清华大学五道口金融学院高级微观经济学AMICE04基于ppt课件

1、第4讲 基于偏好的需求决议需求的边沿方程需求映射的可微性收入效应与替代效应需求映射的特征1.1 确定需求的边沿方程消费者需求的决议：成效最大化利用成效函数 u(x) 表达：max u(x) s.t px = r u(x) = p利用拉格朗日乘数法求解：R s.t. px = r定理 设消费集合 X 满足假设HC，偏好 满足假设HP，成效函数 u(x) 满足假设HU，p 0，r I( p)及 xX， 为消费者的需求映射。那么有下述现实： (x = ( p, r) ( 0)(u(x) = p) & ( px = r)边沿方程： 求解需求 x = ( p, r)。2.1.1 例：线性支出系统问题：消

2、费者收入较高，应对根本生活开支绰绰有余，如何将多余收入用在各种商品的消费上？分析：假定共有 种商品，并且消费者以为这些商品的额外消费在提高成效程度方面的作用分别为1,2,(这些 i 都是大于零的常数)。根本生活需求： = (1,2,) 0消费集合：X = xR | x i 的意义： i = (xii)MUi /TU 商品 i 的额外消费所添加的成效占总成效的比例，其中 MUi 为商品 i 的边沿成效，TU为总成效。这正表达了添加商品 i 的消费在提高成效程度方面所起到的作用大小。3.1.1.1 导出成效函数消费者的成效函数U(x)的推导首先利用成效函数U(x)来表达 i ： i = (xii)

3、Ui/U(x)。求解微分方程 1 = (dU/d x1)(x11)/U 可得：求解 2 = (d 1/d x2)(x22)/ 1可得：求解 = (d 1/d x)(x )/ 1可得：结果：最终方式：4.1.1.2 求解边沿方程先求导数：边沿方程：求解： 支出是价钱和收入的线性函数线性支出系统支出分配：消费者把多余收入按照比例 ai 分配在商品 i 的消费上。需求函数：5.1.2 边沿方程的意义与作用消费者平衡：成效最大的选择，即消费者需求。边沿方程给出了消费者实现平衡的根本法那么边沿替代法那么：边沿替代率 = 市场交换率MRSij = u i/u j：边沿替代率消费者为添加一单位商品i而情愿放

4、弃的商品j的数量。EXRij = pi /p j：市场交换率消费者为添加一单位商品i而实践放弃的商品j的数量。边沿成效法那么：各项消费支出的边沿成效均等均等法那么：把一单位收入不论用于添加哪种商品的消费，所添加的成效都是相等的。拉氏乘数：平衡时货币收入的边沿成效添加一单位支出所添加的成效。6.2 需求函数的可微性可微性：精打细算即使要素微小变动，也要可以准确掌握其影响大小。成效最大化带来需求的可微性：即使价钱或收入发生微小变动，成效最大化也要让消费者精挑细选，精打细算，准确掌握由此产生的对个人需求的影响，这就意味着需求函数理应是可微的。需求可微性问题研讨思绪：需求函数是边沿方程确定的隐函数，可

5、从隐函数存在定理来提出需求可微所要求的条件，并找出该条件的经济意义。7.对任何 xU，都有 Fi (x, (x) = 0 (i = 1,2, n)； ； 在 U 内延续可微(i = 1,2, n)。 定理 设在点 附近，函数Fi(x, y)延续可微， ，并且雅克比矩阵 可逆。那么存在 的邻域 和 的领域 ，存在独一的映射 (即 )满足：2.1 隐函数存在定理8.2.2 边沿方程的雅克比矩阵边沿方程：雅克比矩阵 J = J( p, r, x, )结论：只需 J 可逆，需求映射 ( p, r) 就可微。看来，我们需求研讨让 J 可逆所需的条件及其经济意义。9.2.3 保证雅克比矩阵可逆的条件成效函

6、数u(x)强拟凹：是指对任何 xX ，海森矩阵(Hessian matrix) u(x) 都在切空间 (x) 上负定。切空间：(x) = zR | z u (x) = 0 在切空间上负定：z(x)，z 0，都有 z u(x) z 0 & r I( p)。强拟凹性的经济意义：成效最大化二阶充分条件强拟凹的成效函数是严厉拟凹的。成效最大化二阶必要条件：u(x)在 (x) 上半负定。成效最大化二阶充分条件：u(x)在 (x) 上负定。需求可微性是成效最大化的自然要求，故强拟凹性并不是什么苛刻条件，是理性偏好自然会具备的性质。11.2.4 强拟凹性的几何意义成效最大化点 x 是成效函数 u 在切线 T

7、(x) 上的最大值点，故u(x)在 (x)上是半负定的(微积分知识)。u(x)在 (x)上负定，这是让 x 成为 u 在切线 T(x) 上的最大值点的充分条件。强拟凹性是关于偏好的性质：假设 u 与 v 等价，那么 u 强拟凹当且仅当 v 强拟凹。 pu (x)=切空间(x)切线T(x)u (x)x无差别曲线12.3 收入与价钱变动对需求的影响假定：假设HC、HP、HU全成立，并且消费者的成效函数 u(x) 强拟凹。收入与价钱变动收入变动：dr价钱变动：引起需求变动需求：x = ( p, r)需求变动：拉氏乘数变动：d13.3.1 需求变动方程边沿等式：将 x = ( p, r)代入边沿方程后

8、得到的恒等式，即(d x, d)与(d p, d r)的关系：边沿等式全微分需求变动矩阵方程：上述方程的矩阵方式( E 表示单位阵)14.3.1.1 斯勒茨基矩阵u 强拟凹 & u(x) = p & 0 可逆令 ，令 S = ZSlutskys matrix：S = (sij) = (sij) 斯勒茨基系数：sij根身手实：Sp = 0，z p = 1。T15.3.1.2 斯勒茨基方程求解需求变动矩阵方程Slutskys equation：16.3.1.3 需求变动的导数公式微分公式：导数公式：斯勒茨基系数的导数表示即17.3.2 变动效应分析实践收入变动：dr xdp名义收入变动：dr价钱变

9、动引起的实践收入程度变动： xdp收入效应：纯由实践收入变动引起的需求变动。收入效应率：x /r收入效应 = (dr xdp)x /r 替代效应：纯粹由价钱变动引起的需求变动。总效应：总效应 收入效应：从总效应中扣除收入效应后，剩余部分便只能归因于商品替代，即为替代效应。替代效应 = dx (dr xdp)x /r = Sdp18.3.2.1 斯勒茨基矩阵的意义实践收入不变时的总效应实践收入不变： dr xdp = 0，记作 u=const。总效应：dx = Sdp + (dr xdp)x /r = Sdp(替代效应)结论：S = (x /p)|u=const ，即 sij = (xi /pj

10、)|u=const 斯勒茨基系数 sij 的意义：替代效应率sij = (xi /pj)|u=const = xi /pj + xj xi /r意义：商品 j 的价钱上涨一单位， 引起商品 i 的需求添加xi /pj 单位，但也让实践收入减少xj单位。为了让实践收入不变，给消费者补贴xj 单位收入，这让商品 i 的需求进一步添加 xj xi /r 单位，最后总添加 sij 单位。可见， sij 代表替代效应率实践收入不变条件下商品i的价钱上涨一单位引起的商品 j 的需求添加量。19.例.3.2.2 需求映射的替代矩阵替代矩阵：鉴于斯勒茨基系数 sij 的替代效应率意义，斯勒茨基矩阵 S 被称为

11、需求映射 x = ( p, r) 的替代矩阵，并且 S = x /p + (x /r) x。替代矩阵 S 的性质对称性： S = S，即 sij = sji (i, j = 1,2,)半负定：(wR )(wSw 0)，从而 sij 0 (i = 1,2,)。不可祈求 S 负定：比如线性支出系统的 S 就是奇特的。TT20.3.2.3 对生活程度的影响生活程度函数： -间接成效函数普通影响：收入变动的影响率：价钱变动的影响率：重要现实：实践收入不变 生活程度不变实践收入不变(dr xdp = 0)时的生活程度变化：生活程度不变( )时的实践收入变化：dr xdp = 0罗伊恒等式：21.3.3

12、收入与价钱的同比例变动需求的零阶齐次性：(t 0)(tp, tr) = ( p, r)解释：价钱与收入同比例变动，预算集合不会因此遭到影响，故消费者需求也不受影响。意义：价钱与收入同比例变动不会影响生活程度。消费者方面：收入来自要素报酬。一切商品价钱同比例上涨，意味着消费者收入同比例上升。消费者方面：后面的消费者实际也会阐明，一切商品价钱同比例上升不影响消费选择，产品供应和要素需求不会变化，而消费者的利润要同比例上升。通胀效应：一切商品价钱同比例上升，既不影响消费选择，也不影响消费选择，反而使企业利润同比例上升。22.3.4 需求法那么普通的需求法那么：一种商品的需求量与该商品的价钱之间呈现反

13、向变动关系。对商品 i 成立吗？可经过 的导数 xi /pi = sii xi xi /r 的正负来判别。正常品：收入效应为正，xi /r 0，故 xi /pi 0。劣质品：收入效应为负，xi /r |xi xi /r |，故 xi /pi 0。吉芬品：|sii| 0。结论：吉芬品极其少见，故普通商品都服从“需求量与价钱反向变动(xi /pi 0，收入效应 0。消费者就要添加对正常品的消费量。正常品x1x2收入效应预算线补偿预算线E1EcE2xc替代效应变动后的预算线E1E2E1E2EcEc替代效应收入效应总效应总效应收入效应替代效应低档品价钱下跌消费量总归添加其他品吉芬品低档品其他品其他品吉

14、芬品价钱下跌消费量反而下降24.3.4.2 需求补偿法那么需求补偿法那么(一)：假设dr x d p = 0，那么d pdx 0。即在实践收入程度不变的条件下，需求变动与价钱变动是反方向的。证明：dx = Sdp，dpdx(内积)= dp Sdp 0。得证。需求补偿法那么(二)：假设 (q, s) ( p, r)且 q( p, r) = s，那么 (q p)(q, s) ( p, r) r。由于 px = r，因此 p( y x) 0。既然 q y = s 且 qx = s，因此 q( y x) = 0。这样，(q p)( y x) 0，(t p, t r) = ( p, r)瓦尔拉定律： p

15、( p, r) = r延续可微性：( p, r)延续可微( p 0, r I( p)替代对称性：( p, r)的替代矩阵 S 是对称的。需求补偿法：假设 (q, s) ( p, r) 且 q( p, r) = s， 那么 (q p)(q, s) ( p, r) I( p)，那么 e( p,U ) e( p,V ) U 0及成效程度U (要求 e( p,U) I(p)，都存在独一的 xE(U ) 使得 px = e( p,U)。向量 x 正是消费者的希克斯需求，记作 h( p,U )。定理 在假设HC、HP、HU下，对任何 p 0及 r I(p)，都有 ，并且 sij = hi/pj。sij = hi/pj 的证明：29.5.3 支出函数对价钱的导数定理 在假设HC