【优质版】2020合工大数二超越五套卷试题（一键打印版）

1、全国硕士研究生入学考试（数学二）模拟试卷一一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要 求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知工=0是函数于（工）二=处史1 +刃的可去间断点，则a9b的取值范围是（）.x 十 osmj;（A） a = 1, 5为任意实数（C） b = 1, a为任意实数（B）aHl, 为任意实数（D） b丰一1, a为任意实数（2）方程产a = o的实根个数为（）.(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(3)设心=& -(A) f(2015) (0) = 0一1）2。15，则下列结论否巫硕的是（）.（6）严。 +

2、严0（1） = 0(C) /(2015) (1) 一 f(2015) (1)=0(D) /(2015) (1) /(2015) (- 1) = 2015 ! 22016).（AM和I2都收敛 （B） I：和I2都发散 （C）人收敛发散 （D）发散丿2收敛(5)设函数fg)在点(1,1)处连续，且lim吾普仁竽土鸽=1 ,则下列说法不正确的Hfl (力一1)十(一1)yf 1是( ).7(1,1) = 0(B) (1,1) = 2, (1,1) =-2(C) fay)在点(1,1)处可微(D) f9y)在点(1,1)处取极值f( 2+y2)dy化为极坐标形式的 TOC o 1-5 h z 二次积

3、分为().CarctanKPRPyf-RfarctaaRPRM fMrdr (C) d0 /(r)dr (D)dd /(r)drJ 0 J 0Jo JoJ 0 J 0设A是三阶非零矩阵，满足A2=o.若线性非齐次方程组Ax = b有解，则其线性无关解向量的 个数是()1(B) 2(C) 3(D) 4设A为三阶可逆矩阵，将A的第一行的3倍加到第二行得到另，则下列命题正确的是().将A-】的第一行的3倍加到第二行得到B 1将A-】的第一行的一3倍加到第二行得到於一1将A-】的第一列的一3倍加到第二列得到B 1将A-】的第二列的一3倍加到第一列得到B 1二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.

4、请将答案写在答题纸指定位置上.曲线=sin0 (0三0兀)围成的图形绕直线0=号旋转一周所形成的旋转体体积为(10)设 /(JC)连续，且 lim= 1,贝|lim1 + Ah0 jCx-*0 L工-.2cotx仔 一、i 1 ln( 1+x)Jo *皿=(11)设函数夕=夕&)由方程b2h = 2M确定，则)=&)的拐点为（12）已知方程+夕=sinz + cos允的解均为方程/ + +矽=g 的解，其中。为常数，则/（乂） =(13)设N = z(a:,y)由方程(p(az by ,bx cz ,cy ojc) = 0确定，其中爭具有连续偏导数，贝I dz 丄 dzC + ad = *（1

5、4）已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3,*工）=川一6/ +11工5，则/（A） =三、解答题4523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设/&）可导，且7（0） 70. （ I ）证明当H 0时，P/Q）曲/（0）八(H)求lim1工o Lzy（o）（m）设#&）连续，且产（0）工0,如果当巧纽）时，J：,其中F介于7与0之间.求.gfO x（16）（本题满分10分）设函数于（工）在（一x,+oo ）内有定义（I ）若*刃在点氐处可导，并取得 最值，证明/U）=o；（U）若/&）为周期T （T0）的可导周期函数，证

6、明存在&，&60,T）,fi ,使得 y7（&）=”（&）=o.（17）（本题满分10分）设之=夕,卩（弓2）,于具有二阶连续偏导数，卩具有二阶导数，且申(g)满足lim 号-J -*1 Q jc1)=1,求窘 dxdy 1(1,1)（18）（本题满分10分）设OVhVI.证明（I） ln（l+QV 晋丰寻；（H） （1 + 2（1+工）+ 1的部分.(本题满分11分)设连续函数产&)满足*7)=尤+ 2 J：(l .(I )验证 /(力)满足 f (z) +”&) 一 2/(jc) = 1 ,且 /(0) = 0,/z(0) = 1 ；( U)求 /(h)(本题满分11分)求函数fCx,y)

7、 = * +42 +紂+ 2在区域D上的最大值与最小值，其中D 丁 21为玩 + bWl且夕2X 1 +3e3 +5m =0,.(22)(本题满分11分)设线性齐次方程组Ax = 0为血一2+2g=0,在此方程组基础上添 l2rt：i X2 + 无3 +3无4 =0.加一个方程2#1+处24e+处4=0,得方程组Br = 0. ( I )求方程组Ax = 0的基础解系和通解；(U ) 问a9b满足什么条件时,Ax = 0与Bx = 0同解.(23)(本题满分 11 分)设二次型 /(1 ,工2 ,力3)=xTAx (AT = A)，满足 tr(A) = 1, AB = O,其中 1 1B= 1

8、13 .(I)求正交变换x = Py9化二次型/为标准形；(U)求该二次型.、1 0 2,全国硕士研究生入学考试（数学二）模拟试卷二一、选择题8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要 求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设函数y = /（乂）在点7 = 0处的增量满足，= 1 一 e2Ax + zsin/M，则当Z f 0时， 夕是dy L=o的（）（A）等价无穷小（B）同阶但不等价的无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小（2）设 /（j?） = J总 + sir?允 + x，则曲线，=/（jc）有（ ）.（A）两条斜渐近线（B） 条水平渐近线

9、一条斜渐近线（C）两条水平渐近线（D） 条斜渐近线，没有水平渐近线（3）设工）=lim V（l 宀+尹辽6 0,口，则下列结论不正确的是（）.72OO （A） fCx）连续 （E） 可导 （C） /&）有极值点（D）曲线夕=/&）有拐点（4）设函数g 0且单调递增，则积分f(x)sinxdx9 I2 = /(jOcoszAz , I3 =/(jc) tanjudjc的大小顺序为().I】 bh (B) I3 I2 (C) I2 I3 Ii (D) I3 Ii I2 TOC o 1-5 h z 设函数2)在点(血小。)的某邻域内有连续二阶偏导数，且满足B2 - AC V0,其中 A = /!(比

10、0，夕0)， = /X (乞0 ,夕0), C = f yy So，夕0)，则点(如，夕0)().(A)必为X 的极大值点(B)必为fS)的极小值点(C)必不为门的极值点(D)可能不是的极值点设函数*厂夕)点(0,0)处一阶偏导数存在，且*(0,0) = 0, (0,0) = 0,则下列结论正确 的是().(A)人(0,0) = 0(B) lim 心辽二/卫)=()b(C) lim/(jc,) = /(0,0)(D) lim/(j;,0) = lim/(0,j/)zf 00yf oy0设A为mXn矩阵，m工n, b为m维列向量，贝!J下列结论若r(A) = /z ,则Ax = b必有解；Ax

11、= 0与ATAx = 0必同解； 中正确的个数是().(A) 0(B) 1(C) 2若r(A) = m，则Ax = b必有解；ATAx = ATb必有解3设同为咒阶实对称矩阵，则相似的充要条件为().(A) 等价(E)A,合同(C) | AE-A | = | AE-B |(D) A,B的正负惯性指数相同二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.设连续函数y = 3 满足 g) + 1 =严“ -曲，则夕=J X y t) t已知y = C +c2sin + e (其中C Q 为任意常数)是某二阶线性方程的通解,则该微分方程 为.)设FQ)=托匸肤，其中3为连续

12、函数，则I- 丁 = (12)设函数 /(x) = (x jc)sin27rx，其中幻为取整函数，则 /(100)= 1 Ez V 0 ,C2（13）设函数/*的反函数为广心），则J。广心）山=ex , z $ 01 12、4 - r(14)设 A =-1 2 1,B =2 k、0 1 1.、2 ，若存在矩阵C，使得AC = B，则k =三、解答题523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.1 -1 smt（02tt）. （I）求L的参数方程 夕=1 cos确定的函数夕=夕（刃的定义域；（U）求曲线L与H轴围成的平面图形绕夕轴旋转一周而形成的旋

13、转 体体积Vy； （ID）设曲线L的形心坐标为GQ）,求丛(16)(本题满分10分)设函数2 =具有二阶连续偏导数，变换u = ax +y9 v = x +by，把方程券一 +守=化为豔=试求讥的值(本题满分 10 分)设 0 ViVl,z“= max xn-r ,t At, n = 2,3,，证明 limz” 存在，J 0并8并求此极限.（18）（本题满分10分）设D：O0，炮弹质量为m，求当k = mg时,炮弹飞行过程中的最高高度.(其中 g为重力加速度).(本题满分11分)(I)设函数/&), gQ)在也,刃上连续，证明J/(z)gO)d(23)(本题满分11分)设A是三阶实对称矩阵，|

14、A| = 12, A的三个特征值之和为1,且 a-(l,0,-2)T是方程组GV 4)兀=0的一个解向量.(I)求矩阵A； (H)求方程组(A*+6E)x = 0的通解.全国硕士研究生入学考试(数学二)模拟试卷三一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要 求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. TOC o 1-5 h z (1)当2 0时，下列无穷小中与於同阶的无穷小是().fx1COSH 1Psinx 2f siaz(A) ln(l +护)d (B)- dt (C)(& 一 1)曲 (D)YtdtJ 0JotJ 0J 0设 在 2 =

15、0 处二阶可导，/(0) = 0，若 lim 3 t (空)=1 ,则().osmx(A) f(0)是fS 的极大值(B) f(0)是 g 的极小值(C) (0/(0)是曲线 g 的拐点(D)以上结论均不正确极限吋 +(1 +扌)2(1 + 肘 化为定积分有如下结果：C2C2flflln2xdx . (ii) 2 nxAx . (iii) 2 ln(l +. (iv) In2 (1 +.J 1J 1J 0J 0以上结果中正确的是().(A) (i),(ii)(B) (i),(iv)(C) (ii),(iii) (D) (ii),(iv)设于sin与工为某常系数线性齐次微分方程的两个特解，则阶数

16、最低的微分方程为().(A)夕 + 一 3)= 0(B)， 一 3/ = 0(C)夕2夕+ 2y = 0(D) J/一夕+ 2/ = 0(5)设咒为正整数，fQ) = Jsinh曲，则().(A) fS必为偶函数(C)当九为偶数时，/(X)为周期函数/&)必为有界函数(D)当n为奇数时，为周期函数设 D = (龙,)I 乂2 +,则三者大小依次为()(A) li I2 I3 (B) h K I2 (C) I3 Ji I2 (D) I3 J2 ,Aai +a3线性相关的 必要条件是().(A) Ai 0或右入2 = 1(E) Ai工0且右入2 H 1入2 = 0或入1入2 = 1(D)入2 H

17、0且右入2工1设A为力阶实对称阵，A*为A的伴随矩阵，则为正定阵的充要条件是( ). (A) A正定 (E) A*正定 (C) A* = 0有非零解 (D) Ax = O仅有零解二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(I arIp I jr I sin 函数口的可去间断点个数为(11)求J于1 + sinju 11 + COSHf&+1)2 ,(12)设e0,rr记F(Q =则曲线y = F(x)的拐点个数为工0,Jo设 jD= (龙,夕)|+ 夕2 W 1，则二重积分 jj(cos2j: + sin2)djcd = _D（14）设A, B为三阶矩阵，A相

18、似于，右=1,入2 = 1为A的两个特征值，又则 TOC o 1-5 h z （A 3E）TOO 矿 +（扣）T =工0, x2 + y2 = 0.三、解答题：1523小题，共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.（允2 护）sin（15）（本题满分io分）设函数 心a = *2+y0,证明（1）（如夕），人（工,夕）存在；（U）在点（0,0）处尤&,），扎（7 不连续，但 gy）可微分.严一 1,(本题满分10分)设函数/&)=(0,兀+1,lWwVO,2 = 0, (I)问/(工)在一1,1上是否可积？ oCi.(U)问/Q)在1,1上是否存在原函数，

19、即是否存在可导函数FQ),使得FS2分别给出理由.(本题满分10分)设L为过0(0,0),A(1,1)的凸曲线段，过L上任意一点PQq)作切线交3 丿轴于Q，若OPQ的面积为，求曲线L的方程.（18）（本题满分10分）数列xn定义如下：21 = 1, 2允卄1 =九+ Jh： + + （n = 1,2,），证明 数列收敛.（19）（本题满分10分）（I ）设函数 g 在点氐处满足= 0,严（如）工0.证明点 （血JQ。）为曲线夕=g 的拐点.（U）若函数/（工）在点工=0的某邻域内有二阶连续导数，且 /（0） = 0,叫气需茫严 =1.判别点（0,/（0）是否是曲线夕=f（）的拐点.(本题满分

20、11分)设函数/()在(a,b)上可导，ac 0，则积分/(j?)cosj:dj7的值为().J 0(A)恒正(B)恒负(C)非正(D)非负).(4)设函数/&)可导，且#&) 0,广】(允)为fS 的反函数，则(广】&)=(C) /n(D) f 屮（5）设函数/（允,夕）=V* + y、0,（A）连续，但偏导数不存在（C）连续且偏导数存在仏 I y 7 u ?则心小在点（0,0）处（x2 + y2 = 0,（B）不连续，但偏导数存在（D）不连续且偏导数不存在（6）将极坐标系下的二次积分（10 7（1 + rcos,rsin）rdr转化成直角坐标系下的二次积分J 0 J 0为（ ）.J1-,(

21、A)字dz /XHjOdy + dz J。 _-_rir /i-(x-i)2r2 r /1-(.2-1)2(E)JdzJ/(，夕心 + 卜乞 J。f(x9y)dy_J1 一/fl r Vl-yZi /(ijOcLr + J醤dy J Z_r/(z，3/)ch:1+ J1/1 V 13/dyJ 0 J yJo训匚 心,夕)竝+ 严（7）设A合同于=.，则（）.（A） |A|= B（E）右，入2,，九为A的特征值（C）A为对称阵（D） A必合同于单位矩阵(8)设 A是 mXn 矩阵(咒加)，r(A) =m, jB 是 n X)矩阵,r(B) =nm 且 AB=O,若 1/是 TOC o 1-5 h

22、 z Ax= 0的解，则线性方程组By = n ().(A)无解 (E)有无穷多解 (C)有唯一解 (D)解的情况不能确定二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.1 (9)rarccos 一Ar =.J 1 XX曲线夕=/(jc) = lim -一-y衽及直线=无及z = 1围成平面图形的面积人-*+* 1.十 乂 一 e/设p(z) =maxz,l，则微分方程+p(x)y = x的通解为(12)设函数n = n(n,夕)由方程x az =(p(y 一 bz)确定，其中卩可导且a 一 b(p丰0，则dz | J dz a+bC a/ (y ) 3二重积分CO

23、S.M.=设A 是 3 阶矩阵，b = (3,3,3)t，方程组 Ax =方有通解届(-1,2, -l)T + 2 (0, -1,1)T+ (1,1,1)T，其中k.,k2是任意常数，则A的特征值为三、解答题523小题，共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.(本题满分10分)(I )求cos(siz)的带有皮亚诺余项的四阶麦克劳林公式.(U)设 g =1 一 cos(sinjc) +aln(l +j?)，其中a是参数，试讨论当z 0时，/(?)是x的多少阶无穷小？请说 明理由.(本题满分10分)已知平面上两点A(4,6),B(6,4), C为椭圆辛+首=

24、1上的点，求ZXABC 面积的最大值和最小值.(本题满分10分)(I)证明当h0时，Vln(l+Q 乂 ； 1十z(U)设？&) =ln(l 土辺cos,求 lim 空 J 0 tL_rf o+ 2(本题满分 10 分)设区域 D：0Cl,0j；C2，计算1)27 +|-3/|d7.D（19）（本题满分10分）设于（Q为连续函数，若*工）=,（I）建立 g 满足的一阶微分方程；（n）通过变量代换况=忐，求 g (本题满分11分)设函数夕(无)O $ 0)由方程夕3 +巧一8 = 0唯一确定，(=2(+4)旳；(U)计算积分$(刃山.(本题满分11分)设函数 g 在0,1上具有二阶连续导数，且/

25、(0)=(I)证明至少存在一点(0,1)，使得2/(*) - /(0)+/(1) +弓 ； (H)证明至少存在一点s (0,1)，使得/(0)| W丄卑讥.r 1、-13、7 ,Bv = 0的基础解系为卩、2r-r101 =1，p2 =1O、1 ,求Ax=0与Bx = 0的非零公共解.r 2（22）（本题满分11分）已知0的基础解系为产；(23)(本题满分11分)已知三阶矩阵A满足A-E = A-2E-= A+E =a. ( I )当q = 0时, 求 |A + 3E| ； (II)当 a = 2 时，求 |A + 3E|.全国硕士研究生入学考试(数学二)模拟试卷五一、选择题48小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要 求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. TOC o 1-5 h z (1)设非负函数/ (乞)和g(z)在z = o处有二阶导数，且f(o)= g (0), /z( o)=(o),严(0)Hg(0),若2一0时， 1与刃为同阶无穷小，则n =().(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4当0 0,/(0)