1.1 基本计数原理1

1、北京市第一一中学 方 明 4/4 基本计数原理教案 北京市第一一中学 方明 课题基本计数原理使用教材人教B版选修2-3授课年级高二年级教学目标知识与技能：（1）理解分类加法计数原理，分步乘法计数原理；（2）能根据具体问题的特征，选择恰当的计数方法解决一些简单的实际问题；过程与方法：（1）从实例入手，让学生理解计数问题的一般步骤；（2）在分析问题时，学会利用数形图，流程图等形象直观解决问题，培养数形结合的能力； 情感、态度与价值观：（1）计数问题与生活息息相关，通过学习能正确的解决有关的实际问题；（2）激发学生的好奇心与求知欲，启发学生发现与提出问题，善于独立思考与钻研问题.教学重点两个基本计数

2、原理及其应用教学难点用原理分析问题、解决问题；合理选择分类或分步解决问题教学过程设计环节教师活动学生活动设计意图一基本计数原理二原理的应用三总结四进一步的思考学校体育器材室有两种球类可以外借，其中有3个编号不同的篮球，4个编号不同的足球，（1）同学甲想借一个球，共有多少种不同的借法；问：7种方法可以怎样分类？对应的如何列式？（PPT呈现分类加法计数原理）（2）同学甲想借一个篮球和一个足球，共有多少种不同的借法.问：只借一个球能完成任务吗？ 共有几种方法？如何列式？ 列式依据是什么？（PPT呈现分步乘法计数原理）按球类，按编号，引出分类加法原理与分步乘法原理，体会分类的标准对列式的影响；体会分步

3、与分类的区别；球场上，甲、乙、丙三个同学正进行传球练习，由甲先发球，经过次传球后，球回到甲的手中，共有多少种不同的传球方法？问：每次传球有怎样的约束条件？ 最小是多少？当时，要完成的事情是什么？第一次传球有什么约束条件？共有几种满足要求的传球方法？分别是什么？能用分类加法计数原理或者分步乘法计数原理列式得出结果吗？当时，要完成的事情是什么？这两次传球都有什么约束条件？共有几种满足要求的传球方法？分别是什么？能用分类加法计数原理或者分步乘法计数原理列式得出结果吗？当时，要完成的事情是什么？学生思考，互相讨论，课堂交流学生可能的方法：树形图法，利用计数原理计数，间接法，递推的思想.引导学生画流程图

4、，并用计数原理进行计数，鼓励学生发表自己见解，引导学生从计数原理角度分析问题.1、计数问题处处存在，计数前先对问题有个清楚的认识；2、根据具体问题，选择不同方法；3、不同的方法，不同的特点；更一般的，次传球，一共有多少种不同的传球方法？丁也加入传球练习，四人传球，由甲先发球，经过次传球后，球回到甲的手中，共有多少种不同的传球方法？分析约束条件：传球只能传给别人，第一次与最后一次都有甲的参与；最小是2学生可能的方法：树形图，结合流程图，用计数原理；规律明显问题，考虑递推法.初步体会问题中的约束条件，并从简单情况入手.结合具体情况体会约束条件，并尝试初步画流程图，应用原理分析问题.结合具体情况进一

5、步体会约束条件，理解特殊位置，特殊元素，并画流程图，应用原理分析问题.学生尝试从多个角度去解决问题，感受原理的应用，感受分类的原因以及分类标准的确定，感受流程图的直观.总结计数的方法，能结合具体问题选择恰当方法.进一步研究这个问题的普遍规律，鼓励学生进一步的探索.教学反思一、内容分析这是高二计数原理的第一课时基本计数原理，以前我在讲这节课时，经常是在给出两个基本计数原理以后，紧跟着是大量的巩固练习.由于这些练习题往往都比较基础，学生缺乏深入的思考，也就没有太多的沉淀.老师的思考深度决定了学生思考的深度，设计这节课之前，我思考着几个问题.（1）学生对于计数问题的认识有多少？据我的了解，学生从小学

6、就开始接触计数问题，他们能借助树形图较好地完成简单的计数问题，也初步了解两个基本计数原理的想法，但是对两个原理的理解与表述有待提升.（2）两个基本计数原理在计数问题中的地位是什么？基本计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也是后续学生推导排列数、组合数、二项式定理系数的有效工具，它贯穿于这一章节始终.（3）两个基本计数原理的教育价值是什么？计数原理的学习不仅是让学生掌握了一种计数方法，更重要的是让学生掌握了有序分析问题、解决问题的方法，这种有序分析问题的思想影响学生未来的思考方式.基于以上的分析，我设计了教学流程.从两个具体的例子引出两个基本计数原理，然后应用原理解决实际问题，使学生理

7、解计数问题的一般思考过程、计数方法、核心思想.在应用原理部分，从较简单的情况入手，依次考虑“”的情形，并得到解决计数问题的一般思考过程：要完成的事情是什么？有什么约束条件？结合具体问题选用怎样的计数方法？在具体计数方法的选择上，总数较小问题优先数形图法；复杂问题可以借助流程图，并利用两个计数原理进行计数；对于规律明显的问题，学生尝试用递推关系法，建立递推的过程也是两个基本计数原理进一步的应用.结合具体的问题，学生逐渐关注问题中的特殊元素、特殊位置等，理解特殊要求优先考虑的想法.二、授课后的总结与反思从授课的情况来看，由于问题比较有挑战性，学生兴趣很高，课堂中学生的交流与表达比较充分，课堂现场生

8、成很多，高于我的预期.引出两个基本计数原理以后，后续的教学围绕下面问题展开：“球场上，甲、乙、丙三个同学正进行传球练习，由甲先发球，经过次传球后，球回到甲的手中，共有多少种不同的传球方法？”当分别取时，学生能熟练运用树形图法进行计数从而解决问题，也能借助于流程图用两个基本计数原理列式求解.随着研究的深入，学生尝试着去寻找这个问题的递推关系，而递推关系的得到必须建立在学生对两个基本计数原理熟练掌握的基础上.如何把这部分内容讲清楚？虽然我事先做了很多准备，但学生在课堂上的情况却打乱了我的预设.先是学生甲用了比较复杂的方法建立了递推关系，学生甲说：设经过次传球后，球回到甲手中的不同传球方法数为；回到

9、乙手中的不同传球方法数为；回到丙手中的不同传球方法数为，借助于分类加法计数原理得到了以下递推：由于学生甲的方法复杂、抽象，学生乙举手提问，说听不懂.课堂意外情况发生了，怎么办？我当时处理还是比较恰当的，我对学生乙说：“你有什么不懂的，直接与学生甲互相对话解决吧.”就这样，两个学生在课堂上一个问一个解释，虽然学生乙还是没完全明白，可是学生丙却领会了甲的想法，也站起来参与讨论，课堂十分活跃.整个对话过程中，其余同学也是频频点头，最后乙也明白了递推的由来.更让我惊讶的是，乙最后居然还给出了比较简洁的递推关系，并从两个基本计数原理的角度给予了论证.在这些同学的带领下，学生丁提出了一种更简洁的递推关系：

10、，这些递推方法居然都有学生想出来了.我想，课堂的生成不可预判，课堂的生成需要老师的铺垫，课堂的生成更需要我们耐心等待.毫无疑问，学生思维上的困惑是课堂教学最有价值的素材，学生之间的交流不仅利于学生解开困惑，也有利于表达能力的培养.在整个教学过程中，师生交流、生生交流都很充分.老师更多的是课堂的组织者与指导者，学生才是问题的解决者.在这种良好的教学氛围中，学生的认知更自然，学生的认识更深刻，学生获得的知识对未来的影响更深远.这节课授课过程有些地方处理的不是很理想.本节课的一个教学目标是学生经历探索，的过程，能画流程图理解并解决计数问题，理解流程图的直观性.我甚至于设想过如果学生想不出递推方法，就让学生继续研究的情况，进一步地理解流程图在计数问题中的应用.然而，学生对递推的敏锐性，打破了我的计划.在的时候就有学生提到了递推法解决计数问题，导致学生对流程图的理解不够深入.造成这种情况的原因