高二数学教案：空间向量及其运算

1、8/8高二数学教案：空间向量及其运算考试目标 主词填空1.空间向量根本定理及应用空间向量根本定理：如果三个向量a、b、c不共面 ,那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.2.向量的直角坐标运算：设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).那么a+b= .a-b= .ab= .假设a、b为两非零向量 ,那么ab ab=0 =0.题型例如 点津归纳【例1】 空间四边形OABC中 ,AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC.M ,N分别是OA ,BC的中点 ,G是MN的中点.求证：OGBC.【

2、解前点津】 要证OGBC ,只须证明 即可.而要证 ,必须把 、 用一组的空间基向量来表示.又条件为AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC ,因此可选 为的基向量.【标准解答】 连ON由线段中点公式得：又 ,所以 )因为 .且 ,AOB=AOC.所以 =0,即OGBC.【解后归纳】 此题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.【例2】 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中 ,求：异面直线BA1与AC所成的角.【解前点津】 利用 ,求出向量 与 的夹角 , ,再根据异面直线BA1 ,AC所成角的范围确定异面直线所成角.【标准解答】 因为 ,所以因为ABBC ,BB1

3、AB ,BB1BC , 例2图所以 =0,=-a2.所以 =-a2.又所以 =120.所以异面直线BA1与AC所成的角为60.【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积 ,而要求两向量的数量积 ,必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.【例3】 如图 ,在正方体ABCDA1B1C1D1中 ,E、F分别是BB1、DC的中点.(1)求AE与D1F所成的角;(2)证明AE平面A1D1F.【解前点津】 设正方体的棱长为1 ,且 =e1 ,=e2 , =e3 ,以e1 ,e2,e3为坐标向量 ,建立空间直角坐标系Dxyz,那么：(1)A(1 ,0 ,0) ,E(1 ,1 , )

4、,F(0 , ,0) ,D1(0 ,0 ,1) ,所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).所以 =(0,1 ),(0, ,-1)=0.所以 ,即AE与D1F所成的角为90.(2)又 =(1,0,0)= ,且 =(1,0,0)(0,1, )=0.所以 AED1A1 ,由(1)知AED1F ,且D1A1D1F=D1.所以AE平面A1D1F.【解后归纳】此题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).【标准解答】E,G分别为AB,AC的中点,EG ,同理HF ,EG HF .从而四边形

5、EGFH为平行四边形 ,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.只要能证明向量 =- 就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图CD,QH CD,= =0.=,PQ经过O点,且O为PQ的中点.【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明 两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.对应训练 分阶提升一、根底夯实1.在以下条件中,使M与A、B、C一定共面的是( )A. B.C. D.2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( )A. B.C. D.3.假设向

6、量a , b ,c是空间的一个基底 ,向量m=a+b ,n=a-b ,那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( )?A.a B.b ? C. c D.2a?4. a、b是非零向量 ,那么a ,b的范围是 ( )?A.(0 , ) B.0 , ? C.(0 ,)? D.0 ,?5.假设a与b是垂直的 ,那么ab的值是( )?A.大于0 B.等于零? ?C.小于0 D.不能确定6.向量a=(1 ,2 ,-2) ,b=(-2 ,-4 ,4) ,那么a与b( )A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不对7. A(1 ,1 ,-2)、B(1 ,1 ,1) ,那么线段AB的长度是( )?A.1

7、?B.2 ? C.3 ?D.48. m=8 ,3 ,a ,n=2b,6,5 ,假设mn ,那么a+b的值为( )?A.0 ? B. C. D.89. a=1,5,-2 ,b=m,2,m+2 ,假设ab ,那么m的值为( )?A.0 ?B.6 ?C.-6 ?D.610. A(2 ,-4 ,-1) ,B(-1 ,5 ,1) ,C(3 ,-4 ,1) ,令a= ,b= ,那么a+b对应的点为( )?A.(5 ,-9 ,2) B.(-5 ,9 ,-2) ?C.(5 ,9 ,-2) D.(5 ,-9 ,2)11. a=(2 ,-2 ,-3) ,b=(2,0,4) ,那么a与b的夹角为( )?A.arc

8、cos ? B. ? C. D.9012.假设非零向量a=x1 ,y1 ,z1 ,b=x2 ,y2 ,z2,那么 是a与b同向或反向的( )?A.充分不必要条件 B.必要非充分条件?C.充要条件 D.不充分不必要条件二、思维激活13.向量a, b, c满足a+b+c=0,|a|=3,| b|=1,| c|=4.那么ab+bc+ca= .?14.|a|=2 ,|b|= ,ab=- ,那么a、b所夹的角为 .15.空间三点A、B、C坐标分别为(0 ,0 ,2) ,(2 ,2 ,0) ,(-2 ,-4 ,-2) ,点P在xOy平面上且PAAB ,PAAC ,那么P点坐标为 .16.a=8,-1,4

9、,b=2,2,1 ,那么以a、b为邻边的平行四边形的面积为 .三、能力提高17.线段AB在平面内 ,线段AC ,线段BDAB ,且与所成的角是30 ,如果AB=a ,AC=BD=b ,求C、D之间的距离.18.长方体ABCDA1B1C1D1中 ,E、F分别为AB、B1C1中点 ,假设AB=BC=2 ,AA1=4 ,试用向量法求：(1) 的夹角的大小.(2)直线A1E与FC所夹角的大小.19.在正方体ABCDA1B1C1D1中 ,E、F分别为BB1、DC的中点 ,求证：D1F平面ADE.20.如下图, ABCD,O是平面AC外的一点, ,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.空间向量及其运算习题

10、解答1.C 由向量共线定义知.?2.C 设此向量为(x,y), ,?3.C4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.5. B 当ab时 ,ab=0(cos a, b=0)?6.C a=(1,2,-2)=- b ab.7.C |AB|= =3.?8.C mn,故(8,3,a)=k(2b,6,5) ,?8=2bk,3=6k,a=5k ,?k= 故a= ,b=8,a+b= +8=9.B ab 1m+52-2(m+2)=0. m=6.10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0) ,a+b=(-5,9,-2).11.C cos(ab)= =- .12.A?假设 ,那么a与b同向或反向 ,反之不成立

11、.13.-13 a+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.14. ?cosa, b= .a,b所夹的角为 .15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得.16.9 S=|a|b|sina, b求得.17.如图 ,由AC ,知ACAB.?过D作DD ,D为垂足 ,那么DBD=30 , =120 ,18.如图 ,建立空间坐标系 ,那么D(0 ,0 ,0)、A(2 ,0 ,0) ,B(2 ,2 ,0)、C(0 ,2 ,0)、A1(2 ,0 ,4)、B1(2 ,2 ,4)、C1(0 ,2

12、,4).由题设可知E(2 ,1 ,0) ,F(1 ,2 ,4).(1)令 的夹角为 ,?那么cos= .的夹角为-arccos .(2)直线A1E与FC的夹角为arccos19.如下图 ,不妨设正方体的棱长为1 ,且设 =i , =j , =k ,以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz ,那么 =(-1 ,0 ,0) , =(0, ,-1) ,?=(-1 ,0 ,0)(0 , ,-1)=0 ,ADD1F.又 =(0 ,1 , ) , =(0 , ,-1) ,这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多那么材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?20.证明：教师范读的是阅读教学中不可缺少的局部 ,我常采用范读 ,让幼儿学习、模仿。如领读 ,我读一句 ,让幼儿读一句 ,边读边记；第二通读 ,我大声读 ,我大声读 ,幼儿小声读 ,边学边仿；第三赏读 ,我借用录好配朗读磁带 ,一边放录音 ,一边幼儿反复倾听 ,在反复倾听中体验、品味。=2其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是