7.1 空间几何中的平行（精讲）（解析版）

1、7.1空间几何中的平行（精讲）思维导图线线平行阿 法 J思 方 判定定理平移法：把线平移到面内找方法三角形边等比例（中位线）0构造平行四边形线面平行的性质平行的传递性空间向量o面面平行的性质线面垂直的性质文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行（线线平行。线面平行）面面平行性质定理线面平行判定定理性质定理平行间的关系符号语言： a, aC a , ICa ,，I a文字语言：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行n线线平行”）文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线

2、面平行。面面平行”）符号语言：9： a/ (5 9 bB, anb = P, aC a , bC a , ，a B图形语言-文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那其交线平行符号语言：,: d B , a D y =a, 3 A y =b, /. a #b图形语言o两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面性质定理I判定定理判定定理线线平行差等T线面平行面面平行|性质定理性质定理f判定定理2PF = FC,AD = 6,BC = M,/BDC = ZpD = CD ,证明：AP/平面分4p【答案】证明见解析7T【解析】证明：.四边形ABCQ是梯形且/BDC=,477又

3、 AB / /CO,. ZDBA= ZBDC=-,4jr又AD BD,NDAB=,.443。是等腰直角三角形.4/ ADy/2.，*e- BD=, AB=2.,如图，连接AC交BD于点2连接ERp BD=叵,BC=M, ZBDC=-, 4在ABCD中，由余弦定理得BC2= BD2+ CD?2BD CD cos/BDC,解得 C3PD=4,故 2AE=EC,乂点方在棱PC上，且2P/=RS,在APC中，AP/EF,又AP a平面BDF, EF u平面BDF,故AP/平面BDF ;10. （2021 普宁市普师高级中学）如图，四棱锥PABC。中，AD/BC, AD = 2BC , M为PD的中点，

4、证明：CM平面【解析】证明：取24的中点N,连接BN、MN,./、N分别为PD、的中点，那么MN/且由条件可得BC/AD且3C =A。，.BC/MN且BC = MN, 2故四边形BCMN为平行四边形，所以，CM/BN,.CMa平面QA3, 3Nu平面因此，CM平面Q48；11.（2021辽宁高三）如下图，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形力欧和一个直角梯形/*其中熊/切，丝=,浙 L/c, ZEAC=90 ,现将直角梯形4仍沿边力。折起，使得4反1/反 连接应; 22BD,设线段8C的中点为凡求证：AF/ /平面BDEBD,设线段8C的中点为凡求证：AF/ /平面BDE【答案】证明见解

5、析D【解析】证明：（1）取劭的中点G,连接比、FG,由b为理的中点,那么 FGII %且 FG= CD, 2因为熊/且67?=2羔，所以/R?且熊=尸兄 所以四边形如&F为平行四边形，那么7/%, 又因为Gu平面阳人方仁平面讥归 所以7/平面以应；B12. （2021 天津市武清区杨村第一中学）在如下图的儿何体中，四边形ABCO是正方形，四边形人。夕。是梯形，PD/QA ,且AO = PD = 2QA = 2,求证：。3平面尸QAB【答案】证明见解析【解析】证明：如图，设PO的中点为M，连接QM,那么= 又MDIIQA,所以，四边 形AOM2为平行四边形，那么QM/AO,且QM = AO,又A

6、D/3C,且AZ） = 3C,所以QM/BC, 且QM = BC.所以四边形3CMQ为平行四边形，从而。BMC,又MCu平面POC,。8二平面。,故。8/平面POC；考点二面面平行【例21】（2021 全国高三月考）如下图，在多面体ABC AAC中，AA，, CQ均垂直于平面ABC, E,尸分别为AG，AB的中点，证明：EF 平面BCCB【答案】证明见解析【解析】取AC的中点。，连接OE, OF ,由题知，OF/IBC, BCu平面BCGg，Ob仁平面BCC,所以O尸平面3。6片,因为。石CG，CGu平面BCG片，OE仁平面BCC4,所以OE平面BCC, 又OEcOF = O,所以平面。瓦7/

7、平面BCG4，因为斯u平面0所，所以打平面bcg4.【例2-2（2021 广东）如下图，在三棱台ANC -中，BC BB , AB BB.,AB = BC = BB=2AiBi, D，分别为CG，44的中点，证明：。/平面AgC【答案】证明见解析【解析 1证明：取A4的中点/，连接。尸，EF,由三棱台的性质知四边形ACG4是梯形，因为歹是AA的中点，。是CG的中点.所以。尸AC,因为。尸二平面AC4 , ACu平面ACB,所以平面AB|C,因为是4局的中点，尸是A A的中点所以为石厂A片，因为功 2平面AC4，平面AC与，所以打平面4月。，又EFI DF = F ,所以平面。所平面AgC,因为

8、。u平面。石尸，所以。平面【一隅三反】（2021 玉林市第H一中学高三）如图，在四棱锥中，底面/的是直角梯形，AD! / BG P,。是AB,缪的中，点弘川分别是阳 的中点，求证：平面4肺/平面S6Z?sD【答案】证明见解析【解析】因为M、N分别是S3, CB的中点，所以肋VSC,1W（z面SCD, SCu面SCO,所以加V面SCD,又ADCN且AD = CN,所以AQCN为平行四边形，所以ANOC, ANa面SCD, DCu面SCD,所以AN面SCD,又AND的V = N, AN,MNu而AMN,所以面AMN面SC。；（2021 山西太原市）如图，在三棱锥PA5C中，ZXPAB是正三角形，G

9、是B4B的重心，D,E,H 分别是PA5cpe的中点，点尸在BC上，且BF = 3FC,求证：平面6H/平面汽运【解析】证明：连结8G,由题意可得8G与GO共线，且BG = 2GD,是8C的中点，5/=3方。，方是CE的中点，bg be：.=2, ：.GE/DF , GEi 平面 PGE； DFa 平面 PGE；DF/平面 PGE,GD EF； H是PC的中点、，,FH/PE ,。石u平面PG, 我0平面PGE；切/平面PG,DFCFH = E, Dbu平面。石尸，Ebu平面。石尸，平面。EH/平面PG；3.（2021 浙江高三）如下图，四棱锥S-ABCZ）中，底面A3C。是矩形，点民产分别为

10、AB, SO的中点，证明：直线跖/平面SBC【答案】证明见解析【解析】证明：过点作石G/S3交SA于点G.连接GF.因为石为AB中点，所以G为S4中点，所以GFV/A。，所以GFV/3C,所以G/平面SBC 同理可得，67/平面S8C所以平面GEFV/平面S5C,所以所/平面S3c.s4. （2021 陕西宝鸡市）如图，在四棱锥PABC。中，ABAD, BC/AD,AD = 2BC = 2PA = 2AB = 2, E、F、G分别为线段A。、DC、心的中点，证明: ACG.直线/平面【答案】证明见解析【解析】如图，连接C、EB, 与AC相交于点。，连接OG,因为3C/AD, ABAD,石为线段

11、AO的中点，AD = 2BC = 2AB,所以四边形ABCE为矩形，。为的中点，因为G为心的中点，所以OG为的中位线，OGI/PE,因为OGa平面庄户，PEu平面PEF,所以OG平面PEb,因为E、尸分别为线段4。、OC的中点，所以石尸AC,因为ACZ平面阳乙EFu平面PEF,所以AC/平面B即，因为OGu平面GAC, ACu平面GAC, ACCiOG = O9所以平面PEF/平面GAC,因为Pbu平面庄户，所以773/平面GAC.考点三线线平行【例31】（2021 全国高三）如图，在四面体ABCD中，E,尸分别为。C, AC的中点，过尸的平面 与BD, A3分别交于点G, ”.求证：EFHG

12、H【答案】（1）证明见解析；（2）35【解析】因为石，尸分别为。C, AC的中点，所以A。石尸，因为AD（Z平面及HG, EFu平面EFHG所以A。平面瓦HG又平面瓦HGc平面AHZ） = /G, AOu平面AB。所以 AD/GH ,所以 EF/GH.【例32（2020 重庆市凤鸣山中学高三月考（文）如图，在四棱锥SH4颇中，底面是菱形，N8M = 60。,A5A3为等边三角形，G是线段的上的一点，且SZ“平面G：求证：G为即的中点【答案】见解析【解析】证明：如图，连接3。交AC于点,那么为3。的中点，连接GE,SD/平面GAC,平面SO5n平面G4C = G, SQu平面S3。，：.SD/G

13、E,而E为8。的中点，G为S3的中点.【一隅三反】（2020 安徽）如图，四棱锥PABC。的底面是边长为8的正方形，点G. E. F. H分为是枝PB.AB. DC. PC上共面的四点，5C/平面阳汽证明：GH/EF【解析】: BCH平面GEFH,又? 3。u平面 胸且平面P5C D平面GEFH = GH, Z. BC/GH.又/ BCH 平面 GEFH,又3Cu 平面 四切且平面 A3c平面 GW = F, /. BCHEF, EF/GH.（2020 浙江高三）如图，AE_L平面A8C。，8/平面ADE, CF/AE,求证：AD/BC常见考法常见考法考点一线面平行【例1-1 （2021 黑龙

14、江佳木斯市）如图,正三棱柱/沅-484中是/。的中点，求证：5c平面4协【答案】证明见解析【解析】证明：（1）设四与4方相交于点R连接做 那么为眼中点，为力。中点，如为C,又.弘=平面4朋，6C a平面人切，4。平面4砌【例1-2（2021 合肥市第六中学）如图，在四棱锥A 5CDE中，底面3CQE为矩形，M为CD中点,连接石交于点RG为AABE的重心，证明：Gb平面ABC【答案】证明见解析【解析】依题意CF/AE,平面AEu平面AT）,，。尸平面AOE,又平面AD石，3/cCF = /，平面5CF/平面AOE,平面BCFc平面A5co = 4）,平面AO石D平面A3cD = BC, AD/3

15、C；（2021 江苏高三）如图，在四棱锥PA5CD中，四边形ABC。是正方形，A5 = 2Q4 = 4,点在棱Q4上，PC/平面BDE,求证：E为Q4的中点a【答案】证明见解析【解析】PC/平面BDE,平面3。石c平面PC4 = QE, PC2平面瓦汨，所以PC7/OE.因为四边形A3CO是正方形，30cAe =。，所以。是AC的中点.在ACP中，。是AC的中点，PCHOE,所以石为Q4的中点.考点四平行中的动点【例4】（2021 黑龙江哈尔滨市）直三棱柱A3C-4与所有棱长都为2,在边上是否存在一点E ,使AC1平面CEB,假设存在给出证明，假设不存在，说明理由【答案】存在，证明见解析【解析

16、】存在，石是的中点,直三棱柱ABC 4AC中，连接3G交于点0,如图:那么。为8G中点，连接。,而石为的中点，那么0Q/AC,又AG（Z平面CEA，Ou平面。石片, 所以AG 平面CEg；【一隅三反】（2021 河南高三）如下图，在三棱柱四C-43G中，平面/CG4平面A9C, M/IG D, 分别为AQ 4G的中点且48/4,在棱44上找一点版 使得/平面，并说明理由【答案】必与/重合时，R/面OB。，理由见解析【解析】当必与/重合时，DM/面胸,理由如下：,:DCAD,且四边形G处为平行四边形，：.DAH CD,因为GZt面劭G, :.DM/面DBG.（2021 贵州黔东南苗族侗族自治州）

17、如图，在三棱锥PA5C中，底面ABC, A6C是正三角形，石是棱的中点，如AE = 1,在平面尸AC内寻找一点尸使得B尸平面PC,并说明理由B【答案】答案见解析.【解析】延长AC至点G,使得AC = CG,延长AP至点，使得AP=PH,连接GH,在直线GH上 任取一点歹，那么点尸满足3户平面尸EC.理由如下：.石是线段A3的中点，。是线段AG的中点，CE是5G的中位线，3G。石，,二BG平面PEC.B同理HG 平面PEC,又5GnHG = G,平面平面尸石。，.Mu平面BG,.3/平面尸EC.（注：假设此题点方直接取H或G,理由充分，给6分）（2021 全国高三其他模拟）四棱柱A5CO A4G

18、2的底面是边长为2的菱形，且=平面ABC。，M =1, BE LCD于点、E,试问在线段4g上是否存在一点方，使得4方平面5EG?假设存在，求出点尸的位置；假设不存在，请说明理由;【解析】当/为线段4片的中点时，A/平面5G.下面给出证明: 取的中点G,连接EG, B】G ,那么/B/AG,且月耳=43Z所以四边形4G旦/为平行四边形，所以AfV/gG.因为BC = BO, BE LCD,所以石为CO的中点，又G 为 A3 的中点，ABHCD, AB = CD,所以 BG/CE,且 BG = CE,所以四边形3CEG为平行四边形，所以EG/BC,且EG = BC,又BCgC、, BC = B.

19、C,所以G4G，且EG = 4G，所以四边形为平行四边形,所以BGE,所以A/ GE,又AbZ平面BG，Gu平面BEG，所以A尸平面BEG，（2021 广东佛山市）在正三棱柱ABC AgG中，A8 = 2,AA =3,必N分别为ab, 8C的中点，为线段CG上一点.平面ABC1与平面ANQ的交线为人是否存在点使得GM/平面ANP?假设存在，请指出点尸的位置并证明；假设不存在，请说明理由【答案】存在，当CP = 2时，G尸平面ANP【解析】当CP = 2时，C/平面ANP证明如下：连接CA/交AN于点G,连接GP,CG CP 因为9=k=2,所以GM/GP 又GPu平面ANP, GM2平面ANP

20、 .C.M 平面AAP【答案】证明见解析EG【解析】延长G交于N,连接CN,因为G为八43的重心，那么N为A5的中点，且 =2,GNEF BEEF EG因为CM/BE,所以二=2,所以二=2,因此G尸NC,FC CMFC GN又因为G/z平面ABC, NCu平面ABC,所以Gf7/平面A5C；【例1.3（2021 全国高三其他模拟）在四棱锥PABCO中，底面ABCD为梯形，AB/CD,AB = 2CD = 2,假设。为AB的中点，求证：。平面P3C【答案】证明见解析【解析】证明：:在梯形A8CQ中，AB/CD, AB = 2CD = 2,。为AB的中点,所以3QCD且3。=。，.四边形3CDQ

21、为平行四边形，所以8Cu平面P5C, OQZ平面尸3C,所以。平面尸BC.【例1-4（2021 广东）如下图，四面体为回中，E,尸分别为/氏4。的中点，过砂作四面体的截面EFGH交PC于&G,交必于点证明：GV平面/为。【答案】见解析【解析】:E,6分别为/氏/C的中点，“阳又微平面PBC, BCu平面PBC,序平面PBC,? EFu 平面 EFGH,平面 EFGIIC 平面 PBOGH, ：. EF/ GH, 又加平面ABC, EFu平面ABC、：. GH/平面ABC;【一隅三反】L（2021 黑龙江哈尔滨市）如下图，在三棱柱A3CA4G中，。为AC的中点，求证：平面BC、D【答案】证明见解

22、析【解析】证明：如图，连接3c交8G于。，连接O。，.四边形BCC,四是平行四边形.点。为耳。的中点.。为AC的中点，.0。为VA8C的中位线，0OAg.0。（=平面8。，AB12平面BQ。，J Aq平面8G。.2.（2021 北京高三如图，在四棱锥PABCO中，底面ABC。是边长为2的正方形，PAB为正三角形，且侧面B43_L底面ABC。，M为PO的中点，求证： 依/平面ACMBB【答案】证明见解析【解析】证明：连接30,与AC交于。，在中,p。加分别为以）,尸。的中点,:.BP/OM,成平面4。石,0”3平面。170 ,班/平面C4M；（2021 黑龙江佳木斯市）如图，正三棱柱ABC-A4

23、G的底面边长是2,侧棱长是g,。是AC的 中点，求证：8c平面人啰。【答案】证明见解析【解析】设AA与4田相交于点那么。为Aq中点，连接P。，； D为 AC 中点，PD/BC ,又 PD 平面A8。，.B.CII平面A；（2020 安徽高三）如下图，在三棱柱ABC 4AG中，为棱4C的中点，求证：3G/平面【解析】证明：连接43交仍于点连接队那么为43的中点, 因为为棱4G的中点，所以勿/况:.因为DM c平面ABM, BQ（Z平面ARM,所以8G/平面也（2021 商丘市第一高级中学）如图，在直棱柱A3CO 4耳GR中，底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC的中点，当后为A。1的中点时，证明：EO平面【答案】证明见解析.【解析】证明：如图，连接石。，CDn: AE = EDAO = OC, C.OEHCD A.B/CD. ：. EO/A.B,. 43 u 平面 ABB.A, O.平面 ABB.A, EOH平面 ABB.A,6.（2021 福建省永春）如图，在三棱柱ABC AAG中，侧面ABga是菱形，是棱的中点，CA = CB,方在线段AC上，且A尸=2尸C,证明：。与平面4E/【答案】