高考试题及解析(理)

1、2 0 15 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号填写在答题卡上。 回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号框。写在本试卷上无效。回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 A =-2 , -1 , 0, 1, 2, B

2、=x |(x 1)(x 2) ： 0,则 A-B =-1, 0 B. 0, 1 C. -1, 0, 1 D. 0, 1 , 2若 a为实数，且(2 ai)(a -2i) = -4i ,则 a =A. -1B. 0 C. 1D. 2根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列an满足a1 = 3 , a1 - a3 a 21 ,则a3

3、a5 a7A. 21B. 42 C. 63D. 84”1+log2(2 x),xc1,5.设函数 f (X)=丿 1则 f (2) + f (log 212)=2xj,1,A. 3B. 6C. 9D. 126. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A.B.D.7.过三点A(1,3), B(4,2), C(1,-7)的圆交y轴于M、N两点MN I =A. 2.6B. 8C.8.右边程序框图的算法思路源于我国数学名着九章算术中的“更相减损术”.执行 该程序框图，若输入的a,b分别为14, 18, 则输出的a =A . 0B . 2C . 4

4、D . 144. 6D. 10片始输入应/AOB = 90 , C为该球面上的动点9.已知A , B是球0的球面上两点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球0的表面积为A . 36二B. 64二C . 14410.如图，长方形 ABCD的边AB =2 , BC =1, 0是AB的中点.点P沿着边BC , CD与DA运动，记 BOP = X.将动点P到A, B两点距离之和表示为 X函数f(X),则y = f (x)的图像大致为 4 2 44 2 44 2 4已知A , B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，AABM为等腰三角形，且顶点为1200 ,则E的离心率为A .5B. 2C. . 3

5、D. .、2设函数f/(x)是 奇函数f (x)(x R)的导函数，f (-1) = 0 ,当x. 0时，Xf/(X) - f(x) ：0 ,则使得f (X) 0成立的X的取值范围是A .(一：，一1)一(0,1)B.(一 1,0)(1,：)(-：,-1)_(-1,0)D.(0,1) 一(1,：)第口卷(非选择题，共90分) TOC o 1-5 h z 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题21题为必考题，每个考生都必须作答；第22题一24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.设向量a、b不平行，向量 a b与a 2b平行，则实数 =.X - y 1 一 0,若

6、X , y满足约束条件x2y0,贝U z=x + y的最大值为 .+2y -2 0,(a x)(1 - x)4的展开式中X的奇数次幕项的系数之和为32,则a=.16设Sn是数列2n的前n项和，且a -1 , an 1 = SnSn 1 ,则Sn =.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(本小题满分12分)ABC中，D是BC上的点，AD平分 BAC, ABD面积是 ADC面积的2 倍.(I)求Sin C 2()若 AD = 1, DC ,求 BD 和 AC 的长.2(本小题满分12分)AM区E地区4 eJ89某公司为了解用户对其产品的满意度，从A, B两地区分别随机调查了20个用户

7、，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；()根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分的70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高

8、于 B地区用户的满意度等级” 假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率.(本小题满分12分)女口图，长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB =16 , BC =10 , AA1 =8 ,点 E , F 分别在A1B- D1C1上，RE =D1F =4.过点E , F的平面与此长方体的面相交， 交线围成一个 正方形.(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；()求直线 AF与平面所成角的正弦值.(本小题满分12分)已知椭圆C : 9X2 y2 = m2(m O),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，丨与C有 两个交点A , B ,

9、线段AB的中点为M .(I)证明：直线 OM的斜率与丨的斜率的乘积为定值；()若丨过点(m,m),延长线段OM与C交于点P ,四边形OAPB能否为平行四边3形？若能，求此时丨的斜率；若不能，说明理由(本小题满分12分)设函数 f (x) =emx+x2 _mx.(I)证明：f (x)在(-：,0)单调递减，再(0,七)单调递增；()若对于任意x1,x2 w-1,1,都有f(Xi) - f (x2)兰e1 ,求m的取值范围请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分(

10、本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，O为等腰三角形 ABC内一点O与. ABC的底边BC交于M , N两点，与底边上的高 AD交于点G ,且与AB ,AC分别相切于E, F两点(I)证明：EF/BC;()若AG等于O O的半径，且 AE=MN =2,3,求四边形EBCF的面积(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程X =t COSX在直角坐标系XOy中，曲线G :(t为参数，t0),其中在以O为极点，y =tsi n以X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: T =2sin , C3 = 2 3co匸.(I)求曲线C2与C3交点的直角坐标；()若G与C2相交于点A, G与

11、C3相交于点B,求AB的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲设a,b,c,d均为正数，且a c d ,证明：(I)若 ab cd,贝U b d ；() Ja +Jb Rdc +Ud 是 ab V cd 的充要条件2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题解析第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的已知集合 A =-2，-1，0，1, 2, B =x |(x 1)(x2) ： 0,则 A-B =A. -1，0 B. 0，1 C. -1，0，1 D. 0，1，2解析：本题考查集合及其运算、

12、二次不等式的解法B =x (x-1)(x 2) ： 0 =x I -2 ： X ： 1， AB = -1，0选A若 a为实数，且(2 ai)(a -2i) = -4i，则 a =A. -1B. 0 C. 1D. 2解析：本题考查复数、复数相等的概念及其运算- (2 ai)(a 2i) = 4i，4a 4i a2i = 4i ,故 a = 0.选B根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006

13、 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析：本题考查柱状图等统计知识与识图能力选D已知等比数列an满足a1 = 3， a1 a3 a 21 ,则a3 a5 a7 =A. 21B. 42 C. 63D. 84解析：本题考查数列概念，等比数列的通项公式a1 =3，a1 a3 a5 =21，3 3q2 3q4 =21，q4 q2 -6=0 ,q2 = 2,或q2 = -3(舍)，故 a3 a5 a7 = a1q2 a1q4 a1q6 = 421 + Iog2 (2 _ x), x c 1,5.设函数 f (X)=丿 I则 f(2)+f(log212) =2xj,1,A. 3B. 6C. 9D. 1

14、2解析：本题考查分段函数概念及指数、对数的运算 - f (一2) =1 log2(22) =12 =3 ,而 Iog2121，.f (log212) =2log212 丄=2log212 2A-12 - -6 ， f (一2) f (log 212) = 9 2选C6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A.B.D.解析：本题考查三视图、空间几何体的体积计算与空间想象能力1 11令正方体的棱长为1,则V截111 = HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 3 2615V余=1-.6 6选D7

15、.过三点 A(1,3), B(4,2), C(1,-7)的圆交 y 轴于 M、N 两点，贝U | MN I =A. 2.6B. 8C.4.6D. 10解析：本题考查垂径定理、圆方程，计算能力由垂径定理知，圆心在 AC的垂直平分线上，故设圆心(x0,-2),由0, A = 0馆得: (X0 -1)2 52 = .,(Xo -4)2 42 , X。=1, r = 5. o ： (x-1)2 (y 2)2 = 25 , 令 X=O 得(x_1)2 +(y+2)2 =25,二 y+2 = 26 ,故 MN =46.选C8.右边程序框图的算法思路源于我国数学名着九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图

16、，若输入的a,b分别为14, 18,则输出的a =A . 0B . 2C . 4D . 14解析：本题考查程序框图与更相减损术Ta=14：18=b， . b =18-14=4，又 b=4：14 = a， a=14-4=10，而 a=10 4= b， . a=10-4=6 ,又 a=64 = b， . a=6-4=2，而 a=2：4=b，. b=4-2=2=a ,故输出 a = 2 9.已知A， B是球O的球面上两点,选B AOB = 90 , C为该球面上的动点 .若三棱锥O- ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为A . 36 7：B. 647：.144 二D. 256：解析：本题考查球

17、体、球表面积的计算与三棱锥体积的计算，空间想象与推理能力.由已知可得B为球O的大圆周上的两点，三棱锥 O - ABC体积的最大36 ,=-R 36, R = 63 2,故=4二 36 = 144 二.10.如图，长方形 ABCD的边AB =2 , BC =1, O是AB的中点.点P沿着边BC , CD与DA运动，记 BoP = X.将动点P到A, B两点距离之和表示为 X函数f(X),则目=f (x)的图像大致为解析：本题考查函数及其性质，数形结合、分析与转化的能力当点P在边BC上运动时，显然f (X)随X增大而增大，点P在边DA上运动时，f (X)tan x 4 tan2 x, (0 込 X

18、 );4随X增大而减小；且2 .,二(+ 1 1)2 1 .( +.tan Xtan X-tanx. 4 tan2 x,( 二：x _ :).4-1)21,( X E ?二);44方面f (x)明显是非线性的，另一方面可由特殊值验证点P在边CD上运动时，f (X)随X先减小后增大选B11.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，AABM为等腰三角形，且顶点为1200 ,则E的离心率为A .5B. 2C. . 3D. . 2解析：本题考查双曲线的标准方程、几何性质，数形结合与分析问题的能力据条件得等腰三角形 ABM有AB = MB ,又=NABM= 1200, A XM= 2a , y 3

19、a,故零一单=1 ,即 4-茸=1, e2abb选D12.设函数f(X)是 奇函数f ()( R)的导函数，f (-1) =0 ,当X. 0时，Xf/(X) - f(x) ：0 ,则使得f (X) 0成立的X的取值范围是A . (一：，一1) _ (0,1)B. (一1,0) (1,：)C. (一：，一1) _ (一1,0)D. (0,1) (1,：)解析：本题考查函数及其性质、导数等相关知识，分析问题、解决问题的能力人f (x)f (x) 1X - f(x)U/令 h(x),则 h(x)2, 当 X 0时，X f (x) - f(x) ： 0 ,XX h(x) 0 ,而f (x)为奇函数，所

20、以h(x)=丄也 为偶函数，故h(x)在(-：,0)单增，X在(0,：)单减，又 f(-1) = f (1) =0, h(-1)=h(1)=0 ,因此:-1+1-0+0_+0-+0-第口卷(非选择题，共90 分)本卷包括必考题和选考题两部分。第13题21题为必考题，每个考生都必须作答； 第 TOC o 1-5 h z 22题一24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.13.设向量a、b不平行，向量 a b与a 2b平行，则实数-.解析：本题考查向量、共线向量的概念及共线定理0,14.若X， y满足约束条件J-2y0, 贝U z=x + y的最大值为 .X +2y

21、 2 兰0,解析：本题考查线性规划的相关知识解方程组丿x-2y=得:+2y -2 =0由约束条件得可行域如右图所示：13故Z=X y在点(1, 一)取到最大值， ZmaX = 1 223答案：-2415. (a X)(1 X)的展开式中X的奇数次幕项的系数之和为32,则a=.解析：本题考查二项式定理与项的系数概念4234(a x)(1 x) = (a x)(1 4x 6x 4x X )=a 4ax 6ax2 4ax3 ax4 X 4x2 6x3 4x4 x5=a (1 4a)x (4 6a)x2(6 4a)x3(4 a)x4 x5答案：a = 316.设 Sn 是数列an的前 n 项和，且 a

22、1 = -1 , an 1 = SnSn 1 ,则 Sn=.解析：本题考查数列、等差数列的定义与通项等知识，归纳及分析与转化的能力* 1 1 aI = -1， an 1 = Sn Sn 1 , SnI-Sn=SnSn 1 , . - 11=1,即二1= -1.Sn -1SnSn是以丄=SnSI1丄=_1为首项,-1为公差的等差数列,Snn，SnSn或计算S1,S2,S3归纳出Sn的通项公式1答案：SnH-丄n三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）ABC中，D是BC上的点，AD平分.BAC, ABD面积是 ADC面积的2倍.(I)求sin BSin C：2(

23、)若 AD = 1, DC , 求 BD 和 AC 的长.2解析：本题考查正、余弦定理与面积公式，观察能力、分析能力与应用公式的能力 解：(I)； S ABD 二 2S adc ,且 AD 平分 BAC ,1111AB AD Sin A =2 AD AC Sin A , BA = 2AC.2222在 ABC中，据正弦定理得:AB ACSin C Sin BSin BAC1SinCAB2()BD =、2S 么DCDC在 ADC 中，AC2 =1 丄2 1 cos/ADC ,2 2在 ADB 中，AB2 =12 2 .2cos ADB ,而 BA = 2AC ,0AC2 =3+2 cos ADB2

24、Nadc+nadb =180 ,二 2,二 6ac =6,ac=1.j4AC2 =3-22cosADB18.（本小题满分12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A, B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79B区(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(

25、不要求计算出具体值，给出结论即可)；()根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分的70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于 B地区用户的满意度等级” 假设两地区用 户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率.阅读理解能力与分解析：本题考查茎叶图相关的统计知识与概率及独立性事件的概率计算, 析转化能力通过茎叶图可以看出， A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户6665(I)两地区用户满意度评分的茎 叶图如右所示:满意度平分的平均值；A地区用户满意 度评分比较集中，

26、B地区用户满意度评分比较分散20()记A地区用户满意度的评分低于 70分的事件为A ,则P(AI) TOC o 1-5 h z 123记A地区用户满意度的评分在 70分到89分之间的事件为 A2 ,则P(A2)= = -，20541记A地区用户满意度的评分不低于90分的事件为 A ,则P(A3),20510 1 记B地区用户满意度的评分低于70分的事件为B1 ,则P(B1),20 28 2记B地区用户满意度的评分在 70分到89分之间的事件为 B2 ,则P(B2)- -，205记B地区用户满意度的评分不低于90分的事件为B3 ,则P(B3)2120 10Ai, Bi 互相独立，.= A2 Bi

27、A3 (BiB2),= P(A2)P(Bi) P(A3) P(Bi) P(A3) P(B2) =048.(本小题满分12分)如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB =16, BC =10, AAI= 8 ,点 E, F 分别在A1Bi , DG上，RE =D1F =4.过点E , F的平面：与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)()求直线 AF与平面：所成角的正弦值.解析：本题考查线与线、线与面的垂直关系，线面所成角的概念及利用向量法求解线面角;空间想象、推理的能力.(I)如右图所示.()建立如右图所示的空间直角坐标系，贝UA(10

28、,0,0) , G(10,10,0), H (0,10,0), F (0,4,8),AF = (-10,4,8) , GH =(-10,0,0), GF =(-10,-6,8).令平面EFGH的法向量为m = (x, y,1) , AF与面二所成的角为V ,m GH= 0由JmGF=O得：丿-IOx =10 x 6y +8 = OX = O44 ,故 m = (0, ,1)y33因此，Sin 日=CoSC m, AFm_AF Mm AF 15(本小题满分12分)已知椭圆C : 9x2 y2 = m2(m 0),直线丨不过原点O且不平行于坐标轴，丨与C有 两个交点A , B ,线段AB的中点为M

29、 .(I)证明：直线 OM的斜率与丨的斜率的乘积为定值；()若丨过点(m,m),延长线段OM与C交于点P ,四边形OAPB能否为平行四边3形？若能，求此时丨的斜率；若不能，说明理由.同时还考查解析：本题考查直线与椭圆的综合问题与代数计算解决几何问题的解析法思想, 分析、推理、计算能力与数形结合的能力(I)设直线 l : y =kx b k = ,b = , A x“ , B x?, y? , M Xm , yM .将 y = kx b 代入 9x2 y2 = m2 得 k29 x2 2kbx b2m2 = ,故XMx1x22-kb1 I 9b严,YM =kxM厂严于是直线OM的斜率kM =如X

30、M9,即 koM k = -9.k所以直线OM的斜率与丨的斜率的乘积为定值()四边形 OAPB能为平行四边形因为直线l过点3，m,所以丨不过原点且与 C有两个交点的充要条件是 k , k = 3.由(I)得OM的方程为9yy设点P的横坐标为p .k2m2二kmk!，即 XPD 29一_9由y kX得XP =k k - 3 m3 k2 9 9x2 y2 = m2将点 m,m的坐标代入丨的方程得 mk ,因此XM13丿3四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段 AB与线段OP互相平分，即x 2XM .-km =2 k k -3 m3*k293 k2 9因为ki 0,k3,i =1,2 ,所以当l的斜率为4 - 7或4,7时，四边形OAPB为平行四 边形.(本小题满分12