13.4 课题学习　最短路径…1

1、教学设计基本信息名称 最短路径问题执教者胡玉红课时1课时所属教材目录人教版八年级上册 第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题教材分析随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而寻求最短路径的数学问题。本节是“课题学习 最短路径问题”，是本章的最后一节，这节课主要是解决“将军饮马问题”，解决这个问题的关键是通过轴对称变化把问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，在解决这个问题的过程中渗透了“化归”的思想。学情分析（1）认知基础：在七年级已经研究过“两点之间,线段最短”、“垂线段最短”等最短路径问题,在本章的前面学生也初步掌握了作点

2、关于某直线的对称点,所有这些内容构成了本节课的认知基础.（2）活动经验：通过初中学段一年多的学习,学生已经有了图形变换以及模型构建的意识,获得了初步的数学思维转化这一数学活动的经验,具备了一定的主动参与、合作交流的意识和初步的观察、分析、归纳、猜想和解决问题的能力.教学目标知识与能力目标已知直线同侧两点A、B，会在直线上求一点P，使PA+PB的距离最短。能利用轴对称解决实际生活中的最短路径问题。过程与方法目标培养学生转化思想和数形结合思想。情感态度与价值观目标通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。教学重难点重点利用轴对称作图确定使距离最短的点。

3、难点数形结合思想和数学建模思想的培养。教学策略与 设计说明本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图一、创设情景 引入课题（5分钟）师：我们都知道“数学来源于生活，应用于生活。”前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最

4、短路径的问题本节将体会如何运用数学知识选择最短路径。引例1：如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？引例2：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 二、自主探究 合作交流 建构新知（25分钟）将军饮马问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个

5、问题后来被称为“将军饮马问题”BAl追问1这是一个实际问题，你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线 B。Al追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （1） 点A，B 在直线l 的同侧，在l 上找一点C，使AC 与CB 的和最小？ （2） 思考：如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ lABCB强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充，找到解决办法：（

6、1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求 如图所示：BlCAB追问3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 教师展示：证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短BlABCC追问4证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？ 若直线l 上

7、任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小 师生活动：共同回顾作图方法。追问5回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 三、运用新知（12分钟）练习元旦时我们班举行联欢会，把桌子摆成两直条（如图1中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的杨光同学先拿桔子再拿糖果，然后回到座位请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？拓展练习 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.教师提问题学生思考并

8、观察图片获得感性认识.观察口答动手连线观察口答请一位同学读题独立思考合作交流学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识。.分组讨论，合作交流，然后派代表回答。小组交流，然后派代表回答。思考，回答。学生独立完成，集体订正用身边的实际问题激发学生的学习兴趣及探索欲望.为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.提高学生的阅读理解能力，加深对问题的理解。 将实际问题转化为数学问题，培养数学建模思想。达到轴对称知识的学以致用注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结

9、.通过把AC+BC,AC+BC分别转化成AB、AC+BC，培养学生的转化思想，体会轴对称的作用。通过追问4，了解证明方法的排他性，增强证明结论的可信度。通过追问5，进一步体会轴对称的作用。学以致用，及时巩固课堂小结2分钟本节课研究的主要问题是什么？轴对称起在所研究问题中起什么作用？通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？和同学们交流一下。布置作业1分钟1、如图，小河边有两个村庄A、B要在河边建一自来水厂向A村与B村供水 若要使厂部到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？2、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，（1）若要使油库

10、分别到两个加油站距离最短，应在何处设置加油站？（2）若要使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短，应如何设置？板书设计13.4课题学习 最短路径问题两点之间，线段最短。垂线段最短。方法提炼：最短路径问题线段和最小问题两点之间，线段最短。教学反思1、本节课很好的完成了教学目标，课堂上学生积极主动，思维活跃，对教学效果比较满意。2、在拓展练习时，同学们思维活跃，各抒己见，是让我最兴奋的地方。3、学生对这节课的学习达到了我期望的水平，我比较满意。我觉得不足的地方是在课堂中，还是老师讲的比较多，限制了学生的思维发展。4、在做第一个练习时，有的同学提出的方法出乎我的意料。我和同学们一起耐心比较，找出解决问题的最佳方法。5、如果重上这节课