1002徐汇华约数学

1、在概率论中，随机事件（或简称事件）指的是一个被赋与机率的事物集合，也就是样本空间中的一个子集。简单来说，在一次随机试验中，某个特定事件可能出现也可能不出现；但当试验次数增多，可以观察到某种规律性的结果，就是随机事件。基本上，只要样本空间是有限的，则在样本空间内的任何一个子集合，都可以被称为是一个事件。然而，当样本空间是无限的时候，特别是不可数之时，就常常不能定义所有的子集为随机事件了。因此，为了定义一个概率空间，常常需要去掉样本空间的某些子集，规定他们不能成为事件。假设有一堆 52 张的牌，并闭着眼睛在这堆牌中抽取一张牌，那么用概率论的术语来说，实际上是在做一个随机试验。这时，的样本空间是一个

2、有着 52 个元素的集合，因为任意一张牌都是一个可能的结果。而一个随机事件，则是这个样本空间的任意一个子集。运用组合知识可以知道，随机事件一共有种。当这个事件仅仅包括样本空间的一个元素（或者说它是一个单元素集合）的时候，称这个事件为一个基本事件。比如说事件“抽到的牌是黑桃 7”。当事件是空集时，称这个事件为不可能事件。当事件是全集时，则称事件是必然事件。其它还有各种各样的事件，比如：“抽到的牌是“抽到的牌是”（也是不可能事件）3”（基本事件）“抽到的牌数字是 9”（包含 4 个元素） “抽到的牌是方片”（包含 13 个元素）“抽到的牌是红颜色的并且数字小于等于 10”（包含 20 个元素）“抽

3、到的牌不是3”（包含 51 个元素）由于事件是样本空间的子集，所以也可以写成集合的形式。有时候写成集合的形式可能会很。有时候也可以用文氏图来表示事件，这时可以用事件所代表图形的面积来按比例显示事件的概率。事件与概率空间当样本空间有限的时候，称为古典概型。这时可以（也是一般用到的）取样本空间的所有的子集作为事件。然而，当样本空间不是有限的时候，特别是当样本空间是实数的时候，就不能取所有的子集作为事件了。其中的根本原因在于概率的定义。一般来说，当一个随机事件的时候，希望知道它发生的概率。事件发生的概率是一个介于 0 和 1 之间的数。当样本空间是不可数的时候，如果取样本空间所有的子集，那么概率论的

4、公理系统会产生数学上的，也就是说，会有一些子集无法被定义概率。具体地说，概率论的公理系统是由三个部份组成的，又称为概率空间。这个空间包括：样本空间、事件集合（又称为事件体）以及定义在这上面的一个取概率的运算：。其中的事件集合是一个 -代数，而取概率的运算需要满足概率的加法公理（ -Additive）：如果一系列事件此亦称为 pairwise disjo两两互斥（也就是说对任意的，都是空集。）那么就有：这个公理是符合一般人的的：如果几件事情互相之间相互排斥，那么“它们几个中有一个发生”的概率应该等于其中每一个发生的概率的和。然而，对于不可数的样本空间，如果选全部的子集作为事件的话，会有一些子集，

5、无论怎样为他们定义概率，都会加法公理。1一个反例，让随意说一个 0 到 1 之间的实数。假设和玩一个为了概率，选择了所有0,1的子集作为概率集合。他将所有的 0 到 1 之间的有理数取出来。由于 0 到 1 之间的有理数是可数集合，所以可以做标号：。对于每一个 0 到 1 之间的实数 ，将作为一个集合，如果其中有大于 1 的，就减去 1。这个集合是由可数个数的，把它记作。所有这些集合的并集是区间0,1，而它们之间两两不相交。然后将每个写成：再令：遍历所有集合中的所的集合。遍历所有集合中的所的集合。如此等等，的并集也是区间0,1，那么所得到的事件（也就是集合）而且它们之间两两不相交。由于这些事件

6、之间地位相等，所以它们的概率都是一样的。如果，那么根据加法原则，而如果，那么根据加法原则，仍然有：因此无论如何，都会导致。也就是说无法为事件定出一个概率。在一般的测度理论中，这种集合称为（勒贝格）不可测集合。事件之间的关系两个随机事件之间可以有各种各样的关系。包含关系：通常用符号表示。一个事件包含另一个事件记作：。这时只要事件发生，那么事件也一定发生。这个关系其实就是集合论中的包含关系。举之前牌的例子来说，假设事件是“抽出的牌上数字是 8”，事件是“抽出的牌是梅花 8”，那么事件包含事件：只要抽出的是梅花 8，牌上的数字自然就是 8。等价关系：两个事件对应的子集完全相等，记作。例子：事件“抽出

7、的牌花色是黑桃并且数字比 3 小并且数字是偶数”和事件“抽出的牌是黑桃 2”就是等价的。对立关系：两个事件只能有一个发生，并且必然有一个发生，则它们是对立关系。这种关系对应的集合论术语是“补集”。互斥关系：两个事件只能有一个发生，但并不必然有一个发生。这时也称两个事件之间是互不相容的。独立事件如果两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，那么就称这两个事件是相互独立的。比如说，“抽到的牌是”和“抽到的牌数字是 4”就是相互独立的，因为两者同时发生抽到的牌是4的概率是 52 分之 1，而“抽到的牌是”的概率是 4分之 1，“抽到的牌数字是 4”的概率是 13 分之 1，两者相乘便是 5

8、2 分之 1。数学期望在概率论和统计学中，一个离散性随量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望，物理学中称为期待值）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于中的“期望”“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合裡。）例如，掷一枚六面的期望值是 3.5，计算如下：3.5 不属于可能结果中的任一个。是期望值的一种常见应用。例如， 的 赌中常用的 上有 38 个数字，每一个数字被选中的概率都是相等的。赌注一

9、般押在其中某一个数字上，如果 的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以将相当于赌注 35 倍的奖金和原赌注拿回（总共是原赌注的 36 倍），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。因此，考虑到 38 种所有的可能结果，以 1 赌注押一个数字上获利的期望值为：2012 秋季华约数学结果约等于-0.0526赌注的期望值为 0.9474。也就是说，平均起来每赌 1就会输掉 5 美分，即以 1作。在中，一场每位参与者获利期望为 0（没有净利或净亏）的通常会被叫做“公平竞赛”。补充习题:（交大）6 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完卷子的先后次序不定,1.后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为达到通道而打扰其余尚在为 _.n 的正方格，任取得长方形的是正方形的概率是_ .的考生的概率2.3.0,1,2 ， 这十个数码中抽出 个，排列成一行，则恰好概率是_.可以被 整除的五位数（五校选拔样题）甲，乙等 4 人互相传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外 3 人中的任何一人。（1） 经过两次传球，球在甲，乙两人手中的概率各是多少？4