人教版八年上13.4课题学习最短路径问题第一课时

1、第十三章 轴对称13.4 课题学习 -最短路径问题 桑树坪学校 罗 毅观察发现AB观察发现 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？复习引入线段公理：两点之间，线段最短.垂线段性质：垂线段最短.AB最短路径问题BAl两点的所有连线中，( )最短。 连接直线外一点与直线的所有连线中，( )最短。()两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小,怎么作？连接AB,线段AB与直线L的交点P ，P点即为所求。ABP为什么这样做？两点之间线段最短。() 两点在一条直线同侧 如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边 L 饮

2、马，然后到B 地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？ABllABCC分析：转化为数学问题 当点C 在直线 L的什么位置时，AC与BC的和最小？问题1 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？联想：两点之间，线段最短.？lABC（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线L 的异侧呢？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABClABCB 如下左图，作点B关于直线 L 的对称点B .当点C在直线L的什么位置时，AC与CB的和最小？

3、如上右图，在连接AB两点的线中，线段AB最短. 因此，线段AB与直线 L 的交点C 的位置即为所求.lABCB 在直线 l 上任取另一点C ，连接AC 、BC 、B C 直线 l 是点B、B的对称轴， 点C、C在对称轴上，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB在ABC中，AB AC+BC， AC+BC AC+BC，即AC+BC最小lBABCC证明：如图. 1、问题：如图所示，要在街道旁修建一个水站，向居民区A、B 提供水，水站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短 练习：请同学们自己动手试一试！只有A、C、B在一直线上时，才能使AC +BC最小作点A关于直线“街道”的

4、对称点A，然后连接AB，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点 证明：（学生完成）2如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径 答：作Q关于直线BC的对称点Q，连接PQ交BC于R，旅游船线路：PQRP.问题1 归纳lABCBlABC 抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABllABC问 题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？ 如图假定任选位

5、置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？分析：aBAbMN 由于河宽MN是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。分析：lABCaBAbMNA 如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？最终转化为如右图的问题。参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决. 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA解：另任意造桥MN，连接AM、B

6、N、AN.由平移性质可知，AMAN，AMAN，AAMNM N.AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+BNAA+AN+BN.在ANB中，由线段公理知AN+BN AB，AM +MN +BN AM+MN+BN.证明：aBAbMNANM问题2 归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题lABC小结归纳lABClABCB转化轴对称变换平移变换两点之间，线段最短. 你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识.如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称点P，连接PQ交BC于M点，则P处的球经BC反弹后，会击中Q处的球. 请回答：如果使P球先碰撞台边BC反弹碰撞台边AD后，再击中Q球，该如何撞击呢?（画出图形）2.选做作业ACDBPQAC