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文档简介
1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,,则ABCD2函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为( )ABCD3某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱
2、锥的体积为( )ABCD4在中,“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5 “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来,“一带一路”建设成果显著.如图是20152019年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述错误的是( )A这五年,出口总额之和比进口总额之和大B这五年,2015年出口额最少C这五年,2019年进口增速最快D这五年,出口增速前四年逐年下降6已知等比数列的各项均为正数,设其前n项和,若()
3、,则( )A30BCD627已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则( )AB2CD38设函数满足,则的图像可能是ABCD9已知正三角形的边长为2,为边的中点,、分别为边、上的动点,并满足,则的取值范围是( )ABCD10我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是( )(结果采取“只入不舍”的原则取整数
4、,相关数据:,)ABCD11在中,角所对的边分别为,已知,则( )A或BCD或12历史上有不少数学家都对圆周率作过研究,第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,开创了圆周率计算的几何方法,而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值,他的方法被后人称为割圆术近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现,使得值的计算精度也迅速增加华理斯在1655年求出一个公式:,根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图,如下图所示,执行该程序框图,已知输出的,若判断框内填入的条件为,则正整数的最小值是ABCD二、填空题:本题共4小
5、题,每小题5分,共20分。13直线xsiny20的倾斜角的取值范围是_14正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为_15已知实数满足则点构成的区域的面积为_,的最大值为_16设平面向量与的夹角为,且,则的取值范围为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,求四面体的体积.18(12分)设等差数列的首项为0,公差为a,;等差数列的首项为0,公差为b,.由数列和构造数表M,与数表;记数表M中位于第i行第j列的元素为,其中,(i,j=1,2,3,).记数表中位于第i行第j列的元素为,其中(,)
6、.如:,.(1)设,请计算,;(2)设,试求,的表达式(用i,j表示),并证明:对于整数t,若t不属于数表M,则t属于数表;(3)设,对于整数t,t不属于数表M,求t的最大值.19(12分)已知函数,函数.()判断函数的单调性;()若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.20(12分) 选修4-5:不等式选讲:已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)设,且的最小值为.若,求的最小值.21(12分)某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评,该公司随机调查了100颗芯片,并将所得统计数据分为五个小组(所调查的芯片得分均在内),得到如图所示的频率分布直方图,其中(1)求这100颗芯片
7、评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分,则认定该芯片不合格;若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分,则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测,二测时,2个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,手机公司将认定该芯片不合格已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立,并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机
8、公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率)每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元,每颗芯片若被认定为合格或不合格,将不再进行后续测试,现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片?请说明理由22(10分)已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于、两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)设为抛物线上任意一点(异于顶点),过做倾斜角互补的两条直线、,交抛物线于另两点、,记抛物线在点的切线的倾斜角为,直线的倾斜角为,求证:与互补.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
9、的。1D【解析】因为,所以,故选D2D【解析】 由题意得,函数点定义域为且,所以定义域关于原点对称, 且,所以函数为奇函数,图象关于原点对称, 故选D.3B【解析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形,且一侧棱垂直于底面,由此求出四棱锥的体积【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形,且一侧棱垂直于底面,画出四棱锥的直观图,如图所示:则该四棱锥的体积为.故选:B.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题,是基础题4C【解析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为,再利用大角对大边,结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减,且,由,可得,由正弦定理可得.因此,“
10、”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定,同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用,考查推理能力,属于中等题.5D【解析】根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A项,由统计图可得,2015年出口额和进口额基本相等,而2016年到2019年出口额都大于进口额,则A正确;对B项,由统计图可得,2015年出口额最少,则B正确;对C项,由统计图可得,2019年进口增速都超过其余年份,则C正确;对D项,由统计图可得,2015年到2016年出口增速是上升的,则D错误;故选:D【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题,属于基础题.6B
11、【解析】根据,分别令,结合等比数列的通项公式,得到关于首项和公比的方程组,解方程组求出首项和公式,最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为,由题意可知中:.由,分别令,可得、,由等比数列的通项公式可得:,因此.故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查了数学运算能力.7B【解析】过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由和抛物线的定义可求得,利用抛物线的性质可构造方程求得,进而求得结果.【详解】过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由抛物线解析式知:,准线方程为.,由抛物线定义知:,.由抛物线性质得:,解得:,.故选:.【点睛】本题考查抛物
12、线定义与几何性质的应用,关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.8B【解析】根据题意,确定函数的性质,再判断哪一个图像具有这些性质由得是偶函数,所以函数的图象关于轴对称,可知B,D符合;由得是周期为2的周期函数,选项D的图像的最小正周期是4,不符合,选项B的图像的最小正周期是2,符合,故选B9A【解析】建立平面直角坐标系,求出直线,设出点,通过,找出与的关系通过数量积的坐标表示,将表示成与的关系式,消元,转化成或的二次函数,利用二次函数的相关知识,求出其值域,即为的取值范围【详解】以D为原点,BC所在直线为轴,AD所在直线为轴建系,设,则直线 , 设点, 所以 由得 ,即 ,所以,由及
13、,解得,由二次函数的图像知,所以的取值范围是故选A【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用,以及转化与化归思想的运用10C【解析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为 据题意得:, 解得2n12, n21故选:C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11D【解析】根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,或,或故选:【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.12B【解析】初始:,第一次循环:,继续循环;第二次循环:,此时,满足条件,结束循
14、环,所以判断框内填入的条件可以是,所以正整数的最小值是3,故选B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】因为sin 1,1,所以sin 1,1,所以已知直线的斜率范围为1,1,由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是答案:14【解析】试题分析:因为正三棱柱的底面边长为,侧棱长为为中点,所以底面的面积为,到平面的距离为就是底面正三角形的高,所以三棱锥的体积为考点:几何体的体积的计算158 11 【解析】画出不等式组表示的平面区域,数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示:数形结合可知,可行域为三角形,且底边长,高为,故区域面积;令,变为,显然直
15、线过时,z最大,故.故答案为:;11.【点睛】本题考查简单线性规划问题,涉及区域面积的求解,属基础题.16【解析】根据已知条件计算出,结合得出,利用基本不等式可得出的取值范围,利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围,进而可得出的取值范围.【详解】,由得,由基本不等式可得,因此,的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1)证明见解析;(2).【解析】(1)取中点,连接,根据等腰三角形的性质得到,利用全等三角形证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)由(1)
16、知平面,即是四面体的面上的高,结合锥体体积公式,求得四面体的体积.【详解】(1)证明:如图,取中点,连接,由则,则,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,且.在中,由勾股定理易知故四面体的体积【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查锥体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.18(1)(2)详见解析(3)29【解析】(1)将,代入,可求出,可代入求,可求结果(2)可求,通过反证法证明,(3)可推出,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出【详解】(1)由题意知等差数列的通项公式为:;等差数列的通项公式为:,得,则,得,故(2)证明:已知,由题意
17、知等差数列的通项公式为:;等差数列的通项公式为:,得,得,所以若,则存在,使,若,则存在,使,因此,对于正整数,考虑集合,即,下面证明:集合中至少有一元素是7的倍数反证法:假设集合中任何一个元素,都不是7的倍数,则集合中每一元素关于7的余数可以为1,2,3,4,5,6,又因为集合中共有7个元素,所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同,不妨设为,其中,则这两个元素的差为7的倍数,即,所以,与矛盾,所以假设不成立,即原命题成立即集合中至少有一元素是7的倍数,不妨设该元素为,则存在,使,即,由已证可知,若,则存在,使,而,所以为负整数,设,则,且,所以,当,时,对于整数,若,则成立(3)下面用反
18、证法证明:若对于整数,则,假设命题不成立,即,且则对于整数,存在,使成立,整理,得,又因为,所以且是7的倍数,因为,所以,所以矛盾,即假设不成立所以对于整数,若,则,又由第二问,对于整数,则,所以的最大值,就是集合中元素的最大值,又因为,所以【点睛】本题考查数列的综合应用,以及反证法,求最值,属于难题19 (1) 故函数在上单调递增,在上单调递减;(2). 【解析】试题分析:()根据题意得到的解析式和定义域,求导后根据导函数的符号判断单调性()分析题意可得对任意,恒成立,构造函数,则有对任意,恒成立,然后通过求函数的最值可得所求试题解析:(I)由题意得, .当时,函数在上单调递增;当时,令,解
19、得;令,解得.故函数在上单调递增,在上单调递减.综上,当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减.(II)由题意知.,当时,函数单调递增不妨设 ,又函数单调递减,所以原问题等价于:当时,对任意,不等式 恒成立,即对任意,恒成立.记,由题意得在上单调递减.所以对任意,恒成立.令,则在上恒成立.故,而在上单调递增,所以函数在上的最大值为.由,解得.故实数的最小值为20(1) (2)【解析】(1)当时,原不等式可化为,分类讨论即可求得不等式的解集;(2)由题意得,的最小值为,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值【详解】(1)当时,原不等式可化为,当时,不等式可化为,解得,此时;当时,不等式可化为,解得,此时;当时,不等式可化为,解得,此时,综上,原不等式的解集为.(2)由题意得, ,因为的最小值为,所以,由,得,所以 ,当且仅当,即,时,的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题,对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想,
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