误差理论习题答疑合肥工业大学,费业泰主编分解

1、误差理论习题答疑目录.绪论.误差基本原理.误差的合成与分解.最小二乘法原理.回归分析绪论绪论1 口1-4在测量某一长度时，读数值为2.31m,其最大绝对误差为20um,试求其最大相对误差。解：最大相对误差仁(最大绝对误差)/测得值，最大相对误差=xlOO%=8.66xl()7%23 L绪论1-5林由+也)1-5使用凯特摆时，由公式8二尸 o给定。今测出长度给定。今测出长度(4+%)为。.04230 0.00005)m ,振动时间 T 为Q.0480 0.0005)s。试求 g 及最大相 对误差。如果(4+生)测出为(1.04220 0.0005)m，为了使g的误差能小于。旧但小, T的测量必须

2、精确到多少？ TOC o 1-5 h z ,4一5)4 这 Y瓦中 h)4/ 1.04230a=., s =5g =9.8I053ot/j*/-解：由 厂 得 2.04X0对1 进行全微分，令h = /?1 + h2 ,并令g，N】,代替dg, dfi，d,得.4一凶 3,他丁Ag A/t A7g ； -2尸 尸 ，从而g h 丁 的最大相对误差为：-S=S. = 20.00005 , -0.00054/gh T - 1.04230 一 X 2.0480= 53625x IO-4% 由得回r二户且三名IL 2.0479。V g ,所以，V 9.81053绪论1-71-7为什么在使用微安表时，总

3、希望指针在全量程的2/3范闱内使用？，解：设微安表的量程为0工，测量时指针的指示值为X,微安表的精度等级为S,最大 误差相对误差W 空，一般* *“，故当X越接近X。相对误差就越小，故在 使用微安表时，希望指针在全量程的2/3范闱内使用。绪论1-9,1-9多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过O.lknL优秀选手能在 距离50m远处准确射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？-xlQ0% = 10-3%解：火箭射击的相对误差：1c0选手射击的相对误差：x!00% = 4xl0-2%50所以，相比较可见火箭的射击精度高。绪论1-10,1-10若用两种测量方法测量某零

4、件的长度Ll=100mm,其测量误差分别为和9吗 而用第三种方法测量另一零件的长度L2=150mm ,其测量误 差为12加，试比较三种测量方法精度的高低.生丝乂 100% = 0.01%解：第一种方法测量的相对误差为：,10WOT第二种方法测量的相对误差为：I舄|00%=及M第三种方法测量的相对误差为：篙相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方法测量的精度最低。第二章：误差基本原理.算术平均值.标准差及算术平均值的标准差.测量结果表达方式.粗大误差判断及剔除误差基本原理2-22-2测量某物体共8次，测得数据（单位为g）为236.45, 236.37, 23.51, 236.34, 236

5、.39, 236.48, 236.47, 236.40。试求算术平均值及其标准差.,解：算术平均值为：出 &,为次8Jq庞仪川西十。西十（-0.砌二十（0仅尸位函十&04二十（-0.第Y算术平均值的标准差是:解： 别 捷 尔 斯 法XlKl 4 = 1.253 1 ”(I)0.02 + 0.06 ; 0 .08 + 0* 0 04 + 0.05 + 0.04 + 0.031.253x0.410.51373=096965gcr _ 006X65X- Vb -= 0.02427g= 236.51-236.34=J7g查表得：4=4=2.85 ,所以A 0.17 八八公b 0.05965cr = -

6、= 0.05965? d =dn 2.85. x 6 瓜= 0.02109g= 0.61，最大误差法：查表得：K町勺 所以,cr 0.0549 nniQ/11 弓=五=b = 1941g综上所述，用贝塞尔公式得到的标准差是0.0212g,别捷尔斯法计算得到的标准是0.02427g、极差法是0.02109g和最大误差法是0.01941g,故最大误差法计算的 得到的标准差最小，别捷尔斯法最大。2-9已知某仪器测量的标准差为0.5m0若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm,试写出测量结果。 若重更测量10次,测得值（单位为mm）为26.2025, 26.2028, 26.202

7、8, 26.2025, 26.2026, 26.2022, 26.2023, 26.2025, 26.2026, 26.2022,试 写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由中10次 重及测量的测量值，写出上述、的测量结果。h= 3j = 3x0.5 = .5um = 0.0015w/?jt解： IM产，测量结果：x = (26.2025 0.0015) mm2-3用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。一 1 三力日2620254%202S 侦 2028中配25426_2023426.20区4%20226.202516.2026*26202210=26

8、2025wmcr 0.0005 _ _ _ .ct- = = = -= = 1.58x10 nim* 册 710斗 一 =3cr- = 3=二 3x 22二=4.74x IO-4mm1,mr x Viox = x + 丁所以有根据怀疑存在系统误 差。2-17 等精度测量某一电压10次，测得结果（单位为V）为25.94, 25.97, 25.98, 26.01,26.04, 26.02, 26.04, 25.98, 25.96, 26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判断是否接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新作了 10次等精度测量，测得结果（单位为 V）为 25.93,

9、 25.94, 25.98, 26.02, 26.01, 25.90, 25.93, 26.04,25.94, 26.02。试用t检验法（取 为0.05）判断两测量值之间是否有系统误差。用t检验法判断：第一次测量的数据x = 26.001xl.549xW2 =L549*1O-3v 25 97第二次测量数据：1 10_ I叶不空，-g二一、I %(乙+4-2)7=0 _ y)Jr-= (26.001-25.97)= 1.5310 x10 x(10+10-2)(1O+10X1OxL549x10-3 + I0 x2.15xIQ-3)因为L0-2 = %取”叱查t分布表，得“Z10IA1= 1 53

10、f =2 101 1 ,” 所以，无根据怀疑测量列中存在系统误差。2-19对某量进行两组测量，测得数据如下：Xj ;0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57V：;0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 131 138 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：将两组混合排列成卜表:9112345678910均0.620.861.13L131.161.181.201.21耳0.991.12.1

11、111213141516171819201.221.261.301.341.391.21L25L3113.11.38I21222524252627282930%1.411.57X1.41L4g1.501.591.601.601.84L95得，八士2+S+6+7岛外105+12+M+1544“215出口 因为中产巨。，秩和丁近q%(玛+%+1).12似服从正态分布,+15x(15 + 15 + 1)d=22所以，数学期望为，标准差,口一 悭地+4+1）V 12叵叵叵亘二34V 12T-a 174-2325 t=所以,cr 24=2427故，当置信概率p240此时有根据怀疑两组 测量值之间存在系统

12、误差。而当置信概率p98.76%时，乙=2.5|/1= 2,427=2.50此时无根据怀疑两组测量值之间存在系统误差。2-20 对某量进行 15 ?欠测量，测得数据为 28.53, 28.52, 28.50, 28.52, 28.53, 28.53, 28.50, 28.49, 28.49, 28.5b 28.53, 28.52, 28.49, 28.40, 28.50,若这些测得值以消除系统误差, 试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判断该测量列中是否含有粗大误差测量 值。思路： 莱以特准则：计算得3ct=3xQCB27=Q0981根据莱以特准则，第14次测量值的残余误差QgOgi所

13、以它含有粗大误差，故将它剔除。再根据剩下的14个测量值重复上述步骤。 格罗布斯准则：xn =28.40,xm = 28.53丫小.匕按照测量值的大小，顺序排列得，（5），现在有2个测量值可怀疑，由于= 28.504-28.40 = 0.104玉-嚏=28.53 - 28.504 = 0.026故应该先怀疑X(l)是否含有粗大误差,Y-X(T取a = 0.05,查表得，go(15,0.05) = 2.41,则g =3.1804 go(15,0.05) = 2.41。故第乂个测量值乂含有粗大误差，应剔 除。注意：此时不能直接对x (15)进行判断，一次只能剔除一个粗差。重更上述步骤，判断是否还含有

14、粗差。狄克松准则同理，判断后每次剔除一个粗差后重更。第三章：误差的合成与分解知识点：.系统误差合成.随机误差合成.相关系数.微小误差取舍原则.误差的分解及等作用原则3-2为求长方体体积V,直接测量其各边长为161.6 a mm , 44.5 b nun , 11.2c mm ,己知测量的系统误差为1.2 a nun , 0.8 b mm , 0.5 c mm , 测量的极限误差为0.8 a mm, 0.5 b mm, 0.5 c mm,试求立方体的体枳及其体积的极限误差。思路：.按测得值计算得V；.根据系统误差的合成原理求得V的系 统误差；.计算长方体的体积；.根据极限误差的合成原理求得极限误

15、 差；此时可写出测量结果表达式。解：因为V = ahc% =axbxc= 161.6x44.5x11.2=80541.44mm3-=/xc- = 44.511.2 = 498.4da= L61.6xl 1.2 = 1809.92劭= ax/p = 161.6x44.5 = 7191.2de体积的系统误差：AK = &z +Aft+仪、da cb Sc=498.4 x L2+1809.92x(旬.8) + 7191.2x 0.5= 2745.744m 加所以，长方体的体积是：r = -ak= 80541.44-2745.744二 77795.6965病极限误差为（局部误差方和根）:=(b 义 c

16、，5： + (a 乂 cf 5： +(义与 2 乏 2=7498.42 x O.82 + 1809.922 x 0.52 + 7191.22 x O.52=37291加所以，立方体的体积是77795.696加,体积的极限误差是3729.1 Imnr3-4测量某电路的电流22.51mA,电压12.6UV,测量的标准差分别为5= 匕求所耗功率p UI及其标准差P。解：先求所耗功率：P=t7=126x22.5xl(T3 =0.2835% 因为，= / = 22.5xl 0-3 dU竺= U = 12.6 cl且u,I完全线形相关,LcP. 2 4 R 2 c dP SP内甘拓)凡+引S+2%言义瓦的

17、叼=，22.5幻0 xO.F+ 126 xfO.SxKTY+2x1x22.5xlHxl2.6xO.lxO.5x=70625 x KT1, +39.69x 10 + 2835 xllO=V73.1025xl(r6=8.55x1(T3Wz所以，该电路所耗功率为0.2835W,其标准差为8刈51型。3-6已知工与歹的相关系数 =，试求=/+他的方差？2。解：因为du =2x5xdu=a3y所以,）a、2 o r若二啜+写）汽Mx/3u duXXdx dy=4/寸 +寸 + 2 x (- l)x2o % 乂 %=4rb 2 +b 2 + -4-tt/cr 0石y二 (2.qwJ所以3“ = /+qy的

18、方差5；为(2-x7k - aay )23-8如图36所示，用双球厂？ 法测量孔的直径D，其钢球t直径分别为4处,测出的距 离分别为%,试求被测 孔径D与各直接测量量的 函数关系止/MW0也）及其误差传递函数。解：如图所示，由勾股定理得=(Q-华4+(片-生+甘与(Q工雪=(41与2 _(耳_必+上)2xi22即，D粤 +7”N中小亨十乩_“” i吟人以十,，卓.府场田a然后对dl, d2, HLH2分别求偏导，即得出误差传递系数。3-10假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T,重力加速度可由公式T=2jrl-&koi% Vg给出。若要求测量g的相对标准差K试问按等作用原则分配误差时，测

19、量L和T的相对标准差应该是多少？解：由重力加速度公式，得，2 _44黯Ls =-因为，eg _ 47r2拓二Fdg _ ELar_因为测量项目有两个，所以n=2。按等作用原理分配误差，得47PL_ 二4 1 =4二% -= 1 %/ 逆一/4三一方一生g-0g双* x0.1%=0.07072%L显菖戊同理，竺与b =%=%气不0_ %_T* _ % ,L3.r7 &堂 41履L 戊&五 & &五 丘2g 2J2 g cT1?产去工存xtt l%=0.0353fl%综上所述，测量L和T的相对标准差分别是0.07072%和0.03536%。第五章：最小二乘法原理知识点：.最小二乘法原理.正规方程.

20、两种参数估计的方法.精度估计推荐掌握：基于矩阵的的最小二乘法参数估计参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾：由误差方程V=L-AX且要求V、最小，则：VrV = (L-AX)r(L-AX)= (Lr-XrAr)(L-AX)=LrL-LrAX - XWL + X7AzAX令其等于f(X)，要f(X)最小，需其对应偏导为0；f (X)= -LrA-L7A + (ArAX)7 + XrAJA = 0t/XLjrA = XIArAATL = ArAX所以：X = (ArA),ATL理论基础： TOC o 1-5 h z 条心=方面v2 = 0.9-(x-2j)v3 = 1.9 -2x - 3y)J

21、）2941r+7）f 丑（194人一斗方+（19。一百疔分别对工，J求偏导，并令它们的结果为。,& 0 x+y）-29）x342 仅一20-Q 隽十 2以一3）-19乂2=0 2（0计）-29）一五（-）=（19乂2+2（&-初一19乂3=0即，14x-5j=13,4 1-5.+14v=6j由上式可解得结果：* = 9626 ”601522.直接列表计算给出正规方程常数项和系数Ia八%*LaJ131913N98.72.921T14-2O.0.9-1.8iT4gl.-6.7y1414-6LI 4T6可得正规方程14x-5y = 13.45x + 14j = 4.6a将yx,的结果代入分别求得：巧

22、= 29-(3 x0.9626+0.0152尸00.003 14 =0.9-(0.9626-2x0.0152)=-0.0322 -匕= 1.9-(2 x 0.9626-3x0.0152)=0.0204得，3十 2212t2-匕=V1 +. +畛i=l=(-0.003)2 +(-0。322f+(0.0204)2= 0.00146.,川=3 * 1 = 2 /口由题已知，得=0.0382由不定乘数的方程组14dL5此=1 1 -5八41441=0)1M1-5%=O 1 5/ 寸 144=I得% = 0.0819.=0.0819* 三 b麻=0.038270.0819 = 0.0109%=仃兄=0.

23、03X270.0819 = 0.0109方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程V=L-AXV| = 2.9 - (3x + 2y) v2 = 09-(x-2y) v3 =1.9-(2-3y)上式可以表示为n 匕 %1-2-3即解得,式中所以0.96260.0152 .x = 0.9626y = 0.0152将最佳估计值代入误差方程可得,0.9626-00152-0.0030=-0032200204将计算得到的数据代入式中= 0.0382为求出估计量y , x,的标准差，首先求出不定常数（3 = 2）。由己知，不定常数%的系数与正规方程的系数相同，因而乙是矩阵0H中各元素，即14 =0.08191

24、7114“22= 0.0819171可得估计量的标准差为6 = b 向=0.038270.0819 = 0.0109%二cr 77 = 0.038270.0819 = 0.01095-3测力计示值与测量时的温度t的对应值独立测得如下表所示。t/C 15 18 21 24 27 30/ FN 43.61 43.63 43.68 43.71 43.74 43.78F = k + kt试给出线性方程中系数kO和k的设t无误差，F值随t的变化呈线性关系 最小二乘估计及其相应精度。解：利用矩阵求解,11821242730可得=cKl=(XaLal试中,=(A7 A J-1-I1 5 I S 212424

25、27135155 31653 195945 -1353195一 135所以一 13543.6143.6S11 1 43.6X27 30J 43.7143.7443.7843.4324-0.01152.V=L-AX 将最佳估计值代入误差方程43.43240.011520.0048-0.009760.0056X0.00112-0.003440.002为求出估计量k0,、k,的标准差，需要求出不定乘数dji的系数，而不定乘数Dji的系数与正规方程的系数相同，因而Dij是矩阵中各元素，即由=2_3195 -1351氏心诉- 1356 _31954t =- = 3.3809511945/= = 0.00

26、635一 945可得估计量的标准差为0 一疗77 = 0.00647 J3.ZK095 =0.00119aAi = d 而=0.00647V0.00635 = 0.0005165 5不等精度测量的方程组如下:X -3y = -5.6 9 4=1；4x +v = 8.1 t P. =2 . ： 2%一3)，= 0,5,试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。解：利用矩阵计算1 一3A= 4 12 -1-5.6=8.10.5“0 o-P= 0 2 0Q 0 3_= (ArPAflATPL另C=a-aa451 U 1629 1 45X =* = ArPA)-ATPL = LTPL将最佳估计值代入误差

27、方程L .晨，彳可计算品又知IxOi3十2x0.(W+3x(F0165 =O.wyZ3214一=0.02226 敏 0.0223 629 = 0.071540.0715629可得估计量的标准差为% = O 向=0.039270223 = 0.0059= 0.039270.0715 =0.01055-7将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给出未知参数XI, x2,的二乘法处理及其相应精度。匕=5.13 -X,v3 = 1321-(阳 +/)匕=3.01-X = * =CL = （ AA）T AL1 F15.21OO= ?L24.fr000-5.0700-一 2仇2.取巧，#2得近似值与=5

28、.0700,f=8.2% 令%二.%+5解；1由前面三个线性的误差方程、一 代可解得打。的近似估计值“打利用矩阵形式求解：可得式中可将误差方程线性化，现分别对测量方程求 偏导则误差方程化成线性方程组V二L - A6 ,1o011103X18 0J4604*4-4 一工（与”如）0060(H-0.06-0.12可得6=CiArU = (ArAylArL式中ri1 0 I 0.38180 1 1 0.14600.38 IS0.14602.14581.05571.05572 .。空0.6272-03276-0.3276 0.6658所以(1060.6272-0.3276 1 0 1 0.38180.

29、04-0.32760.66580 1 1 0 1460-().06-0.120.060.6272-03276 0.2996 0.19160.04-0.32760.6658 O.3S82 -0.0279-0.06-0.0164-0.12-0.0100解得= -0.0164，=0.0100玉=xio + 5.0700 - 0.0164=5.0536=X2o+4=，20000.0100=8.190。将卬6的最隹估计值代入误差方程计算可5.138.26 V =13.213.01可得，再由,则，5.0536 18.1900 _13 2436 一3.1252007640.0700-0.0336-0.115

30、2,0.6272 -0.3276c=1 -03276 0.6658dn = 0.6272=0.6658可得估计量的标准差为,=。匹= 0.112CK/0.6272 = 0.0X87crn120/0.6658=0.0914第六章回归分析知识点：. 一元线性回归.多元线性回归.方差分析及显著性检验LOGO第六章回归分析6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下： TOC o 1-5 h z 正应力/x Pa26.825.428.923.627.723.9抗剪强度 /yPa 26.5 27.3 24.2 2723.6 25.9/ x Pa 24.728.126.927.42

31、2.625.6/yPa 26.322.521.721.425.824.9当正应力假设正应力的数值是精确的，求抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。为24.5Pa时，抗剪强度的估计值是多少？解：1;26.826.5718.24702.25710.2225.427.3645.16745.29693.42328.924.2935.21585.64699.38423.627.1S56.96734.41639.56S27.723.6767.29556.96653.72623.925.9S71.21670.81619.01724.726.3610.09691.69649.61828.122.5789.615

32、06.25632.25926.921.7723.61470.89583.731027.421.4750.76457.96586.361122.625.8510.7666S.64583.081225.624.9655.36620.01637.44Z311.4297.28114.267407.87687.761g311.6 .=-V xa = 25.97占 12广些=2477 勺125土-红= 836 一更一.05 xi n12（2乂）707，工= 7407.8 =47.15 Z = 76X7.76-3UEx2972 = _2g.分12,Q -29.53 Ah = i- = -0.6861L 43

33、.05 TOC o 1-5 h z 一 一 797，311 6力=F 8x =+ 0.6861 乂- 42.5818& ,1212所以，综上所述， HYPERLINK l bookmark164 o Current Document v = 42.5818 0.686 lx = 42.58-0.69.V /c当正应力工为245尸。时，抗剪强度的估计值是：j = 42.58 - 0.686 lx 24.5 = 25.775尸=25.8 尸”6-7 在4种不同温度下观测某化学反应生成物含量 的百分数，每种在同一温度下重灾观测三次，数据如 下：g/p150200250300生成物含的百分 就了77.

34、476.778.2S4.184.583.7S8.9S9.289.794.894.795.9求y对x的线性回归方程，并进行方差分析和显著性检验解：乂为同一温度三次下观测生成物含量的百分数 的平均值，77.4+76.7+78.2/ , .384.1+84.5+83.7 _二=84.13Jj=潴9+89.2+89,7_0c “一=89.267394.8+94.7+95.9JoZ jr3Z=9001-1-900 x =2254NZ =21500M-1N（2阳）32J 1Qflf）一上=202500N4N0炉=215000-202500=12500*E M = 34S .9333-345 9333 4g

35、” 4 婷=30087 .614（Pf）3345,9333 2N4=2W17 .4620M =）（!）j _，=；=i；=i”.V 7929L66-77833.99954=1456.6675现将计算结果写入方差分析表中中方和自由度方差F县善性回归 物 恨差509.1053 1JJ472.66118509.1053 0.66735 0332s1531.141.0113）1L26 72,8）=1165总计513.1111由于产= 1531.14心婚)=il26,回归高度显著=皿/0卬故回归方程拟合的很好。6-11用表差法法验证下列数据可以用曲线片叶爪山表示。x 0.20 0.50 0.70 1.2

36、0 1.60 2.10 2.50 2.80 3.20 3.70V 4.22 4.32 4.45 5.33 6.68 8.91 11.22 13.39 16.53 21.20解：将表中yx,画图得曲线如图所示，从曲线上按=05 .读取袅，1列 入下表。，因表中 分 极接近常数，此组观测数据可用=。,*+5三表示现，值自图上读数情H序差值XyXVAx%0.200.4004.4-0.20.504*0.44.20.60.40.704.450.8460.40.81.205331.25.4HI1.2106.881.66.60.6LS2.108.912.08.40.42.22.5011.222.410.60.52.72JL3.392.81330.53.232*lh.533.216.5心3.76-12炼焦炉的焦化时间y与炉宽1x及烟道管相对温度2x的数据如下：v/min 6.40 15.05 18.75 30.25 44.85 48.94 51.55 61.50 100.44 111.421x!n1.322.693.564.41535 6.20 7.12 8.87 9.80 10.65x21.153.404.108.7514.82 15.15 15.32 18.18 35.1940.40A求回归方程,公自+仇检验显著性，并讨论xl, x2对y的影