数学经典解题技巧

1、1、 设件产品中有件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（.） 【思路】在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品(2)为合格品,即两件都是合格品.对于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;对于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/52、 设A是3阶矩阵，b1,b2,b3是线性无关的3维向量组，已知Ab1=b1+b2, Ab2=-b1+2b2-b3, Ab3=b

2、2-3b3, 求 |A| （答案：|A|=-8）【思路】A=（等式两边求行列式的值,因为b1,b2,b3线性无关,所以其行列式的值不为零,等式两边正好约去,得-8）3、 某人自称能预见未来，作为对他的考验，将1枚硬币抛10次，每一次让他事先预言结果，10次中他说对7次 ，如果实际上他并不能预见未来，只是随便猜测， 则他作出这样好的答案的概率是多少？答案为11/64。 【思路】原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 C(7 10)0.57x0.53+.C(10 10)0.510, 即为11/64.4、 成等比数列三个数的和为正常数K,求这三个数乘积的最小值 【思路】a/

3、q+a+a*q=k(k为正整数)由此求得a=k/(1/q+1+q)所求式=a3,求最小值可见简化为求a的最小值.对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k3.(mba不要求证明最值)5、 掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。【思路】可以有两种方法：1.用古典概型 样本点数为C（3，5），样本总数为C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是说正面朝上为2，3，4，5个），相除就可以了；2.用条件概率 在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。至少2个正面向上的概率为13/16，P（AB）的概率为5/16，

4、得5/13假设事件A：至少出现两个正面；B：恰好出现三个正面。A和B满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2P(A)=1-(1/2)5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)4=13/16A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)3*(1/2)2=5/16所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。6、 设有n个球和n个能装球的盒子，它们各编有序号1,2,.n今随机将球分别放在盒子中，每个盒放一个，求两个序号恰好一致的数对个数的数学期望。（答案：1）【思路】1/nn，N个球进N个盒有N的N次方种排列，对号入座只有1种排列。7、 若方程x2+p*x+37=0恰有两个正

5、整数解x1,x2,则(x1+1)*(x2+1)/p=?(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1【思路】题目说有两个正整数的根，故只能是1和37，p=-388、 设F(n)=(n+1) n-1(n为自然数),则F(n):(a) 只能被n整除 (b)能被n*n整除 .【思路】用二项式定理去做第二题，只考虑n的系数，有一个含n的项.系数中还有一个n.答案应为b。9、 一张盒子中有4张卡片，其中两张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是绿色，一张卡片一面红一面绿。任取其中一张 ，观察其一面的颜色，如果被观察的一面是绿的，求另一面也是绿色的概论。【思路】设A=被观察的一面是绿的，B=两面都是绿

6、则需求P（B/A）=P（AB）/P（A）=P（B）/P（A）=1/4：1/2=1/2，所给答案却2/3？10、 设是矩阵且（），求（） 【思路】R(B)=3so: R(AB)=R(A)=211、 在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,求:(1)最小号码为5的概率，(2)最大号码为5的概率.【思路】最小号码为5 的概率：号码5已确定，另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出故组合的个数为 所以概率为/C10/1201/12同样最大号码为5的概率：号码5已确定，另外2人的号码应从1、2、3、4中选出故组合的个数为C所以概率为C/C6/1201/2012、

7、 从5 双不同的鞋子中任取4 只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?【思路】可以这样理解，先算出没有两只配成一双的情况，然后用1去减一下便可。4只鞋中没有配成一双的情况：10只鞋按配对分成5组，只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况，那么组合数为：C10864任取4只的组合数为：10987所以没有2只配对的概率为：10864/109878/21故至少2只成对的概率为18/1213/2113、 设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间0，1）上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间1，3）上的诸数字。旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于1/2，3/2上的

8、概率。【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在0，1）、1，3、1/2，1）、1，3/2上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则：p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*(1-1/2)/(1-0)=1/4同理 p2=1/2*(3/2-1)/(3-1)=1/8 p=1/4+1/8=3/814、 设某家庭有3个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率。【思路】设A为三人中至少有一个女孩，B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩；P（A） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , P(AB)=1-（1/2）*（1

9、/2）=3/4,所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。(这样分析是认为三个孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三种情况，总共有八个样本，这比抛硬币难理解一些）15、 求极限： lim()x-1/2 (x趋于正无穷）；【思路】lim=lim(1-)把它的指数整理成（(x+6）/3)*(3/2)-7/2）, 就可得结果：or lim(x+3)/(x+6)(x-1/2)x-正无穷=lim(x+3)/(x+6)x/2 * lim(x+6)/(x+3)1/2=lim(1+3/x)/(1+6/x)x/2=lim1+3/x(x/3)*(3/2)/1+6/x(x/6)*3

10、)=lim(e3/2)/(e3)=16、 求极限：lim(1-1/2*2)(1-1/3*3).(1-1/n*n) (n趋于正无穷）；【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3).(1-1/n*n)n-正无穷=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3).(1-1/n)(1+1/n)=lim1/2 * 3/2 *2/3 * 4/3.* (n-1)/n * (n+1)/n=lim(n+1)/2n=1/217、 求极限：lim( x-0)【思路】此题需要连用三次使用罗必塔法则。正确答案为：-0.5e注意(x+1)1/x=e 18、 如果数列An中，A1=1,且An+1=2nA

11、n(n=1,2,.),则An的通项公式An？【思路】An+1=2nAn = An+1/An=2n =A2/A1=2 , A3/A2=22 .(A2/A1)*(A3/A2)*.*( An /An-1)=222. 2n-1= An /A1=2 (1+2+.+n-1)=2n(n-1)/2=An=2n(n-1)/219、 设有4只坏，每只都能以同样的落入4个格子中的任一个，求前2个球落入不同格子中的概率。【思路】分别设四球为1号, 2号，3号和4号1号球落入某个格子有4种可能，那么2号球就只有3种可能3号4号可落入4个格子中的任意，有4，4种可能所以应为4*3*4*4/4420、 甲，乙二人同时同地绕

12、400米跑道赛跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次赶上乙，求乙速度.( 6s/m)【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)已知f(xy)=f(x)+f(y)且f(1)=a,x0，求f(x)=? (答案为a/x)【思路1】原方程两边对Y进行求偏导xf(xy)=f(y) 其中f(xy)与f(y)都是对y偏导数 xf(x*1)=f(1)=a 得 f(x)=a/x【思路2】当x0时，令x+x=xz则z=(1+x/x)由f(x)=f(x+x )-f(x)/ x=fx(1+x/x)-f(x)/x=f(x)+f(1+x/x)-f(x)/x=f(1+x/x)/x =f(

13、1)/x=a/x已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y【思路1】设U=x+y,v=x-yf(u,v)=uvfx=fu*ux+fv*vx=v*1+u*1=u+vfy=fu*uy+fv*vy=v-ufx+fy=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),令u=x+y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。已知方程7x2-(k+

14、13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）内，则k的取值范围是什么？答案为（-2，-1）U（3，4）【思路】画图可得f(0)0,f(1)0代入计算即可A,B是一次随机实验的两个事件，则A. A-(B-A)=A-B B. A-(B-A)=A【思路】b,利用定义可得设X是连续型随机变量，其分布函数是F(X),如果EX存在，则当x-+时，1-F(x)是1/x的_。A、等价无穷小 B、高价无穷小C、低价无穷小 D、同价无穷小【思路】由于EX存在，xf(x)的无穷积分收敛且为1x的高阶无穷小；因为函数g(x)=1/x的无穷积分积分不收敛可知，由比较判别法可知，如果为同阶或低阶无

15、穷小，则xf(x)不收敛。设有编号为1，2，3，.,n的n个求和编号为1，2，3，.,n的n个盒子。现将这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？【思路】任给2 个球的编号和盒子的编号相同,则剩下n-2个球没有一个编号相同；而剩下n-2个球没有一个编号相同的概率为1/2!-1/3!+.+(-1)(n-2)/(n-2)!；注意：上面用到了这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为112！13！.（-1）(n-1)/n!;故恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同的概率为(1/2!

16、-1/3!+.+(-1)(n-2)/(n-2)!)；给定2个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为(n-2)!*(1/2!-1/3!+.+(-1)(n-2)/(n-2)!).n个球中任取两个的可能取法为C(2,n);2者相乘得出：恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，的投放方法的总数为C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+.+(-1)(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+.+(-1)(n-2)/(n-2)!).当n趋于无穷大时，取法为（n!/2）*e(-1);【思路】如果以m代替2，通解为C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+.+(-1)(n-m)/(n-m)!)注：机工版P52页21题如下：设有编号为1，2，3，4，5的5个求和编号为1，2，3，4，5的5个盒子。现将这5个球放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？取n=5;取法为(5!/2)*(1/2!-1/3!)=20库房有十箱零件（每箱都有许多），有6箱用新工艺做的，全合格。其余用旧工艺完成，75的合格率。现随机打开一箱取出三个，检查其中一