随机信号分析：第二章 随机信号分析

1、2022/7/161第二章 随机信号分析随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程平稳随机过程通过线性系统2022/7/162引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变化的。2022/7/163随机过程：与

2、时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。随机过程是所有样本函数的集合。2022/7/1641 随机过程的一般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程2022/7/165随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。每一个时刻，对应每个样本函数的取值xi(t),i=1,2,n是一个随机变量。固定时刻

3、t1的随机变量计为(t1)。随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。2022/7/1661 随机过程的一般表述(2)分布函数与概率密度随机过程(t)在任意时刻t1是一个随机变量(t1)，其统计特性可以用分布函数与概率密度函数来表示一维分布函数一维概率密度2022/7/167n 维分布概率函数n 维概率密度函数一维分布函数或概率密度函数仅描述了随机过程在任一瞬间的统计特性，进而可以对任意固定的n个时刻进行概率分布与概率密度的描述。显然n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。当然实际上是根据需要来确定维数的。2022/7/168随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不

4、需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。对于通信系统而言，随机过程的数字特征就可以满足需要，也会有明确定的物理含义，还可以测量。如通信信号的方差就是交流功率。2022/7/1691 随机过程的一般表述(3)随机过程(t)的数字特征(t)的均值或数学期望t的引入说明随机变量、均值是时间的函数注意：(t)的均值是时间的确定函数，它表示随机过程的n个（也可是无数个）样本函数曲线的摆动中心。方差注：均值和方差只与一维概率密度函数有关，它们反映了随机过程各时刻的特征。2022/7/1610自协方差函数相关函数表征随机过程的内在联系，即随机过程任意两个时刻上的随机变量之间的关联程度。自相关函

5、数注：若随机过程的均值为0，则自相关函数和自协方差函数完全相同；即使均值不为0，二者描述的随机过程的特征也是一样的。常用自相关函数。2022/7/1611相关系数2022/7/16121 随机过程的一般表述(4)两随机过程的联合分布函数和概率密度(n + m) 维联合分布函数(n + m) 维联合概率密度2022/7/16131 随机过程的一般表述(5)两随机过程的数字特征互相关函数互协方差函数2022/7/16142 平稳随机过程(1)狭义平稳(严平稳)一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔 ( t1 - t2 ) 有关数字特征广义平稳(宽平稳)2022/7/16152 平稳随机过程(2)

6、各态历经性(遍历性、埃尔哥德性)：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态 随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表 遍历过程必定是平稳过程，反之不然。遍历 时间平均代替统计平均思考：为什么要研究随机平稳随机过程2022/7/16162 平稳随机过程(3)实平稳随机过程的自相关函数偶函数：有界性：周期性：统计平均功率：直流功率：交流功率： =E(t) E(t+)= E2 (t)2022/7/16172 平稳随机过程(4) 平稳随机过程的功率谱密度(统计平均)单边功率谱密度(实平稳随机过程)2022/7/1618图：功率信号与截断函数2022/7/16192 平稳

7、随机过程(5)其中=t2-t1 (t)数学期望是常数，自相关函数只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳过程。2022/7/1620其功率谱密度为：(t)的时间平均值如下：结论：随机相位余弦波是遍历的。2022/7/16213 高斯过程(1)定义：任意 n 维概率密度是正态分布式式中ak是均值，2是方差，B是规一化协方差矩阵的行列式。 概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数(相关系数)2022/7/1622 b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1 |B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余子式，bjk为归一化协方差函数，见教材(3.33)。3 高斯过

8、程(2)2022/7/1623 重要性质： 高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和规一化协方差，因此只需研究它的数字特征就可以了。广义平稳 狭义平稳 各随机变量之间互不相关 统计独立高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。即线性系统的输入是高斯过程，则系统输出的也是高斯过程。2022/7/16243 高斯过程(3)一维正态分布关于 a 对称：f (a+x) = f (a-x)在点 a 处取极大值:2022/7/16253 高斯过程(4)概率积分函数:标准化正态分布: （a = 0, =1) 概率分布函数:2022/7/1626误差函数与互补误差函数分别表示高斯密度函数曲线尾部

9、下的面积 误差函数: Q函数: 互补误差函数:Q函数也是一种表示高斯曲线尾部下的面积的函数。2022/7/16274 窄带随机过程 (1) 1. 窄带随机过程定义: 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度f ，f (z) 近似高斯分布2022/7/16476 平稳随机过程通过线性系统(1)输出随机过程的均值输出随机过程的自相关函数与功率谱密度平稳2022/7/1648重要结论：输出过程度功率谱密度是输入过程度功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。2022/7/16496 平稳随机过程通过线性系统(2)2022/7/16506 平稳随机过程通过线

10、性系统(3)奇函数奇函数高斯独立线性变换2022/7/16517 高斯白噪声和带限白噪声白噪声n (t)定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度或 单边功率谱密度式中 n0 正常数白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：2022/7/1652白噪声和其自相关函数的曲线：2022/7/1653白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即 或真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。 实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则

11、称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 2022/7/1654低通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。 功率谱密度由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。 自相关函数2022/7/1655 功率谱密度和自相关函数曲线由曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。 2022/7/1656带通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。 功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为式中fc 中心频率，B 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为2022/7/1657自相关函数2022/7/1658带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线2022/7/1659窄带高斯白噪声通常，带通滤波器的 B fc ，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。平均功率2022/7/1660思考题和