《结构力学》本科课件第十章

1、 第十章 矩阵位移法电子课件 首页第十章 矩阵位移法目 录基本要求了解：矩阵位移法的原理、概念和方法掌握：单元分析和整体分析的方法；矩阵位移法的计算步骤10-1-1 基本思路10-1-2 结构分析方法 基本方法力法、位移法 手算 杆件有限元法矩阵位移法 电算主要内容：离散化单元分析 刚度（物理）关系：杆端力杆端位移 集合整体分析几何条件10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-1-1 基本思路10-1-2 结构分析方法平

2、衡条件结构矩阵分析： 力法 位移法：简单，通用性强，应用广 矩阵位移法基本原理与位移法相同 数学工具矩阵运算10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-1-1 基本思路10-1-2 结构分析方法 （1）传统方法前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法，适用于手算，只能分析较简单的结构。 10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩

3、阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-1-1 基本思路10-1-2 结构分析方法 （2）矩阵分析方法矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式， 以计算机作为计算手段的电算结构分析方法。 它能解决大型复杂的工程问题。 10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-1-1 基本思路10-1-

4、2 结构分析方法 （3）矩阵位移法它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆系结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-1-2 结构分析方法10-1-1 基本思路内力影响线是横坐标为单位移动荷载的作用位置，纵坐标为单位移动荷载在此位置时内力大小的变化规律图形。内力图是在给定（不变的）荷载下各截面的内力大小;横坐标是

5、截面位置，纵坐标为该截面的内力大小。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵1、编码单元 e( e = 1,2，n)等截面直杆：单元 I、E、A、l。2、局部坐标系ij杆轴正方向（局部编码，箭头）10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架

6、结构的整体分析10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵坐标系：（右手系）10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析ijexxyM,10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵3、杆端力与杆端位移“”局部坐标标志正负号规则与坐标系对应（列向量）10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的

7、整体分析10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析FSieFNjMjMiFNiFSjvieujjiuivj10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵4、刚度方

8、程杆端力与杆端位移的刚度关系10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵5、单元刚度矩阵的性质（1）物理意义单刚表示单元杆端力与杆端位移的刚度关系单元刚

9、度系数当其所在列对应的杆端位移等于1（其余杆端位移等于0）时，所引起的所在行对应的杆端力10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵（2）重要性质对称性kij = kji 奇异性|K| = 0第1和2 行(列)与第4 或5行(列)相加，所得一行(列)元素全为零10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的

10、整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵物理概念：已知杆端位移杆端力，反之不成。因为讨论的是自由式单元，存在任意的刚性位移。分块性质10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵整体分析统一坐标系变形条件、平衡条件整体坐标系整体坐标系的单元刚度方程10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩

11、阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵坐标变换方法：1、单元坐标转换矩阵设为从 x 轴到 x 轴的夹角，逆时针为正10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚

12、度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵力的转换：用X、Y、M表示 10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁

13、架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵力的转换：用X、Y、M表示 10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵2、整体坐标系中的单元刚度矩阵由局部坐标系中的刚度方程10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3

14、整体坐标下的单元刚度矩阵代入整体坐标系中的杆端力、杆端位移的转换关系等式的两边同乘TT10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵写为：整体坐标系中的刚度方程：10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元

15、刚度矩阵整体坐标系的刚度矩阵：同阶，相同的性质： 10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵写成分块形式：10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵整体刚度方程：FK 其中：F

16、结点力向量结点位移向量则：K整体刚度矩阵结构的结点力与结点位移的刚度关系10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-4 连续梁的整体刚度矩阵二跨连续梁：结点位移向量=1 2 3T结点力向量 F = F1 F2 F3 T10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体

17、分析10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析F1F2123F310-4 连续梁的整体刚度矩阵例10.1 求图示连续梁的整体刚度矩阵。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-4 连续梁的整体刚度矩阵解：（1）编号及建立坐标

18、如图所示（2）单元刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-4 连续梁的整体刚度矩阵（3）整体刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-5 刚架的整体刚度矩阵刚架整体刚度矩阵的求解方法与连续梁基本相同，步骤如下：（1）编号、建立坐标

19、。（2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵。（3）把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-5 刚架的整体刚度矩阵（4）把单元定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上，并划去已知支座位移等于零的行和列。（5）按定位向量用 对号入座的方法集合成整体刚度矩阵。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-

20、5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-5 刚架的整体刚度矩阵例10.2 求图示结构各单元的整体刚度矩阵，杆长 5m， 。解：（1）编号、建立坐标如图所示（2）写出各单元局部坐标下的刚度矩阵（3）写出各单元整体坐标下的刚度矩阵（4）拼装整体刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-5 刚架的整体刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3

21、整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-5 刚架的整体刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-5 刚架的整体刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算

22、步骤10-8桁架结构的整体分析10-5 刚架的整体刚度矩阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-5 刚架的整体刚度矩阵整体刚度矩阵的特点：（1）整体刚度系数当第 j 个结点位移分量（其它结点位移分量为零）时所产生的第 i 个结点力；（2）整体刚度是对称矩阵（反力互等定理）；10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度

23、矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-5 刚架的整体刚度矩阵（3）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵（先处理法，已考虑约束条件）；（4）整体刚度矩阵是稀疏、带状矩阵（有许多零元素，且非零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-6-3等效结点荷载求解方法10-6-1 结点荷载列阵10-6-2 等效结点荷载列阵把位移法方程写成矩阵形式后，整体刚度方

24、程如下。-整体刚度方程其中： -荷载列阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-6-3等效结点荷载求解方法10-6-1 结点荷载列阵10-6-2 等效结点荷载列阵本节讨论荷载列阵荷载列阵。通常有两部分组成：其中： -结点荷载列阵， P -等效结点荷载列阵。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列

25、阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-6-3等效结点荷载求解方法10-6-1 结点荷载列阵10-6-2 等效结点荷载列阵结点荷载列阵一列 n 行，n 是未知量的个数，由作用在结点上的集中力组成，按编号的顺序及 x , y , 的顺序由上而下排列，若某方向上没有集中力就填 0，其正负号应按整体坐标确定。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-6-3等效结点荷载求解方法10-6-2 等效结点荷载列阵10-6-

26、1 结点荷载列阵等效结点荷载列阵由节间荷载产生，求解方法用一例题来说明。图示结构在节间荷载作用下，A 结点会产生 3 个位移，为此先三个附加链杆和刚臂把结点位移固定起来，如图（b）所示。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-6-3等效结点荷载求解方法10-6-2 等效结点荷载列阵10-6-1 结点荷载列阵图（b）的效果相当于在 A 结点施加了三个结点集中力，阻止其位移。显然图（b）的内力与原结构不等效的，为此我们必须

27、在 A 结点施加三个反向的结点集中力（如图 c 所示），图（b）与图（c）相加，A 结点处的结点集中力就互相抵消了。因此有：（a）内力=（b）内力+（c）内力。10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-6-3等效结点荷载求解方法10-6-2 等效结点荷载列阵10-6-1 结点荷载列阵10-1 基本概念10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵目 录10-4 连续梁的整体刚度矩阵10-5 刚架的整体刚度矩阵10-6 荷载列阵10-7 计算步骤10-8桁架结构的整体分析10-6-3等效结点荷载求解方法10-6-2 等效结点荷载列阵10-6-1 结点荷载列阵等效结点荷载的求解步骤：（1）求出局部坐标