(k+1)=s.x.(k)，k=0， 1，2， ，i=1，2， ，n-1 (2)(1)

3、，(2)是差分方程组，记种群数量在时段k按照年龄组的分布向量为x(k) = (x1(k),驾(k),xn(k)T,k=0, 1, 2 (3)由繁殖率q和存活率椿构成的矩阵 x(k)limk s入k 1七i b000 0b b1 2s 012L = 0 s0 0 s 1 0则(1), (2)可表为x(k+1)=Lx(k), k=0, 1, 2 (5)当矩阵L和按年龄组的初始分布x(0)已知时，可以预测种群数量在 时间段k按年龄组的分布为x(k)=Lkx(0)，k=1，2， (6)有了 x(k)，不难算出种群在时段k的总数。显然，种群数量的变化规律完全由矩阵L确定，这个矩阵是20 世纪40年代由L

4、eslie提出的，称Leslie矩阵(简称L矩阵)，由(3) -(5)给出的模型称Leslie模型。Leslie模型的稳态分析 下面研究时间充分长以后(即kf8)， 种群的年龄结构和数量的变化。首先不加证明的叙述关于L矩阵的两个定理。定理1 L矩阵有惟一的单重正特征根尢和正特征向量 TOC o 1-5 h z x*=1,s1/人 1, ss2/A 12,s1s2sn /A 1n-it(7)其他特征根 k满足A |1时种群各年龄组的数量递增，A 11时种群数量增长，R1时种群数量减少。 对于人工饲养的动物，可以调节各年龄组的繁殖率bi和存活率si来 改变总和繁殖率R按年龄分组的人口模型 按照Le

5、slie模型的基本思路，将考虑 年龄结构和生育模式的连续型人口模型离散化，即可得到离散形式的 人口模型，这里不考虑迁移等社会因素的影响。用xi（t）表示第t年i岁（指满i岁但不到i+1岁）的总人数，t=0, 1，2，i=0, 1，2，n-1 （设n为最高年龄），b （t）i表示第t年第i岁女性生育率（每位女性平均生育的婴儿数），育龄 区间为i1, i2。简化地假设女性比与时间无关，用匕表示i岁人口 的女性比，于是第t年出生的婴儿数为f(t)= b (t) kx (t)(18)i i ii=i1引入生育模式,将bi(t)分解为bi(t)= p(t)%，h=1(19)i=i1这里简化地假设生育模式

6、只与年龄有关，其具体形式可取连续型人口模型给出的r分布。由(18)，(19)式有f(t)邛(t)hkx(t)(20)iiii=i1p(t) = bt)(21)i=i1p (t)是第t年所有孕龄女性平均生育的婴儿数，若女性在整个孕龄期 内保持生育率不变，则p(t)就是第t年i1岁的每位女性一生平均生育 的婴儿数，即总和生育率(简称生育率)或生育胎次，是控制人口数 量的主要参数。简化地假设死亡率与时间无关，记i岁人口的死亡率为牛 存活率为 si=1-di,i=0，1，2，n-1，则Xi+1 (t+1)=SiXi (t)，t=0,1,2,i=1,2,n-1(22)而xi(t+1)是第t年出生的婴儿中

7、存活下来的数量，即s0f(t)(这里f(t)=x(t)，于是0 x(t+1)= p (t) rx (t)，r =shk(23)1八/ i 广， i 0 i ii=i1引入按年龄分组的人口分布向量 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark29 o Current Document x(t) = x.(t), x (t), ,Xn(t),T, t=0,1,2(24)为了清楚地表明,)的作用，将(4)式的L矩阵分解成两个矩阵， 记0000s00010s 002 00 s0，n-10000r0r. 1200000 .000 000(25) TOC o 1-5 h z 则模型

8、(23), (24)式可表为x(t+1)=Ax(t) + 阳)Bx(t)(26)由统计资料可以得到人口的初始分布x(0)及当前的存活率七、女性比k，只需合理地给定今后的s、k即生育模式h，就可以设定 ii ii不同的总和生育率P (,)，来预测或控制未来的人口总量和年龄结构。在控制理论中，x(t)为状态变量，p(,)为控制变量，(26)式对于x(t)和p(,)都是线性的，称双线性方程。在离散模型中，x(t)是人口发展过程的完整描述，像连续型模型 一样，也常用一些人口指数简要地表示一个国家或地区的人口特征，人口总数N（t）二）i =0平均年龄R（t）二上）（28）N（）i=0 i平均寿命S（t）= exp（-d （t）（29）i j=0i=0离散形式模型的优点是便于用计算机作数值计算,20世纪70年 代末曾用这类模型，根据1978年的统计资料对21世纪我国人口总 数作预测。在不同的总和生育率。下得到了 19802080年一系列结 果，图1是这些结果的略图。计算结果表明：1）若3 =3.0（ 20世纪70年代中期水平），则2000年将达14.2 亿，2080年达43.1亿，近于那时全世界人口总和。2）若3 =2.3（约为1980年水平），则2000年将达12.9亿，2080 年达21.2亿。3）若3 =2.0 （大约是保持人口长期稳定的水平），则在2