不等式的性质及一元二次不等式(讲)(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专题7.1 不等式的性质及一元二次不等式1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识点一 两个实数比较大小的依据(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.知识点二 不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(

2、3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方性：ab0eq r(n,a) eq r(n,b)(nN，n2)知识点三 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实数根x1，x2(x1x2)有两相等实数根x1x2eq f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco

3、1(,)xf(b,2a)R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 1.一元二次不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立eq blcrc (avs4alco1(a0，, b24ac0.)2.一元二次不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立eq blcrc (avs4alco1(a0，, b24ac0.)考点一 不等式的性质及应用【典例1】（湖南雅礼中学2019届质检）(1)已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()A.cba B.acbC.cba D.acb(2)若eq f(1

4、,a)eq f(1,b)0，给出下列不等式：eq f(1,ab)eq f(1,ab)；|a|b0；aeq f(1,a)beq f(1,b)；ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A. B.C. D.【答案】(1)A(2)C【解析】(1)cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a1eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)0，ba，cba.(2)方法一因为eq f(1,a)eq f(1,b)0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2

5、)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除A，B，D.方法二由eq f(1,a)eq f(1,b)0，可知ba0.中，因为ab0，ab0，所以eq f(1,ab)0，eq f(1,ab)0.故有eq f(1,ab)eq f(1,ab)，即正确；中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，又eq f(1,a)eq f(1,b)0，则eq f(1,a)eq f(1,b)0，所以aeq f(1,a)beq f(1,b)，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由

6、以上分析，知正确.【方法技巧】比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差变形判断差与0的大小得出结论(2)作商法，其步骤：作商变形判断商与1的大小得出结论(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论【变式1】（河北辛集中学2019届模拟）设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.【答案】5，10【解析】方法一设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得eq blc(avs4alco1(mn4，,nm2，)解

7、得eq blc(avs4alco1(m3，,n1.)f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二由eq blc(avs4alco1(f（1）ab，,f（1）ab，)得eq blc(avs4alco1(af(1,2)f（1）f（1），,bf(1,2)f（1）f（1），)f(2)4a2b3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由eq blc(avs4alco1(1ab2，,2ab4)确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(2)4a2b过点Aeq blc(rc)(avs4alco

8、1(f(3,2)，f(1,2)时，取得最小值4eq f(3,2)2eq f(1,2)5，当f(2)4a2b过点B(3，1)时，取得最大值432110，5f(2)10.考点二 一元二次不等式的解法【典例2】（山西平遥中学2019届模拟）解关于x的不等式ax222xax(aR)。【解析】原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,a)(x1)0，解得xeq f(2,a)或x1.当a0时，原不等式化为eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,a)(x1)0.当eq f(2,a)1，即a

9、2时，解得1xeq f(2,a)；当eq f(2,a)1，即a2时，解得x1满足题意；当eq f(2,a)1，即2a0时，解得eq f(2,a)x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|xf(2,a)或x1)；当2a0时，不等式的解集为eq blc(avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(f(2,a)x1)；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为eq blcrc(avs4alco1(x|1xf(2,a).【方法技巧】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于

10、零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【变式2】（辽宁师大附中2019届模拟）求不等式12x2axa2(aR)的解集 【解析】原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1eq f(a,4)，x2eq f(a,3).当a0时，不等式的解集为eq blc(rc)(avs4alco1(

11、，f(a,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)，)；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为eq blc(rc)(avs4alco1(，f(a,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,4)，).考点三 一元二次不等式的恒成立问题（在实数R上恒成立）【典例3】（ 黑龙江双鸭山一中2019届模拟）若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2B2,2C(2,2 D(，2)【答案】C【解析】当a20，即a2时，不等式为40对一切xR恒成立当a2时，则eq blcrc (avs4alco1(a20，,

12、4(a2)216(a2)0，)即eq blcrc (avs4alco1(a20，,a24，)解得2a2.实数a的取值范围是(2,2【方法技巧】在R上的恒成立问题解决此类问题常利用一元二次不等式在R上恒成立的条件，注意如果不等式ax2bxc0恒成立，不要忽略a0时的情况【变式3】（江苏扬州中学2019届质检）对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2) B.(，2C.(2，2) D.(2，2【答案】D【解析】当a20，即a2时，40恒成立；当a20，即a2时，则有eq blc(avs4alco1(a20，,2（a2）24（a2）（4）0，)解得2

13、a2.综上，实数a的取值范围是(2，2.考点四 一元二次不等式的恒成立问题（在给定区间上恒成立）【典例4】（浙江余姚中学2019届模拟）设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求实数m的取值范围。【解析】要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即mx2mxm60在x1,3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)mx2mxm6meq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(3,4)m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以meq f(6,7)，所以0meq f(6,7)；当m0时，60恒成立；当m0时

14、，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.综上所述，实数m的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(6,7).法二：因为x2x1eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(3,4)0，又因为mx2mxm60，所以meq f(6,x2x1).因为函数yeq f(6,x2x1)eq f(6,blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2f(3,4)在1,3上的最小值为eq f(6,7)，所以只需meq f(6,7)即可所以实数m的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(，f(6,7).【方法技

15、巧】 在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na. 【变式4】（安徽蚌埠二中2019届模拟）若不等式x2ax10对一切xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)恒成立，则a的最小值是()A.0 B.2 C.eq f(5,2) D.3【答案】C【解析】由于xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)，若不等式x2ax1

16、0恒成立，则aeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)，xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)时恒成立，令g(x)xeq f(1,x)，xeq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)，易知g(x)在eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)上是减函数，则yg(x)在eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)上是增函数.yg(x)的最大值是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(5,2).因此aeq f(5,2)，则a的最小值为eq f(5,2).考点五 一元二次不等式的恒成立问题（给定参数范

17、围的恒成立问题）【典例5】（福建泉州五中2019届模拟）若对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围。【解析】由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，所以eq blcrc (avs4alco1(g(1)(x2)(1)x24x40，,g(1)(x2)x24x40，)解得x1或x3.故x的取值范围为(，1)(3，)【方法技巧】给定参数范围求x的范围的恒成立问题1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一