《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵(课堂PPT)课件

1、第5章 Hermite矩阵与正定矩阵5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型5.4 Hermite矩阵的特征值*5.3 矩阵不等式5.2 Hermite正定（非负定）矩阵1.5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型5.1.1 Hermite矩阵5.1.2 矩阵的惯性5.1.3 Hermite二次型2.5.1.1 Hermite矩阵Hermite矩阵具有如下简单性质：(1) 如果 A是Hermite矩阵，则对正整数 k，Ak 也是 Hermite矩阵；(2) 如果 A是可逆Hermite矩阵，则A-1 是Hermite矩阵；(3) 如果 A,B是Hermite矩阵，则对实数k,p

2、, kA+pB 是 Hermite矩阵； 若A,B是Hermite矩阵，则 AB是Hermite矩阵的 充分必要条件是AB = BA；(5) A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S， SH AS是Hermite矩阵。3.定理5.1.1定理5.1.2 设 A为n 阶Hermite矩阵，则 (1) A的所有特征值全是实数； (2) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。定理5.1.3 设 ，则 A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵U使得4.定理5.1.4 设 ，则 A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得5.5.1.2 矩阵的惯性定理5.1.5 设 A是n

3、阶Hermite矩阵，则 A相合于矩阵其中 r = rank(A)，s是 A的正特征值（重特征值按重数计算）的个数。(5.1.3)中矩阵称为n 阶Hermite矩阵 A的相合标准形。6.定理5.1.6(Sylvester惯性定律） 设 A,B是n 阶Hermite矩阵，则 A与B相合的充分必要条件是7.5.1.3 Hermite二次型则 A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的矩阵，并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。记8. 利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可表示为 设P是n阶可逆矩阵，作线性变换x = Py，则 Hermite二次型中最简单的一种是只

4、包含平方项的二次型称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的标准形。9.定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite二次型f (x)变成标准形定理5.1.8 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在可逆线性变换x = Py 使得Hermite二次型f (x)化为其中 r = rank(A)，s = (A).10.Hermite二次型可分为五种情况11.12.定义5.1.1 设f (x) = xHAx为Hermite二次型。13.定理5.1.9 对Hermite二次型f (x) = xH

5、Ax, 有14.5.2 Hermite正定（非负定）矩阵定义5.2.1正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：15.定理5.2.1 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价：(1) A是正定矩阵；(2) 对任意n 阶可逆矩阵P,PHAP 都是Hermite正定 矩阵；(3) A的n 个特征值均为正数；(4) 存在n 阶可逆矩阵P使得PHAP = I；(5) 存在n 阶可逆矩阵Q使得A = QHQ；(6) 存在n 阶可逆Hermite矩阵S 使得A = S2.16.推论5.2.117.定理5.2.2 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价：(1) A是非负定矩阵；(2) 对任意n

6、阶可逆矩阵P, PHAP是Hermite非负定 矩阵；(3) A的n 个特征值均为非负数；18.推论5.2.2 19.定理5.2.3 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是A的顺序主子式均为正数，即定理5.2.4 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是A的所有主子式全大于零。定理5.2.5 n 阶Hermite矩阵 A非负定的充分必要条件是A的所有主子式均非负。定理5.2.6 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是存在n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得20.定义5.2.2则称为广义特征值问题 的特征值，非零向量 x 称为对应于特征值的特征向量。定理5.2.7 设A,

7、B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B0，则存在非奇异矩阵 P 使得21.5.3 矩阵不等式定义5.3.1 设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，若AB0，则称A大于或等于B（或称 B小于或等于 A），记作AB（或BA）；若AB0，则称A大于B（或称B小于A），记作AB或（B0，则 定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则其中 和 分别表示A的最大和最小特征值。25.推论5.3.1 设A是Hermite非负定矩阵，则 A tr(A) I 。定理5.3.4 设A, B均为n 阶Hermite矩阵，则定理5.3.5 设A,B均为n 阶Hermite矩阵,且AB = BA,则定理5