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文档简介

1、本节内容提要Newton法 基本思想、算法、几何意义、局部收敛性 以及收敛速度、修正Newton公式、大范围 收敛的充分条件割线法 方法概述、几何意义、算法、收敛性2.3 Newton法与割线法以直代曲 Newton法 以切线近似代替曲线 1、方法概述 迭代法在求方程的根时，迭代函数的构造将会影响到迭代序列的敛散性及收敛速度的快慢，如何构造一个好的迭代函数显得尤为重要；构造迭代函数的常用方法之一是用一个近似方程来替代原方程，如：用线性方程代替非线性方程；Newton法正是基于这一点，将非线性方程线性化。基本思想：线性方程 例： 解：特点：具有较快的收敛速度，但对初值要求较高， 要求 充分接近

2、。2、算法3、几何解释 切线近似替代曲线即是以切线与X轴的交点近似替代曲线与X轴的交点，因而又称切线法。 最著名、最有 效的方法之一4、局部收敛性以及收敛速度 一般来说，Newton法产生的序列不总是收敛的，易知，当 时，切线趋于水平，与X轴在很远处相交，这时序列常为发散情形，往往需要对 附加一些条件才能保证收敛；而实际上，当 充分接近 时，能保证Newton法的收敛，亦即具有局部收敛性。 、单根的情形结论1：分析：证明：、重根的情形结论2：证明：=mmmm5*、求重根的修正Newton公式目的加速 缺点：虽然敛速增加，但计算时每迭代一步需计算 三次函数值： ，计算量增大！ 注：证明：例： 解

3、： 敛速有极大改善 6、大范围收敛的充分条件Th* ：例： 证明：注：该题亦可直接证得大范围收敛。 配方法割线法 以割线近似代替曲线 1、方法概述 Newton法虽然具有较快的收敛速度（二阶），但每迭代一次均需计算 及 ，若函数较复杂，计算导数值可能工作量很大；为此考虑用差商： 来替代导数，这一思想实际上体现了以割线近似替代曲线。 称割线法或线性插值法线性方程 多步法2、割线法的几何意义 3、算法注：step6中的数据传递次序不能颠倒！4、割线法的收敛性与收敛速度结论：局部收敛： 收敛阶数： 注：类似还可以从三个初始点出发，以过三点的抛物线 近似替代曲线，得抛物线法。超线性收敛 例： 解：可见其收敛速度还是很快的本章小结1、根的概念： m重根： 2、求根步骤：确定有根区间； 根的精确化； 3、二分法： 4、迭代法： 大范围收敛：Th1：（压缩映象原理）实用替换条件： 先估： 渐进误差估计： 后估： Th2： 局部收敛：Th3：实用替换条件： 收敛速度：Th4： Aitken加速法 5、Newton法切线近似替代曲线 Newton迭代： 收敛性：局部收敛； 收敛速度：、求重根的修正Newton公式： 大范围收敛6、割线法割线近似替代曲线多步法： 局部收

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