第5讲 绝对值和绝对值不等式的解法（解析版）

1、【第5讲】 绝对值和绝对值不等式的解法编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【基础知识回顾】知识点1 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即知识点2 绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义表示在数轴上，数和数之间的距离【合作探究】探究一 绝对值的性质【例1-1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A2 B2 C-2 D4 【答案】A【例1-2】已知|x|=5，|y|=2，且xy0，则x-y的值等于（）A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3【答案】C【例1-3】已知

2、：abc0，且M=，当a，b，c取不同值时，M有 _种不同可能【答案】4【解析】当a、b、c都是正数时，M= 3；当a、b、c中有一个负数时，则M=1；当a、b、c中有2个负数时，则M= -1；当a、b、c都是负数时，M=-3归纳总结：【练习1】已知是非零整数，且，求的值【解析】：由于，且是非零整数，则一正二负或一负二正，（1）当一正二负时，不妨设，原式；（2）当一负二正时，不妨设，原式原式探究二 绝对值的应用【例2】若，则【解析】，所以归纳总结：绝对值具有非负性，即若，则必有，【练习2-1】练习1：， _；_【解析】【练习2-2】若，则【解析】由题意，所以探究三 零点分段法去绝对值【例3】化

3、简代数式【解析】当时，原式；当时，原式；当时，原式综上讨论，原式归纳总结：【练习3】化简代数式【解析】当时，；当时，；当时，综上讨论，原式探究四 绝对值函数【例4-1】画出的图像【解析】（1）关键点是，此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当时，；当时，（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到【例4-2】画出的图象【解析】（1）关键点是和（2）去绝对值当时，；当时，；当时，（3）图象如右图所示【例4-3】画出函数的图像【解析】（1）关键点是（2）去绝对值：当时，；当时，（3）可作出图像如右图【例4-4】画出函数的图像【解析】（1）关键点是和（2）去绝

4、对值：当或时，；当时，（3）可作出图像如右图归纳总结：探究五 解绝对值不等式【例5-1】解不等式 【解析】对应数轴上的一个点，由题意，到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：和，自然只有在和之间的点，到原点的距离才小于1，所以的解集是归纳总结：（1）的解集是，如图1 （2）的解集是，如图2 【练习5-1】解不等式：（1）； （2） （3）【答案】（1） （2） （3）【例5-2】解不等式 【解析】：由题意，解得，所以原不等式的解集为归纳总结：（1） （2）或【练习5-2】解不等式：（1）；（2）；（3）；【解析】：（1）由题意，解得，所以原不等式的解集为（2）由题意，或，解得

5、或，所以原不等式的解集为（3）由题意，解得【例5-3】解不等式组【解析】：由，得，解得，由，得，即，解得，由得，所以原不等式的解集为【练习5-3】解不等式【解析】：方法一：由，解得；由得，或，联立得，所以原不等式的解集为方法二：或，解得，所以原不等式的解集为【例5-4】解不等式：【解析】：方法一：（零点分段法）（1）当时，原不等式变为：，解得，所以；（2）当时，原不等式变为：，解得，所以；综上所述，原不等式的解集为方法二：或，解得或，所以原不等式的解集为归纳总结：（1） （2）或【练习5-4】解不等式：【解析】：由得，解得，原不等式的解集为【例5-5】解不等式：方法1：利用零点分区间法（推荐）

6、 【分析】:由，得和和把实数集合分成三个区间，即，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论【解析】：当时，得，解得：； 当时，得，解得：；当时，得，解得：综上，原不等式的解集为方法2：利用绝对值的几何意义【解析】：的几何意义是数轴上的点到1和的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，易知当或时，所以位于和之间（不含端点），所以，所以原不等式的解集为【练习5-5】解不等式：4【解析】解法一：由，得；由，得；若，不等式可变为，即4，解得x0，又x1，x0；若，不等式可变为，即14，不存在满足条件的x；若，不等式可变为，即4， 解得x4又x3，x4综上所述，原不等式的解为x0，或x413

7、ABx04CDxP|x1|x3|图155解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的几何意义即为|PA|PB|4由|AB|2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧x0，或x4【课后作业1】1_；_；_；2，则_3若，那么一定是（ ）A正数 B负数 C非正数 D非负数4若，那么是_数5如图，化简_6已知，则_7化简，并画出的图象8化简 9.画出的图像10.画出的图像【课后作业2】1.已知，化简得( )A. B. C. D. 2.不等式的解是 ，不等式的解是_.3.不等式的解是_.4.根据数轴表示三数的点的位置，化简 _ .5.解不等式 6