自动控制理论：4第四章 根轨迹法-02

1、2022/7/13 可见，根轨迹图全面地描述了参数K1对闭环特征根分布的影响。 定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。 图4-2 二阶系统的根轨迹2022/7/13利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析：（1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性；（稳）（2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数；（3）判断该系统在K1取值任何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性；（准） （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系统闭环性能指标；或反之。（快） 2022/7

2、/13一、绘制根轨迹的基本条件 讨论图4-3所示系统 ，特征方程为 1G(s)H(S)=0 或 G(S)H(S)=-1 根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件，即： 幅值条件： 相角条件： 2022/7/13二、绘制根轨迹的基本规则 规则1：根轨迹的分支数和对称性。 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n；根轨迹对称于实轴。 规则2：根轨迹的起点与终点。 起始点： K1=0时的闭环极点，即系统的开环极点。 起始点与终止点个数相等，均为n； 终止点：（1）有限值终止点：当K1时，有m条分支趋向开环零点； （2）无限远终止点：当K1时， 有n-m条分支趋向无穷远处,

3、需要确定其方位和走向。 2022/7/13 规则3: 实轴上的根轨迹。 实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如图4-5所示。 图4-5 实轴上的根轨迹证明：s1左边每个开环极点或零点提供的相角为0， s1右边每个开环极点或零点提供的相角为180，每对共轭极点和零点提供的相角之和为0或360，互相抵消。故，只有其右边开环零点、极点的总数为奇数的实轴线段才满足相角条件。2022/7/13 规则4:根轨迹的渐近线。 当系统的根轨迹增益K1时，趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由渐近线决定。（1）渐近线与实轴的倾角为：（2）渐近线与实轴的交

4、点坐标(称形心)为：（证明略）2022/7/13规则5：根轨迹的分离点、会合点和分离角。 几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。分离点(会合点)是闭环特征方程的重根点，在 的变化过程中，分离点(会合点)是 取得极大值或极小值的点， 在特征方程中，将 用s及其各次幂的形式表达出来，再根据求极值的方法寻找分离点(会合点)处的s值，即分离点与会合点必须满足方程: 上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或会合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在s平面上任何一点2022/7/13规则6：根轨迹的出射角和入

5、射角。 根轨迹从开环复数极点出发的角度（出射点的切线与实轴正方向的夹角）称为出射角； 进入开环复数零点的角度（入射点的切线与实轴正方向的夹角）称为入射角。 (出射角对应于复极点，入射角对应于复零点)。出射角：入射角：2022/7/13其中： 为其它开环零点、极点对出射点或入射点提供的相角，即：说明：如图4-11所示为已知系统开环零、极点分布，可说明出射角的求取。在根轨迹上靠近起点P1较近处取一点S1,显然满足相角条件，有2022/7/13当S1无限趋近于P1点时， 即为P1点的出射角 ，一般情况下，开环复数极点Pk的出射角为：图4-11 出射角的确定2022/7/13用同样的方法可以确入射角2

6、022/7/13规则7：根轨迹与虚轴的交点。在根轨迹与虚轴的交点处，存在系统的纯虚根，实际上是系统的临界稳定点。通常用以下两种根轨迹与虚轴交点。（1）复数相等方法（2）劳斯判据法2022/7/13【例4-6】已知系统开环传递函数如下： 试求系统根轨迹与虚轴的交点。 解：2022/7/132022/7/13规则8（补充）：闭环极点的和与积。根据代数方程的根与系数的关系 闭环极点之和： 闭环极点之积：为系统特征方程的系数2022/7/13特别地，当n-m2时，有: 即闭环极点之和等于开环极点之和。 这些表明在开环极点确定的情况下，随着K1的变化，若有一些闭环特征根增大，则另一些特征根必然减小。即一

7、些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。2022/7/13【例4-7】已知与开环传递函数为 其根轨迹与虚轴的交点为s1,2= j1.414,试求交点处的临界K1值及第三个特征根。解：系统的特征方程为： 由闭环极点之和公式易得 s1+s2+s3=j1.414-j1.414+s3=-a1=-3,所以：s3=-3 由闭环极点之积公式易得 s1s2s3=an=K1=62022/7/13【例4-8】已知反馈控制系统的开环传递函数为： 试绘制K1变化时的根轨迹。解：按以下步骤绘制系统的根轨迹：（1）开环极点为p1=0，p2=-3， p1=-1j,无开环零点；（2）根轨迹分支数n=4条；（3）在实轴上-3，0之

8、间为根轨迹段；（4）渐近线,n-m=4条：2022/7/13（5）由特征方程求分离点 利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点s1=-2.3的K1值为4.33。（6）求出射角根据对称性可知：p4 =71.6解得s1=-2.3，s2,3=0.725j0.365。经检验s1为分离点。分离角为90o。 2022/7/13（7）求根轨迹与虚轴的交点。 由特征方程 并列出劳斯表：令劳斯表中S1行的首项为零，求得 K1=8.16。根据表中S2行的系数写出辅助方程: 令s=j，K1=8.16代入上式，求得=1.1。根轨迹的两条分支与虚轴交于=j1.1处对应的K1=8.16。2022/7/13图4-12 例4-

9、8的根轨迹图最后，得到系统的根轨迹如图4-10所示-2.3-1.25j0.7-0.4j1.1绘制的根轨迹图如下：2022/7/13用Matlab绘制根轨迹： n=1; d=conv(1,3,1,2,2),0; g=tf(n,d); rlocus(g)图4-13 例4-8的根轨迹图Matlab绘制在绘制过程中，切忌“想当然”，即便是零、极点的相对位置不变，数值大小的变化也会影响根轨迹的形状。请看下例：2022/7/132022/7/13绘制根轨迹的大概步骤2022/7/132022/7/132022/7/13四、利用根轨迹分析系统性能1、暂态性能分析2022/7/132022/7/132022/

10、7/132、增加开环零点： 增加合适的开环零点使根轨迹向s平面左方弯曲或移动，可以减小系统的超调量和调整时间，改善系统的稳定性和快速性。 如果选择不合适，则于系统性能改善无益。 一般先根据性能指标要求确定闭环极点的位置，再选择增加合适的开环零点2022/7/13例、设二阶系统的开环传函为：增加零点后的传函为：分析其性能的变化解：变化前的根轨迹如右图，当增益K1大于0.25以后，根轨迹沿着与虚轴距离0.5的一条平行线向上向下移动。无论怎样选择增益K1，闭环极点离虚轴的距离都较近，影响系统的快速性（调整时间）2022/7/13增加零点z=-2，根轨迹向左弯曲，选择合适的K1，如图中的s2，即可使闭环极点离虚轴有一定的距离保证快速性，又可以使 角较小（ 较大），以降低超调量2022/7/13增加零点z=-0.5，无论如何选择的K1，闭环极点总是两个实极点，主导极点离虚轴的距离在0-0.5之间，使得系统的调节时间不可能缩短。2022/7/133、增加开环极点： 增加开环极点使根轨迹向s平面右方弯曲或移动，所增加的极点的模值越小，即离虚轴越近，根轨迹向s平面右方弯曲或移动越明显，对系统的稳定性影响越大。例、设二阶系统的开环传函为：分别增加极点-6，-2和-0.5，分