《自动控制原理》电子课件：第四章 线性控制系统的时域分析

1、第四章 线性控制系统的时域分析版本2.02011年6月主编修改版华南理工大学自动化科学与工程学院第四章 线性控制系统的时域分析4.1 引言4.2 测试输入信号与时域性能指标 4.3 一阶系统的时域分析 4.4 二阶系统的时域分析 4.5 高阶系统的时域分析 4.6 稳态误差分析 4.7 基本控制规律的时域分析4.8 利用MATLAB进行时域分析4.9 小结 1.6 控制系统设计概述（回顾） 4.1 引言控制系统的动态性能：瞬态响应指标系统类型：1）一阶2）二阶3）高阶基本控制规律控制系统的稳态性能: 稳态响应误差常用的输入测试信号仿真：MATLAB本章知识体系4.1 引言时域分析法：自动控制系

2、统最基本的分析方法，是学习复域法、频域法的基础。可以直接在时间域中对系统进行分析校正，具有直观，准确的特点。 可以提供系统时间响应的全部信息。 基于解析法求解系统的输出，所以比较烦琐。一般是先求取控制系统的闭环传递函数和测试输入信号的拉普拉斯变换，借助拉普拉斯反变换获得系统输出的时域响应，然后对所获得的响应结果进行时域分析。 4.2 测试输入信号与时域性能指标测试输入信号，输入系统，测试系统性能方便数学上的分析和处理；便于实际物理系统的测试，此时要求测试输入信号应易于通过实验仪器产生。4.2.1 常用测试输入信号 常用测试信号：单位阶跃函数和单位脉冲函数在初始时刻的速度均为无穷大函数，前者的新

3、稳态为1，而后者无新稳态。单位阶跃函数是理想的测试信号，但其初始时刻之后速度为零，因此不适合用来测试系统跟随速度变化的输入信号的能力。4.2 测试输入信号与时域性能指标时域动态性能指标瞬态响应性能指标 瞬态响应稳态响应性能指标 稳态响应系统的响应瞬态响应 ：在输入信号作用下，系统从初始状态到最终状态的时间响应过程。（系统输出）稳态响应：系统输出量的稳态分量或者当时间趋于无穷大时，系统输出对阶跃响应的稳态值y()。瞬态响应由瞬态分量和稳态分量组成，其中的稳态分量就是系统的稳态响应。瞬态响应描述了系统的过渡过程，而稳态响应反映了系统的稳态精度。 4.2.2 时域性能指标4.2 测试输入信号与时域性

4、能指标1) 上升时间tr：从终值10%上升到终值90%所需时间；振荡系统定义为从零第一次上升到终值所需时间。2) 延迟时间td：曲线第一次达到终值一半所需时间。3) 峰值时间tp：响应到达第一个峰值所需时间。 4) 调节时间ts：到达并保持在终值 +/-5误差内所需最短时间.5) 最大超调量%（简称超调量）：最大偏离量Mp与终值y() 的百分比。6) 衰减比nd：响应曲线在同方向上相邻两个波峰的偏离量之比 1. 瞬态响应性能4.2 测试输入信号与时域性能指标7) 振荡次数：指响应曲线在调节时间内偏离稳态值振荡的次数；若振荡周期为Ts，则振荡次数Ns=ts/Ts . 2. 稳态响应性能指标两种定

5、义之间尽管数值可以不同，但经过传感器或测量装置量纲换算后是完全等价的。本书采用第一种定义方法。 4.3 一阶系统的时域分析 4.3.1 一阶系统的一般形式 4.3.2 一阶系统的单位阶跃响应 由图4-2（a）可见，要研究系统内部的本质，只需研究系统的单位阶跃或单位脉冲等函数的响应即可，不失一般地可考虑K=1。4.3 一阶系统的时域分析1）一阶系统单位阶跃响应的tr、td和ts均正比于时间常数。tr=2.20T，td=0.69T，ts=3T或4T（=0.05或0.02）2）时间常数越大，系统的惯性越大，响应过程越长，反之，系统的惯性越小，响应过程越快。4.3.2 一阶系统的单位阶跃响应4.3 一

6、阶系统的时域分析4.3.3 一阶系统的单位脉冲响应 1）只有瞬态分量而没有稳态分量2）另外，时间常数T越小，系统响应的快速性越好，反之，响应过程增长。 4.4 二阶系统的时域分析 4.4.1 二阶系统的一般形式典型二阶控制系统的结构图 4.4 二阶系统的时域分析4.4.2 二阶系统的单位阶跃响应第二项取决于阻尼系数和自然振荡角频率 4.4 二阶系统的时域分析 1. 无阻尼(=0)情况 等幅振荡曲线，此时的角频率称为自然角频率或者无阻尼自振荡频率。 4.4 二阶系统的时域分析 2. 欠阻尼(01)情况 4.4 二阶系统的时域分析4.4 二阶系统的时域分析与一阶系统单位阶跃响应曲线比较，有两个特点

7、：（1）响应曲线在初始时刻的导数为零。（2）响应曲线在初始上升阶段，二阶导数先递增后递减，出现一阶系统单位阶跃响应曲线没有的拐点现象，见图4-7。 4.4 二阶系统的时域分析综上，二阶系统单位阶跃响应:1) 当1时，响应单调上升；2) 当01时，响应为衰减振荡；3) 当=0时，等幅振荡；4) 当0时，两个具有正实部的极点，不稳定。响应曲线的二阶导数为 可求得响应曲线在初始上升阶段的拐点时间为： 4.4 二阶系统的时域分析4.4.3 二阶系统单位阶跃响应的性能指标1、欠阻尼情况4.4 二阶系统的时域分析4.4 二阶系统的时域分析(4) 衰减比nd4.4 二阶系统的时域分析(5) 调节时间ts4.

8、4 二阶系统的时域分析二阶系统的特征参数：由于欠阻尼系统瞬态响应曲线特征的各项性能指标完全由阻尼系数和自然振荡角频率n所确定，而超调量%、衰减比nd、阻尼角更是与阻尼系数呈一一对应的函数关系，因此阻尼系数和自然振荡角频率n为二阶系统的特征参数。4.4 二阶系统的时域分析2、过阻尼情况随着阻尼系数的增大，一个极点向虚轴靠近，一个远离虚轴。在过阻尼响应中起决定作用的是靠近虚轴的极点。原二阶系统可用一阶系统的传递函数近似为：3、临界阻尼和过阻尼情况 二阶系统的单位阶跃响应是单调增加的，故性能指标中没有上升时间、峰值时间、超调量、衰减比和振荡次数，而调节时间可分别由（4-17）和（4-18）计算获得。

9、 4.4 二阶系统的时域分析无因次化调节时间与阻尼系数关系 特点：1）0.5时，估计计算误差不大；2）约为0.692时，对应最短调节时间3）当0.8时，ts/T与几乎呈线性关系，调节时间逐步增加。4、调节时间与阻尼系数的关系4.4 二阶系统的时域分析4.4.4 二阶系统的单位脉冲响应4.4 二阶系统的时域分析 =0.3 响应曲线中阴影部分的面积为： 容易验证，单位阶跃响应曲线的拐点 时间就是单位脉冲响应曲线的峰值 时间，而单位阶跃响应曲线的峰值时间 就是单位脉冲响应曲线的过零点的时间。 线性定常系统的一个特性： 系统对一个输入信号导数的响应，可通过对该输入信号响应的微分获得。 单位脉冲响应函数

10、是单位阶跃函数对时间的导数，故其响应可从对应的单位阶跃响应函数求微分获得。4.4 二阶系统的时域分析4.4.5 二阶系统的性能改善1.利用系统结构参数与特征参数之间关系来改善性能 4.4 二阶系统的时域分析可得以下系统结构参数与特征参数之间的定性关系： 1）当01时，若开环放大系数K1或K1K2 ，则 、 T 或K ，% 和Ns ，振荡加剧，系统稳定性下降 ；2）当01时，若开环放大系数K1或K1K2 ，则 ， T 使n ， 响应加快，调节时间ts ；4）当1时，若系统的时间常数T1或T1T2，则 ，T ，n，过渡时间长，调节时间ts 。 4.4 二阶系统的时域分析例4-1 随动系统 ，K=1

11、6，T=0.25，(1)求系统的n；(2) ，%，nd和ts，(3) 若=0.5，求K，计算%，nd和ts。4.4 二阶系统的时域分析说明：超调量下降，而衰减比大幅度增加，说明振荡明显减弱，但调节时间不变，系统的瞬态响应性能得到改善。4.4 二阶系统的时域分析2.利用速度反馈来改善性能 速度反馈控制可通过改变速度反馈参数d来调整阻尼系数，为改善系统的性能提供了另一个手段。4.4 二阶系统的时域分析例4-2：在例4-1的系统中加入速度反馈，要求阻尼系数=0.5，且不改变结构参数K和T，确定d，求上例中的各项指标.加入速度反馈后，超调量下降，衰减比增加，同时调节时间被进一步缩短，系统的瞬态响应性能

12、得到较大改善。 4.4 二阶系统的时域分析在实际控制系统中，一般取0.40.8，对应的超调量在1.52%25%范围内。工程上，某些控制系统常取=0.707为二阶工程最佳参数。图4-10所示的计算机仿真结果在最短无因次调节时间时有=0.692 （=0.05）或者=0.782 （ =0.02 ），而=0.707就位于其附近。由此可知，所谓取二阶工程最佳参数是一种以接近最短调节时间为目标的控制系统设计方法。需要指出的是，由于各瞬态性能指标之间是相互关联的，有时是相互矛盾的，因此，二阶工程最佳参数不等于是实际系统所要求的最佳性能指标。例如，当要求控制系统更注重对参考输入有足够快速的跟随响应时，常取衰减

13、比指标在4：110：1之间，而调节时间适当即可，也就是说，此时最短调节时间反而不是实际控制系统所要求的最佳性能指标。 4.4 二阶系统的时域分析4.4.6 具有零点的二阶系统分析一般控制系统总是希望设计为时间响应较快的欠阻尼系统，这里就以05时，零点对响应超调量的影响可以忽略。 4.4 二阶系统的时域分析考虑在开环传递函数的基础上添加零点的影响。 与速度反馈控制一样，可以通过改变微分时间常数来完成系统阻尼系数，但此时零点和阻尼系数都发生的变化，综合考虑提高系统性能。4.4 二阶系统的时域分析例4-4 ，仍考虑例4-1，加入微分顺馈控制ds 的方式改善系统性能。比较例4-1问题（3）结果，加入微

14、分顺馈后，超调量略有增加，调节时间进一步缩短。 4.4 二阶系统的时域分析4.4.7 扰动作用下的二阶系统分析参考输入作用下系统的闭环传递函数无零点，然而，扰动作用下系统的闭环传递函数一般却是具有零点的。 4.4 二阶系统的时域分析考虑一个具体例子，如图4-20 4.4 二阶系统的时域分析4.5 高阶系统的时域分析 4.5.1 高阶系统的时域响应 4.5 高阶系统的时域分析 可知，高阶系统单位阶跃响应的稳态分量为常数，瞬态分量由指数函数和三角函数组成。若系统的所有闭环极点都具有负实部，系统响应中由衰减的指数函数和三角函数组成的瞬态分量将趋于0，而稳态分量为y()=A04.5 高阶系统的时域分析

15、4.5.2 闭环主导极点对于稳定的高阶系统，分为两种情况考虑：1）某极点-pl附近有接近的零点-zk; 2）极点-pr附近无接近的零点，并且极点远离原点和其他极点 因为|-pl+zk|很小而接近于零，所以下式各系数有如下关系：说明闭环传递函数中存在相距很近的极点和零点，则在高阶单位阶跃响应式中对应分量系数的作用远小于其他分量系数的作用，可认为极点和零点近似抵消，从而忽略该分量的影响。4.5 高阶系统的时域分析当|-pr|-pi|时(ir, i=1,2,.,n)，并且排除了有接近的零点，可知|-pr|-zk|(k=1,2,.,m), 所以有：说明远离原点和其他极点的极点，在高阶系统中作用远小于其

16、他分量的作用，分析时也可忽略该分量的影响。4.5 高阶系统的时域分析系数较大且衰减慢的分量在高阶系统瞬态响应中起主要作用:1）各分量衰减的快慢取决于极点距虚轴的远近，离虚轴越远的极点所对应的分量衰减的越快。2）各分量系数取决于极点和零点的分布。有几种情况： 1）若某极点附近有接近的零点，则对应的分量系数很小； 2）若极点附近无接近的零点，并且极点远离原点且距其他极点很远，则对应的分量系数也很小； 3）若1）和2）的情况不存在，即极点附近无零点，极点接近原点或接近其他极点，则对应的分量系数就较大。 总之，系数较大且衰减较慢的分量在高阶系统的瞬态响应中起主要作用。 4.5 高阶系统的时域分析主导极

17、点对的概念 ：在稳定的高阶系统中，若存在一对 共轭复数极点 满足：1）是离虚轴最近的极点对；2）附近无零点，或者有零点和其他极点近似相消；3）其他极点在共轭复数极点和左边且满足 则-p1和-p2对系统性能起主导作用，称为主导极点对 。其他闭环极点因在瞬态响应中对应的分量衰减迅速，影响相对微弱，统称为非主导极点。 4.5 高阶系统的时域分析例4-5，考虑三阶系统的闭环传递函数为 解：利用MATLAB仿真得到阶跃响应曲线，如图4-22所示。当5时，随着远离虚轴，非主导极点的影响逐渐减小。 4.5 高阶系统的时域分析三条关于系统运动模态的边界线：1)等线为指数衰减度小于- 的模态边界；2)等d线为振

18、荡频率小于d的模态边界；3)等线为阻尼系数大于的模态边界。 高阶控制系统设计的一个思路：使其极点分布形成具有主导极点的情况，从而可以按二阶系统来分析高阶系统，用主导极点来确保各项性能指标的实现。 4.5 高阶系统的时域分析根据式（4-76）和（4-77），存在主导极点时，高阶系统的单位阶跃响应可近似为 4.6 稳态误差分析4.6.1 控制系统的类型式（4-86）和（4-87）表明，除了输入信号形式外，系统的结构及其参数不同都会引起稳态误差的不同。 4.6 稳态误差分析考虑控制系统开环传递函数的一般形式 KL称为系统的开环放大系数，sv为表示开环传递函数含有v个积分环节1）若v=0，称为0型系统

19、；2）若v=1，称为I型系统；3）若v=2，称为II型系统。v的数值称为系统的无差度阶数。 4.6 稳态误差分析4.6.2 参考输入作用下的稳态误差1. 单位阶跃函数输入 4.6 稳态误差分析2. 单位斜坡输入0型系统不能跟踪斜坡输入信号，而I型系统能够跟踪，但有误差。4.6 稳态误差分析3. 单位抛物线输入 0型、 I型系统不能跟踪抛物线输入信号，II型系统能够跟踪，但有误差。4.6 稳态误差分析输入信号作用下的静态误差系数和稳态误差 当输入信号为：利用线性定理，得：4.6 稳态误差分析例4-6 考虑两个控制系统的开环传递函数分别为 试分别计算Kp，Kv，Ka；计算输入分别为 对应的稳态误差

20、 系统1：系统2：4.6 稳态误差分析4.6.3 扰动输入作用下的稳态误差4.6 稳态误差分析若忽略传感器的惯性,取 H(s)=h,4.6 稳态误差分析控制系统在扰动作用下的稳态误差与扰动作用点的位置有直接关系。 1）扰动作用点之前环节 Gc的放大系数越大，扰动稳态误差越小；2）在Gc中添加一个积分环节即可消除阶跃扰动的稳态误差。4.6 稳态误差分析例4-7 已知控制系统 试求稳态误差并分析消除稳态误差的方法。 由系统的结构图和已知条件知，系统的开环传递函数是一个I 型系统， Gc无积分项，有v=0，=1,在扰动作用点之前的环节添加一个积分环节或比例加积分作用可消除系统扰动阶跃响应的稳态误差。

21、4.6 稳态误差分析（1）在扰动作用点之前的环节添加一个积分环节：系统闭环特征方程为 ，则系统不稳定。（2）在扰动作用点之前的环节添加比例加积分环节系统闭环特征方程为4.6.4 提高稳态精度的方法 为了减小或消除系统参考输入作用下的稳态误差，必须增大系统的开环放大系数或者在前向通道传递函数中添加0值极点，即提高系统的无差度阶数。而为了减少扰动下的稳态无差，则必须在偏差E(s)到扰动作用点之间添加积分环节。但随意增大开环放大系数或者增加几分环节超过两个将使系统失去必要的稳定裕度，导致系统瞬间响应品质下降，甚至使系统不稳定。因此上述手段应用范围有限。采用前馈-反馈构成的复合控制系统可知，在系统的无

22、差度级别不够或者外部强干扰信号可以检测的情况下，可有针对地采用按参考输入或者按扰动输入进行补偿的方法，提高系统稳态精度。4.6 稳态误差分析4.6 稳态误差分析前馈补偿器传递函数模型可按以下步骤建立：（1）由控制系统的结构图找出前馈补偿的双通道，据此得出实现全补偿和稳态补偿的条件；（2）根据全补偿条件和稳态补偿条件确定前馈补偿器的传递函数模型结构；（3）若物理易实现的稳态补偿模型结构能够先确定，则根据全补偿条件和物理可实现的原则，补充瞬态补偿所需要的其他部分，尽最大努力实现部分瞬态补偿；（4）若不能够先确定物理易实现的稳态补偿模型结构，则需根据全补偿条件和尽最大努力实现部分瞬态补偿的要求，直接

23、寻找物理易实现的前馈补偿器模型。 4.6 稳态误差分析例4-8 分别考虑以下两种情况，确定适当的前馈补偿器传递函数模型Gff(s),并求相应的位置误差和速度误差。按参考输入扰动实现全补偿和稳态补偿的条件为 4.6 稳态误差分析全补偿无法物理准确实现，而稳态补偿条件为零，因系统为I型系统，由表4-3可知，稳态时位置误差不需要补偿，需要补偿的是速度误差以及瞬态部分。 4.6 稳态误差分析前馈补偿器传递函数模型为 全补偿无法物理准确实现，但稳态补偿条件易实现。注意到，此时系统为0型系统，由表4-3可知，若不补偿，则稳态时有位置误差，而速度误差为无穷大。 4.6 稳态误差分析位置误差由有限值化为0，而

24、速度误差由无穷大降为有限值，引入前馈补偿后，系统的稳态精度得到了大幅度改进。 4.6 稳态误差分析例4-9 考虑如图4-28所示的复合控制系统 确定适当的前馈补偿器传递函数模型Gff(s),并求相应的位置误差和速度误差。复合控制系统的前馈补偿双通道 4.6 稳态误差分析阶跃扰动会引起输出偏离原来值的一个瞬态过程，但不会改变输出的稳态值，故有额 essd=0-y()=0。 4.6 稳态误差分析说明：图4-28系统结构中， 前馈补偿器的结构与参数 的确定取决于串联控制器结构与参数，而在实际控制系统中，控制器的参数往往需要现场整定；因此，该复合控制系统方案一般仅适合于可实现串联控制器和前馈补偿器联合

25、设计的场合。对照图3-19系统结构（右图）， 其前馈补偿器结构与参数 仅依赖于已知的广义被控 对象的模型，因而可方便地 实现前馈补偿器独立于串联 控制器的分析和设计。 比如采用通用的PID控制器的过程工业。该方案更具一般性。4.7 基本控制规律的时域分析4.7.1 比例（P）控制 单位反馈控制系统需要指出的是，没有比例作用（即Kp=0）也就没有控制作用，所以比例控制作用是根据负反馈原理按偏差产生控制的基础，无论是采用微分、积分或微分加积分控制规律均是在比例控制的基础上附加上去的。 4.7 基本控制规律的时域分析4.7.2 比例加微分（PD）控制微分控制规律的优点是“预见性”和“超前性”，能在偏

26、差信号尚未出现之前，就在系统中发出一个有效的早期修正信号，抑制过大超调量，有助于系统的稳定性。但微分控制正比于偏差的变化率，导致其对高频干扰信号过于敏感而易引起系统的振荡甚至不稳定。因此，在实际控制系统中施加微分控制作用强弱需要进行综合考虑。 4.7 基本控制规律的时域分析4.7.3 比例加积分（PI）控制 PI控制规律给系统引进一个纯积分环节，提高了系统的无差度阶数，可有效地改善系统的稳态性能，但稳定裕度减少。同时，PI控制规律还引进了一个开环零点，通过适当调整积分时间常数也可以改善系统的瞬态性能，从而一定程度上弥补了积分环节的极点产生的副作用。综上所述，比例加积分控制的主要目的是在对系统的

27、稳定性影响不大的情况下，有效地改善系统的稳态性能。 4.7 基本控制规律的时域分析积分控制的物理意义是：只要偏差信号不为零，积分环节就将其不断积累，并按负反馈原理产生持续的控制作用，直到使偏差回复至零为止，从而有效地提高了系统的稳态性能。此外，由于与偏差的历史有关，所以，即使偏差回复至零，PI控制器的输出并不回复至零，见图4-32。 4.7 基本控制规律的时域分析4.7.4 比例加积分加微分（PID）控制 4.7 基本控制规律的时域分析PID控制器引入了一个位于坐标原点的极点，使系统的型别增大1，同时还可引入两个负实数零点。PID控制规律既保持了PI控制规律提高系统稳态性能的优点，又多提供了一个负实数零点，这使PID控制规律为提高系统的动态性能方面提供了更多的设计自由度，这种更多的自由度是PID控制器得到了广泛应用的重要原因。 4.8 利用MATLAB进行时域分析 4.8.1 参考输入响应分析例4-10 某磁盘驱动器磁头控制系统的结构图4.8 利用MATLAB进行时域分析编写一个M文件ex4_10.m，见136页。在MATLAB环境下输入如下语句: hold on; Ka = 10 50 100 250 1000; for m=1:5,ex4_10(Ka(m);grid on;