(完整版)三棱锥顶点射影问题课件

1、三棱锥顶点射影问题三角形的“心”1、重心:三条中线的交点2、垂心:三条高的交点3、外心:三条边垂直平分线的交点（或说外接圆的圆心）4、内心:三个角平分线的交点（或说内接圆圆心）5、中心（正 特有）正的重心、垂心、内心、外心重合的点例1：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形ABC的外心例2：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的垂心DO例3：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的

2、位置？PABCO为三角形ABC的内心OEF典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O(1)P到三顶点距离相等(3)P到三边AB、BC、AC距离相等(2)侧棱两两垂直PABCO外垂内 O是 ABC的心 O是 ABC的心 O是 ABC的心对棱两两垂直OPABC例：四面体P-ABC中，若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直O是垂心垂 O是 ABC的心(1)若PA=PB=PC，则O是ABC的 .PABCO外心关于三角形的四心问题 设O为三棱锥PABC的顶点P在底面上的射影.综合练习：(2)若PA=PB=PC,C=900,则O是AB的_点.中PABCO关于三角形的四心问题综合练习：垂心E

3、FPABCO (3)若三条側棱两两互相垂直,则O是ABC的 .关于三角形的四心问题综合练习：EFPABCO (5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是ABC的_. 外心关于三角形的四心问题综合练习：ABCD证明：E 例： 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD， 求证：对角线AC BD。 CEAEEBD,连接的中点取ACBDACEAC,平面Q=ACEBDECEAE,平面又QBDCEDCBC=,QBDAEADAB=,Q练习例1、已知直角ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，求证：PD平面ABC.ABCPD 证明：PA=PB，D为AB中点 PDAB，连接CD， D

4、为RtABC斜边的中点 CD=AD, 又PAPC,PD=PD PADPCD 而PDAB PDCD, CDAB = D PD平面ABC例2、如图 平面、相交于PQ，线段OA、OB分别垂直平面、，求证：PQABPQOAB证明：OA PQ OAPQ OB, PQ OBPQ 又OAOB=0 PQ平面OAB 而AB平面OAB PQABSABCHSABCH1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求证：AC平面BDMMABCDOPABCO3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB,求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC例：平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC的外心，求证：PO平面ABC.【解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PAPBPC，所以PDAB，PEBC，因为O是ABC的外心，所以ODAB