比例解行程问题题库

1、比例解行程问题知识精讲比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角 色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵 活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对 于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用v甲,v乙；t甲,t乙；母，近来表示，大体可分为以下两种情况：.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他

2、们的速度之比。v tSffis,这里因为时间相同，即 加t乙t,所以由t甲t乙 也瓯比 t乙w比得到t竺，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比v乙2个物体所用的时间之.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时, 比等于他们速度的反比。丫甲,甲，这里因为路程相同，即V乙t乙海1 s ,由s甲V甲t甲，之V乙t乙得s V甲t甲V乙t乙，也 上，甲乙在同一段路程 s上的时间之比等于速度比的反比。V t甲模块一：比例初步一一利用简单倍比关系进行解题【例1】（难度等级 ）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即

3、回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小 明的时候，离家恰好是 8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上， 小明走了 8-4 =4（千米）.而爸爸骑的距离是 4 + 8 = 12 （千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12+4=3 （倍）.按 照这个倍数计算，小明骑 8千米，爸爸可以骑行 8X3=24 （千米）.但事实上，爸爸少用了 8分 钟，骑行了 4+12=16 （千米）.少骑行24-16 =8 （千米）.摩托车的速度是8+8=1 （千米/分）， 爸爸骑行16千米需要16分钟.8+8+16= 32.所以这时是8点3

4、2分。注意：小明第2个4千米，也就是从 A到B的过程中，爸爸一共走 12千米，这一点是本题的关 键.对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键.本题的解答就巧妙地运用了这一点【巩固】（难度等级派）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里.早晨 7 : 40，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分欢 欢从出发到追

5、上贝贝用了 6 分钟，她调头后速度提高到原来的 2 倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 20- 6-3- 6 =5 分钟，故她以原速度到达学校需要10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6 分钟，还剩下4 分钟的路程，而这4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走14 X （6+ 4） = 21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21分钟，所以 贝贝是 7 点 25 分出发的2 】 难度等级 ） 甲、 乙两车分别同时从A、 B 两地相对开出，第一次在离A 地 95 千米处相遇 相遇

6、后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B 地 25 千米处相遇求A、 B 两地间的距离？画 线段示意图 （ 实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线 ） ：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、 B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、 B 两地间的距离当甲、乙两车共行了一个A、 B 两地间的距离时，甲车行了 95 千米，当它们共行三个 A B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95X 3=285 （千米），而这 285千米比一个 A、B两地间的距离多 25千米，可得：95X 3-25=285-25=260（千米）.【巩固】（难度等级 ）地铁有 A, B两站，甲、

7、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A, B两站同时出发，他们第一次相遇时距A 站 800 米，第二次相遇时距B 站 500 米 . 问：两站相距多远？从 起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1 个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成 3 个全长，一个全程中甲走1 段 800 米， 3 个全程甲走的路程为 3 段 800 米 . 画图可知，由3倍关系得到：A, B两站的距离为800 X 3 500=1900米【巩固】（难度等级 ）如右图，A, B是圆的直径的两端，甲在 A点，乙在B点同时出发反向而行， 两人在 C 点第一次相遇， 在 D 点第二次相遇. 已知 C 离 A 有 80

8、 米， D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长.【解析】【例3】【解析】【巩固】【解析】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了 80 X 3=240米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少 60米，说明乙的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为240-60=180米，周长为180 X 2=360米.（难度等级 派）甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A出发，在甲、乙二人之间来回跑步 （遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）.已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距 210米，那么乙每分钟走 米；甲下

9、一次遇到丙时，甲、乙相距 米.如图所示：假设乙、丙在 C处相遇，然后丙返回，并在 D处与甲相遇，此时乙则从走 C处到E处.根据题 意可知DE 210米.由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从 A到C再到D的长度是AD的6倍，那么CD （6 AD AD） 2 2.5AD ,55 2AC 3.5AD ,可见CD 5 AC .那么丙从C到D所用的时间是从 A到C所用时间的-，那7么这段时间内乙、 丙所走的路程之和BC ,即全程）的：，所以CD CE7（CD加CE）是前一段时间内乙、 丙所走的路程之和（AC加5490 350,而 CD CE DE 210,可

10、得 CD 280,7CE 70.相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280 70 4倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为240 4 60（米/分），即乙每分钟走60米.当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离210 3改变了，变为原来的 ，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么490 7， ,一 ，一 ，一 、一 一、，一 ，一、一 3，3当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的3,为210 - 90米.77（难度等级 派）甲、乙两车同时从 A地出发，不停地往返行驶于 A、B两地之间.已知甲 车的速度比乙车快，

11、并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地.甲车的速度是乙车速度的多少倍？第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了AC这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全程，而乙车走了从 C地到B地再到C地，也就是2个BC段.由于两次的总行程相等，所以 每次乙车走的路程也相等，所以AC的长等于2倍BC的长.而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了 2个AC段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为2 AC:2 BC ?2 :1 ，所以甲车的速度是乙车速度的2倍.【例4】（难度等级 派）甲、乙两人同时从A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达 A地、B地或遇

12、到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A、 B之间行走方向不会改变， 已知两人第一次相遇点距离 B地1800米，第三次相遇点距离 B地 800米，那么第二次相遇的地点距离 B地多少米？【解析】设甲、乙两人的速度分别为 v1、v2,全程为s ,第二次相遇的地点距离 B地x米.由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达B地并调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与B地的距离为v12s s v1 v2 s ,那么Vl v2v1 v2第一次相遇的地点到 B地的距离与全程的比为 v1 v2 ;两人第一次相遇后，甲调头向 B地走， v1 v2乙则继续向B地走，这样一个过

13、程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到B地的距离，即1800米.根据上面的分析可知第二次相遇的地点到B地的距离与第一次相遇的地点到 B地的距离的比为匚卫；类似分析可知，第三次相遇的地点到 B地的距离与 v1 v2第二次相遇的地点到 B地的距离的比为 _2；那么800,得到x 1200,故第二次v1 v2x 1800相遇的地点距离 B地1200米.【例5】（难度等级 ）每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向 而行，并且准时在途中相遇.有一天，小刚提早出门，因此比平时早7分钟与张大爷相遇.已知小刚步行速度是每分钟70米，张大爷步行速度是每分钟40米，

14、那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？【解析】比平时早7分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷7分钟合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了（70 +40 ） X 7 =770米，因此小刚比平时早出门770 +70 =11分钟.模块二：时间相同速度比等于路程比【例6】（难度等级 派）A、B两地相距7200米，甲、乙分别从 A, B两地同时出发，结果在 距B地2400米处相遇.如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前 10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为（72

15、00 2400）: 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3 .乙的速度提高 3倍后，两人速度比为 2:3 ,根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲 TOC o 1-5 h z 33走了全程的一 3 .两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走103 253 3分钟，所以甲的速度为 6000 （- _） 9 150 （米/分）.5 8【例7】（难度等级 派）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3 ,二人相遇后继续行进，甲到达 B地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇

16、的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4 : 3 .第一次相遇时甲走了全程的 4/7 ;第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程,4554 2二个全程中甲走了 - 3 1-个全程，与第一次相遇地点的距离为一（1 ）个全程.所以7777 72A、B两地相距30 105 （千米）.【巩固】 （难度等级 派）甲、乙两车分别从A、B两地出发，在 A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的-,并且甲、乙两车第 2007次相遇（这里特指面对面的相遇）的地7点与第2008次相遇的地点恰好相距 120

17、千米，那么，A B两地之间的距离等于多少千米？【解析】甲、乙速度之比是 3 : 7,所以我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲走3份，第2007次相遇时甲总共走了 3 X （ 2007X 2-1 ） =12039份，第2008次相遇时甲总共走了 3 X （2008X 2-1 ） =12045 份，所以总长为 120 + （） X 10=300 米.【例8 （难度等级 派）B地在A, C两地之间.甲从 B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后 10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是 他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来.已知甲、乙的

18、速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要 10分钟，所以丙用时间为：10+ （31） =5 （分钟）此时拿上乙拿错的信当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距 B地有10+10+5 + 5=30 （分钟），同理丙追及时间为30+ （31） =15 （分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10 + 5+5+15+15=50 （分钟），此时追及乙

19、需要：50+ （ 3 1） =25 （分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为 5+ 5+ 15+ 15 + 25+25=90 （分钟）同理先追及甲需要时间为 120分钟【例9】（难度等级 派）甲、乙两人同时从 A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60 米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的 D处相遇，且中点距 C、D距离相等，问 A、B两点相距多少米？【解析】甲、乙两人速度比为80:60 4:3 ,相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了 TOC o 1-5 h z 43全程的4,乙走了全程的 3.第二次甲停留

20、，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，77所以第二次乙行了全程的 4 ,甲行了全程的3 .由于甲、乙速度比为 4 : 3,根据时间一定，路77程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3 3,所以甲停留期间乙行了49 0，所以7 477 441A、B两点的距离为60 7 1680 （米）.【例10（难度等级 派）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.出发时，甲、乙的速度之比是5 : 4 ,相遇后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%.这样当甲到达 B地时， 乙离A地还有10千米.那么 A、B两地相距多少千米？ TOC o 1-5 h z 4【解析】两车相遇时甲走了全程的 5,乙

21、走了全程的4,之后甲的速度减少 20%,乙的速度增加20%,此99时甲、乙的速度比为5 （1 20%）: 4 （1 20%） 5: 6 ，所以甲到达 B地时，乙又走了,距离 A地，所以A、B两地的距离为10 450 （千米）.9 5159154545【例11（难度等级 派）早晨，小张骑车从甲地出发去乙地.下午 1点，小王开车也从甲地 出发，前往乙地.下午 2点时两人之间的距离是15千米.下午3点时，两人之间的距离还是15 千米.下午4点时小王到达乙地，晚上 7点小张到达乙地.小张是早晨几点出发？【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块.下午 2点时两人之间的距离是15 千米.下午3点时， 两

22、人之间的距离还是15 千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3点时小王超过小 张15千米，可知两人的速度差是每小时30千米.由下午3点开始计算，小王再有 1小时就可走完全程，在这 1小时当中，小王比小张多走 30千米，那小张3小时走了 15 30 45? ?千 米，故小张的速度是 45 +3 =15千米/时，小王的速度是 15 +30 =45千米/时.全程是45 X 3 =135千米，小张走完全程用了 135 +15= 9小时，所以他是上午 10点出发的。【例12（难度等级 派）从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地

23、到乙地共用了3小时，其中第一小时比第二小时多走15千米，第二小时比第三小时多走25千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30千米，走下坡路比走平路每小时快15千米。那么甲乙两地相距多少千米？【解析】由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定.从甲地到乙地共用 3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路.这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个

24、路程恰好比以平路的速度走1小时的路程（即第二小时走的路程）多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路.如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路.所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路. 由于第二小时比第三小时多走二小时内用在走平

25、路上的时间为因为第一小时比第二小时多走了25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时51 .25 30 2小时，其余的一小时在走上坡路;66一，一 1 ，15千米，而1小时的下坡路比上坡路要多走630千米.所以第1 一30 15 7.5 千6米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为112,1 2小时是在下坡路上走的，剩余的6 31 ,，一，一 ，15 7.5 15 -小时，所以在第一小时中，有21小时是在平路上走的.3因此，陈明走下坡路用了2小时，走平路用了-57小时，走上坡路用了1 1Z小时.336666因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是-：7 4: 7 .那么下坡路的

26、3 6速度为30 15 105千米/时，平路的速度是每小时 105 15 90千米，上坡路的速度是每 7 4小时90 30 60千米.77那么甲、乙两地相距10590-60-245（千米）.66模块三：路程相同速度比等于时间的反比【例13（难度等级 派）在一圆形跑道上，甲从 A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】由题意知，甲行4分相当于乙行6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以 甲环行一周需 12 +8=20 （分）

27、，乙需20 +4X6= 30 （分）.【例14（难度等级 ）上午8点整，甲从A地出发匀速去 B地，8点20分甲与从B地出发 匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么，乙从 B地出发时是8点几分.【解析】甲、乙相遇时甲走了 20分钟，之后甲的速度提高到原来的 3倍，又走了 10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10X 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为20 : 30=2 : 3,由于甲走20分钟的路程乙要走 10分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相

28、遇时乙已出发了15分钟，所以乙从 B地出发时是8点5分.【例15（难度等级 ）小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路， 一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】设小芳上学路上所用时间为2 ,那么走一半平路所需时间是1 .由于下坡路与一半平路的长度相5同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是1 1.6 5,因此，走上坡路8需要的时间是2 5 U,那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为1：11 8:11,888所以，上坡速度是平路速度的8倍.11. , 一一一 3 、，

29、 一一【例16（难度等级派）一列火车出发1小时后因故停车小时，然后以原速的士前进，最终4 . . . 一一 3到达目的地晚 小时.若出发1小时后又前进90公里再因故停车小时，然后同样以原速的 -4前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里？3【解析】出发1小时后因故停车小时，然后以原速的 3前进，最终到达目的地晚小时，4所以后面以原速的 2前进的时间比原定时间多用1.5 0.5 1小时，4而速度为原来的-,所用时间为原来的 4, 43 一4所以后面的一段路程原7E时间为1 （- 1） 3小时，原定全程为 4小时；3出发1小时后又前进90公里再因故停车小时，然后同样以原速的 3前进，则

30、到达目的地仅晚1小时，所以后面以原速的 3前进的时间比原定时间多用1 0.5 0.5小时4所以后面的一段路程原定时间为0.5 （- 1） 1.5小时，3类似分析可知又前进 90公里后的那段路程需要：3 1.5 1.5小时而原定全程为4小时，所以整个路程为90 1.5 4 240公里.【例17（难度等级 派）王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9 ,结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高 1/6 ,于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9,即车速为原计划的10/9 ,则所用时间为原计划的1+10/9=9/10 ,即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10,原计划时间为：+ 1/10=15（小时）；按原计划的速度行驶 280千米后，将车速提高