考研线性代数精讲讲义

1、线性代数的考试基本情况一、满分34分；2个选择+1个填空+2个解答； 二、数一数二数三考试内容基本统一数一：向量空间）三、一个核心秩，一个方法初等变换.第1章行列式主要内容行列式的定义及性质;行列式的展开公式|、行列式的定义-1.排列和逆序排列由个数1,2,组成的一个有序数组称为一个级排列，级排列共有n!个.逆序 在一个排列中，如果一个大的数排在了一个小的数前面， 就称这两个数构成了 一个逆序.逆序数 在一个排列也必中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记为厂（征匚）. 女 （32514） =2.行列式的定义a11a21a12a22=%ia22 ai2 a21；a11a12a13a21a22a3

2、a】 022033 +a31a32a33+ 13021032 32 12021033 232 a22工（_小片）aj a J?jl j2 jnan1an2注：对于行列式的定义把握以下两点l.n阶行列式每一项是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，共有n!项2当行下标顺排时，每一项的正负号由列下标/J2厶的逆序数心2j）决定. 如:写出四阶行列式中含有a11a2 3的项二、行列式的性质性质1 行列互换,其值不变.性质2两行（列）互换，行列式的值变号.特别地：两行（列）相同,行列式的值为0.性质3某行（列）有公因子仁则可把公提到行列式外面.特别地 （: 1）某行（列）全为0,行列式的值为0；（2）某

3、行（列）元素对应成比例,行列式的值为0.性质4 某行（列）是两个元素之和,则可拆成两个行列式之和.。11 + bai2 + b2a13 + b3a11a12a13b1b2b3a21a22a23=a21a22a23+a21a22a23a31a32a33a31a32a33a31a32a33a11a12a13a11a12a13a21a22a23=ka + aka12 + a22ka + aa31a32a33a31a32a33I三、行列式的展开公式1.余子式在行列式中,去掉元素知所在的第Z彳亍，第/列元素，由剩余的元素按照原来的位置与顺序 组成的 -1阶行列式称为元素知的余子式，记为2.代数余子式称(

4、-i)z为元素匂的代数余子式，记为九；于是Aij=( iyj, 显然也有胚了=(-i)i、.3行列式按行（列）展开公式（i = 1，2,，n） （J 】,2，,n）行列式的值等于等于它的任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和.ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ainAinai jA1 j + a2 jA2 j + + anjAnj注:行列式“串行（列）展开”值为00=Jai1 Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn（i 丰 j）aiiA1 j + a2iA2j + + aniAnj（i 丰 j）四、几个重要的行列式h上（下）三角行列式!1Sann=aiia22 an

5、n2.关于副对角线行列式ai, n-1a2, n-1a1n0a2, n-1a1na2nn ( n-1)= (-1)2a1na2,n-1 an1两个特殊的拉普拉斯展开式*口果/和B分别是加阶和哪介方阵，则A *A 00 B* B0 A* AB *B 0=国0|，=(-1厂同0mn范德蒙行列式口 ( X X lz j 2).)可逆)4才=|4_1.特别注意：C4 + B)*h/+B*3 求法:法_淀义法先求4八然后拼成才.方法二:公式法若国工0（即/可逆），则才=同屮例5(1)设 =_1 2(2) 4= 2 23 47 ,则伴随矩阵才= c a31 ,则伴随矩阵才=_三、逆矩阵a、b是n方阵,e是

6、n单位阵，若AB = BA = E,则称A可逆，且B是A的逆矩阵，记为A = B. 定理：若A可逆，贝UA的逆矩阵唯一；A可逆o |A|丰0.推论：A、B是n阶方阵,E是n阶单位阵，若AB = E （或 BA = E）,贝 A-1 = B.2性质：(AX) = A；(kA)_1 = 1 A(k 丰 0);( AB )_1 = B 一1 A_4A牛|A；特另U注意：(A + B)_1 丰 Ax+B-1最后,(A ) =( A-1 )T, (A*)1 =( A1 )* 1 (A3 求法I峥法一:用定义B都是刃阶矩AB = E.则才1 =B 方法二：用伴随AA =A A = AE若|牛0,则才各（才

7、）-1方法三:用初等变换（心H）例6(1)设二_1 2(2) 4= 2 23 47 ,则逆矩阵= c a31 ,则逆矩阵才=_例7设方阵/满足A2 - A - 2E = 0,证明A和A + 2E都可逆，并求出其逆矩阵.2 例8|设少=1 ,0二p2 , A = af3 贝 1/42 1 00 2 10 0 2例10 设P =,AP = PA,则 A=,则八、分块矩阵1 .矩阵的分块$ 分块矩阵的运算加法44_+B；4 +d& +244A3+B34+ 4(2)数乘ABkAkBCDkCkD(3)乘法A B1XY1 AX + BZC D ZW CX + DZAY + BWCY + DW五、初等变换与

8、初等矩阵-1.初等变换1 ）用一个非零常数k乘矩阵A的某一行（列）；-2）互换矩阵A的某两行（列）；-3 ）将人的某行（列）k倍加到另一行（列）2 初等矩阵由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵.3 初等矩阵的性质1）初等矩阵都是可逆矩阵,且其逆矩阵仍是同_类型的初等矩阵；2 ） A左乘（右乘）初等矩阵，相当于对A作一次同类型的初等行（列）变换;1 0 30 1 01 0 -31 0 00 0 1(B)1 0 0(C)0 0 1(D)0 1 10 1 03 0 10 1 00 3 1例12已知3阶矩阵力可逆，将力的第1列与第2列交换得5再把的第3列的-3倍加到第2列得C, I则满足

9、PA_ = C-1的P是3用初等变换求逆I六、矩阵等价矩阵等价的定义力经过有限次初等变换变到5称力与B等价,记为力=B.矩阵等价的充要条件A = B o 日可逆矩阵F,Q使得PAQ = B o r (A) = r.(B)七、矩阵的秩1.矩阵秩的定义Amxn中非零子式的最高阶数称为A的秩,记为尸(A ). 定理1：矩阵A的秩等于它对应的行阶梯形矩阵非零行的行数.注:零行元素(若有)在最下行,且每行左起第一个非零元素 所在的列下方元素全是0,这种矩阵称为行阶梯形矩阵.12-11II 例 13设A = 3 2 A -1 ,已知r (A) =2,则2=，“=63 卩2秩的性质rA= rA)；r (kA

10、) = r (A)(k 丰 0)； r(Am.nminm,n；A可逆,则丫(AB) = r(B),B可逆，则r(AB) = r(A)；r (AB) min r (A), r (B)；r(A + B) r(A) + r(B)；7 AmAs = 0,则 r ( A ) + r ( B ) n；8) r (A) = r (ATA ) = r (AAT ) = r (AT)1 2 1例14设A = 2 a 3 ,B是3x4的非零矩阵,且AB = 0,贝山(B)2 4 5第3章 线性方程组主要内容1.齐次方程组非齐次方程组；公共解、同解.一、齐次线性方程组1.齐次线性方程组的三种表示+ +a?iXn 0

11、 a21 X1 + a22 X2 + + a2 nXn 0 TOC o 1-5 h z Hm1 X1 + am2X2 * += 0ai1ai2X = ( Xi，X2,，Xn yAmx nX = 0 A =a21a22*am1am2amnX Q + X+ + Xn (Xn 0Qi ( aii，a2 i，,ami)2有解的条件AmxnX = 0只有零解 O r (Amxn) = n；Am. nX = 0 有非零解 O r ( Am 程) H；特别地 若m (方程少未知数多)，贝Am.nx 0有非零解. 若Amxnx = 0有非零解，则其线性无关的解有n r(A)个.3解的性质若&, g2,，都是兀

12、0的解，贝吒 1$ + k22 kgt仍是兀0的解.4基础解系Ax 0的基础解系$,$2,，是Ax - 0的解；二$2,$线性无关；$,$2,$可以表示Ax 0的任一解或一r(A) t.称$,$2,$ 是Ax 0的基础解系.X + 2 兀？ + 2 X3 + X4例1求齐次线性方程组 2X + x2 - 2x3 - 2x400的通解.0X兀2 4 X3 3 X4+ xn = 0的通解.例2 求齐次线性方程组处i + (n -1) x + 2 xn -例3写出一个以x = q (2, -3,1,0)T + c2 (-2,4,0,1)T为通解的齐次线性方程组.二、非齐次线性方程组 1非齐次线性方程

13、组的三种表示+。2兀2 + +anXn 二 b a21 X1 + a22 X2 + + a2 nXn = b2m1 X + am2X + + amnXn = bmAm. nX = 0（ Ab ）=ain b1 皿nb2am1am 2amnbmTX01 + x22 + + Xnan = b 匕=（aii，5 i，ami ）b = （ bl，b2，bm ）| 2 有解的条件仏兀=b无解o尸（力）刃（那）；Amxnx = b有唯一解o尸（力） = r（Ab） = n；Amxnx = b 有无穷多解 0 rA） = rAbn3解的性质设 1，2，是4nX = 的解,是AmxnX = 0的解，则1）1一

14、2 是4mx nX = 0 的解；2）耳+ 是仏nx = b的解.4.解的结构Amxnx = b,当Y（力）=厂（那）=Y V刃有无穷多解通解:a + kgi + 圧2 + + kn一r 乙一r | X + 兀？ 3 X3 X4 = 1 3X兀2 3X3 + 4X4 = 4 的通解.x + 5x 9 x 8x = 0例5设设4元非齐次方程组的系数矩阵的秩为3,已知“I，/是它的三个解,I且=(2,3,4,5， +仏=(1,2,3,4,求它的通解.三、克拉默法则个方程个未知数的方程组/x = 0aii X1 + ai2 X2 + +ainXn = b1 a21 X1 + a22 X2 +a2 n

15、X = b25 X1 + an 2 X2 + +annXn = bn的系数矩阵的行列式|力卜0,则方程组有唯一解,且 =打,i = 1,2,n.其中|A是|力中第冽元素替换为(bi b2b )厂.推论：对n个方程n个未知数的齐次方程组/x = 0,若|/丰0,则齐次方程组只有零解；若齐次方程组有非零解，则| | 0.（1 + 2）Xy + 兀？ + 兀3例6设有线性方程组 兀+（1 +几）兀2 +兀3 兀+兀2 + （1 +几）兀3 问几取何值时，此方程组有唯一解；无解;有无穷多解，并求此时的通解.公共解.同解1 公共解若如x = 0的解,也是加=0的解,称 是么=0与Bx = 0公共解.II

16、例f(ll)j 1 _兀2 +兀3 = 0 兀2 兀3 +兀4 = 0分别求方程组和(II)的基础解系；求方程组和(II)的公共解.2同解0的解；称Ax = 0与Bx = 0是同解.Ax = 0的解是Bx = 0的解，且Bx = 0的解也是AxAx = 0与Bx = 0同解 n r (A) = r (B).例8证明Ax = 0与 A Ax 0是同解方程组.第4章主要内容1 相关、无关;2线性标出；3 秩、极大无关组.I厂、向量的概念及其运算1 向量的概n维行向量 a = （71,22,-,7）n维歹U向量& =（4卫2，4）向量的运算相等 oc /3 o ai =勺，7 = 1，2,，刃.加法

17、 G + 0 = （% +勺,2 +$，陽 +化） 数乘也=（肋1，肋2,，仇）设=(即勺,，勺)，0 = ( bi, b2，,(b 内积(，00 0 0 ( a，a2,an ) . = (b1, by3n丿，bn )a2=Q1b1 +Qnbn正交/0 0,称G与0正交;la 0 o(X 0模 |x| - J a； + a + + a；单位向量 a 1,称x为单位向量Wn丿二、线性表出定义1：对加个维向量es，佥及一组数件k2,km, 称ka + k2a2 + kmam为向量组e, e2，,em的线性组合.定义2:若0能表示为向量组勺，,的线性组合的形式, 即存在一组数k,k2,，km,使得0

18、 = kxax + k2a2 + + kmam, 则称0能被向量组a，a?,am线性表出.定义3：若向量组I: a1,a2-,as种的每个向量都可由向量组II:0、,02,，0 线性表出，则称向量组I可由向量组II线性表出.定理1：若向量组I可由向量组II线性表出，则r (I) r(II).定理2:向量组I可由向量组II线性表出o r(I)= r(I,II).定义4:若向量组I可由向量组II线性表出且向量组II也可由向量组I线性表出,则称向量组I与向量组II等价.定理3 :若向量组I与向量组II等价，贝Ur (I) = r (II)定理4 :向量组I与向量组II等价o r (I) = r (I

19、I) = r (I,II)0能被向量组a1,a2,-,am线性表出IL 存在一组数何,k2,km,使得0 = k1a1 + k2a2 + + kmamo 存在一组数k,k2,km,使得(a1,a2-,ao存在一组数X,x2,xm,使得（ai，a2,a厂kk2kvkm 丿(x xo非齐次方程(a,a2,am)x 0有解 o r (ai,a2,am) = r (ai,a2-,am, 0)例 1设 e = (1,1,2,2丫 , a2 = (1,2,1,3丫 s =(1, 1,4,0)T,卩=(1,0,3,1)T 证明0可由向量组e1,e2,e3线性表出，并求出表示式.例2设=(q,2,10)r ,

20、a2 = (2,1,5)r ,a3 =(-1,1,4)r ,p = (1,b,-1)r 问a,b取何值11) 0不可由向量组a1,a2,a3线性表出；(2) 0可由向量组a、,a2,a3线性表出，且表达式唯一；(2) 0可由向量组a1,a2,a3线性表出，且表达式不唯一,并求出一般表达式.例3设向量组理1 =(1丄Q)T s =(1,a,l)T ,a3 =(a,l,l)T可由向量组 伙=(1,1, a),角=(-2, a, 4),卩3 = (-2, a, a)线性表出,向量组 0,02,03不可有向量组少,理2s线性表出，求a的值.I三、相关、无关定义5：对加个维向量组:a,a2,am;若存在

21、一组不全为0的数红k2,，k ,使得 k1a1 + k2a2 + kmam = 0,则称aa-, am线性相关;否则称线性无关.线性无关:不存在一组不全为0的数, k2，,km,使得k2a + k2a2 + kmam = 0； 只要有一个k丰0,就有kp + k a2 + kmam丰0；当且仅当处=k2 =km = 0,才有k + k2a2 + kmam =0.特别地 含有零向量的向量组必相关； 含有成比例的向量的向量组必相关. 一个向量不为0，则无关； 两个向量不成比例，则无关； 三个向量不共面，则无关.= (a,l,l) ,a2 = (l,a,l)b ,a3 = (1,-1, a )厂线性

22、相关，则a =定理5 :向量组：G, M佥线性相关#存在一组不全为0的数k2,km,使得ka + k2a2 + + kmam = 0 r勺、o存在一组不全为0的数k石,km,使得a1,a2-,am) *0 km丿o存在一组不全为0的数兀1，x,xm,使得(a，a2,am) ,20I Xm丿o齐次方程组(a，a2,am) x 0有非零解o r (a，a2,am) v m.推论对个维向量a，a2,a”线性相关o a，a2,a”| = 0.” +1个”维向量必相关.N定理5 ：向量组：，旳，。加线性无关o齐次方程组a1,a2,-,am）并0只有零解 o r（Qi，a2，am） = m.定理6:向量组:iS，,线性相关n增加向量个数后的向量组:iS，,m,am+1 t, 则向量组I: e，e2,es线性相关推论：若向量组I: e,e2,es可由向量组II: 0,02,0线性表出, 且向量组I:e,e2,es线性无关，则且s t.向量组:【定义法:2用秩：尸（线性无关的证明设占Qi + k2ot2 - kmotm 0，。加）=例5设向量组 ax,a2,a3 无关,0、=ax +a2,02 =a2 +a3,卩3 =ai +也，证明:01，02,03 无关.例6设向量组a1,a