2020高考数学2.2-函数的基本性质(3)课件(18页PPT)

1、考点一函数的奇偶性与周期性考点清单考向基础一、函数的奇偶性1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(填“相同”或“相反”)第1页，共18页。(2)在公共定义域内,(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;(ii)两个偶函数的和、积是偶函数;(iii)一个奇函数,一个偶函数的积是奇

2、函数.(3)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和的形式,即f(x)=g(x)+h(x),其中,g(x)=,h(x)=.二、函数的周期性1.定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有的周期中存在一个最小的正数,则这第2页，共18页。个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.2.由周期函数的定义得:(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)(a0),则f(x)为周期函数,T=2|a|;(2)若函数f(

3、x)满足f(x+a)=f(a-x)(a0)且f(x)为奇函数,则f(x)为周期函数,T=4|a|;(3)若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数,T=2|a|;(4)若函数f(x)满足f(x+a)=(a0),则f(x)为周期函数,T=2|a|.3.(1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称,则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期;(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.第3页，共18页。考向突破考向一由奇偶性求参数的值例1(2019届江苏徐州三中检测)若f

4、(x)=+a是奇函数,则a=.解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即+a=-a,化简得2a=1,解得a=.答案第4页，共18页。考向二由奇偶性(周期性)求函数值例2(2019届江苏苏州中学检测)已知函数f(x)为奇函数,且当x0时, f(x)=x2+,则f(-1)=.解题导引有两种方法可处理,一是直接先求出解析式,然后进行求值;二是通过奇函数的性质,先将函数值转化到已知区域,然后进行求值.第5页，共18页。解析解法一:当x0,所以f(-x)=(-x)2+=x2-.又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2+(x0时, f(x)=x2+,所以f(1)=12+=2.因

5、为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.答案-2第6页，共18页。例3(2017山东,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时, f(x)=6-x,则f(919)=.解析由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f(919)=f(6153+1)=f(1).因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x-3,0时, f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.答案6第7页，共18页。考点二函数的单调性与最值考向基础1.单调函数的定

6、义设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,(1)若f(x1)f(x2),则f(x)在区间D上是减函数.2.单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.注意:当函数有多个单调递增(减)区间时,区间之间用“,”或“和”隔开,而不用“”.第8页，共18页。3.判断单调性的方法(1)利用定义证明.(2)利用函数的性质证明.若f(x)、g(x)为增函数,则在公共定义域内:(i)f(x)+g(x)为增函数;(ii)为减函数(f(x)0);(iii)为

7、增函数(f(x)0);(iv)f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0);(v)-f(x)为减函数.(3)利用复合函数关系.法则是“同增异减”,即若两个简单函数的单调性相同,则这两第9页，共18页。个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.(4)图象法:从左往右看,图象上升的函数单调递增,反之单调递减.(5)导数法.若f(x)在某个区间内可导,则当f (x)0时, f(x)为增函数;当f (x)0时, f(x)为减函数.4.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0

8、I,使得f(x0)=M(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值第10页，共18页。考向突破考向一求函数的单调区间例1(2019届江苏苏州实验中学检测)函数f(x)=的单调递增区间为.解题导引判断函数的单调性,首先要确定函数的定义域,然后结合原函数的单调性和复合函数的单调性进行判断.解析因为x2-2x-30,所以x-1或x3,所以函数的递增区间为3,+).答案3,+)第11页，共18页。考向二由函数的单调性求参数例2(2019届江苏南菁中学检测)如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数,则实数a的取值范围为.解题

9、导引二次函数的单调性和对称轴有关,所以可结合图象加以判断,要注意对称轴和端点之间的关系.解析f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=1-a,结合函数f(x)的图象(图略)可知f(x)在(-,1-a上是减函数,要使f(x)在区间(-,4上是减函数,则只需1-a4,即a-3.答案(-,-3第12页，共18页。考向三由函数的单调性求解抽象函数不等式例3已知定义在R上的函数f(x)是增函数,则满足f(x)f(2x-3)的x的取值范围是.解题导引根据单调性可将抽象函数不等式转化为一般的不等式,然后解不等式即可.解析依题意得不等式f(x)f(2x-3)等价于x3,即满足f(x)f(2x-3)的x的

10、取值范围是(3,+).答案(3,+)第13页，共18页。方法一用单调性求解与抽象函数有关的不等式的策略1.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的.2.有时在不等式一边没有符号“f ”时,需转化为含符号“f ”的形式.如已知f(a)=0, f(x-b)0,则f(x-b)0,则x的取值范围是.解析(1)2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)2可得f(x(x-8)f(9).因为f(x)是定义在(0,+)上的增函数,所以有解得80,f(x-1)f(2).又f(x)是偶函数且在0,+)上单调递

11、减,f(|x-1|)f(2).|x-1|2,-2x-12.-1x3.答案(1)(8,9(2)(-1,3)第15页，共18页。方法二利用单调性求最值的策略先确定函数的单调性,然后根据单调性求解最值.若函数f(x)在闭区间a,b上是增函数,则f(x)在a,b上的最大值为f(b),最小值为f(a).若函数f(x)在闭区间a,b上是减函数,则f(x)在a,b上的最大值为f(a),最小值为f(b).例2奇函数f(x)在区间2,9上是增函数,在区间3,8上的最大值为9,最小值为2,则f(-8)-2f(-3)=.解析因为f(x)在2,9上是增函数,所以f(x)在区间3,8上为增函数,由题意可知f(8)=9,

12、 f(3)=2,又f(x)为奇函数,所以f(-8)-2f(-3)=-f(8)+2f(3)=-9+4=-5.答案-5第16页，共18页。方法三已知函数奇偶性求参数(求值)1.已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解.根据f(-x)f(x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性可得参数的值.2.已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住在已知区间上的解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式或函数值.例3(1)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)=.(2)函数f(x)=ax2+bx