学生在几何解题中的思维误区与中考复习

1、学生在几何解题中的思维误区与中考复习一、初中学生在逻辑推理中的思维误区学生的几何学习是以认识和发展平面几何知识为目的的一种思维活动，在这个过程中，学生将思维建立在几何概念和定理的基础上进行逻辑推理，然而推理的过程并不是一帆风顺的，学生解题过程中会暴露出思维上的误区，严重影响学生逻辑思维能力的健康发展几何的推理论证要求一环扣一环，步步有据但某些学生在进行几何证明时，由于逻辑思维往往不够缜密，致使他们的推理过程漏洞百出，归纳起来他们在进行逻辑推理的过程中，经常会出现以下几种思维上的误区（一）移花接木图（1）所谓“移花接木”指的是推导出的结论与条件不相符，它是根据学生的需要生拉硬拽得出的结论，这种错

2、误常常出现在全等三角形证明的过程中这种错误不是学生的有意行为，而是一种无意行为，是他们没有意识到自己在思维上的一个误区案例一、如图（1），已知在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BEAC于E，CFBD于F求证：BE=CF有个学生的解答是：在矩形ABCD中，AB=DCAC与BD是矩形ABCD的对角线，OA=OC，OB=ODAOBCODBAO=CDO又BEAC于E，CFBD于F，BEA=CFD在ABE与DCF中，BAO=CDO，BEA=CFD，AB=DC，ABEDCFBE=CF他在得到AOBCOD后，误认为A点与D点对应，B点与C点对应，从而得到BAO=CDO，在不知不觉中实行了移花接木，在他

3、的思维当中，他认为BAO=CDO是很自然、正确的，却没有认真思考这两个角是否是对应角笔者认为出现这种错误的原因固然与他的基础知识不扎实有关，同时也与他的嘻嘻哈哈、不注重细节的性格有关 （二）无中生有“无中生有”指的是学生在答题的过程中，常常根据答题的需要，自己杜撰定理或条件有些学生将看起来成立的但未经证明的结论或者某些定理的逆命题理所当然地认为是定理，而不假思索地应用到证明当中，有时也会根据图形的形状以及自己的需要杜撰条件案例二、如图（2），在四边形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E，求证：四边形AECD是菱形某些学生的证明过程是：连结ED交AC于点F，图（2）ABCD，

4、CEAD，四边形ADCE是平行四边形，AC与ED互相平分，AF为DE的中线，又AC为BAD的平分线，ADE是等腰三角形，AD=AE，ADCE是菱形证明过程中，他们理所当然地认为“等腰三角形的三线合一”会有一个逆定理，即：如果三角形中一个角的角平分线是对边的中线，则这个三角形是等腰三角形基于这个考虑，她认为AF既是ED的中线又是顶角的平分线，所以ADE是等腰三角形，在这里，这些同学不由自主地犯了杜撰定理的错误（三）望“图”生义望“图”生义就是学生根据图形主观认定某个数学对象的存在，主要表现在习题的已知条件中并不存在的数学对象，而在图形中看起来象存在这种数学对象，而证明过程中恰好又可以使用，于是就

5、顺理成章地被学生拿过来作为条件或结论加以使用案例三、如图（3），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上的一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG，连接GD，求证：ADGABE图（3）相当多学生的证明是：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，AB=AD，AE=AG且ABE=ADC=90，ADG=90，GDA与ABE都是直角三角形在RtADG与RtABE中， AE=AG ，AB=ADADGABE（HL）在这里，他们没有注意到题中的“连接GD”的含义意谓着C、D、G三点可能不在同一直线上，这些学生仅是根据图形的形状就主观臆测得出ADG=90，因而错误地运用“HL

6、”定理证明了ADGABE （四）“思”无反顾“思”无反顾指的某些学生善于从正面入手解题，但不善于使用逆向思维进行逻辑分析逻辑思维具有多向性，它不仅可以正向思维，也可以逆向思维在证明题中，如果从条件出发很难直接得到结论，我们可以采用逆向思维，从结论出发，采取倒推的方法，逐步分析在存在性探索题中，如果要探索的这个数学对象凭直觉无法猜出，也可以先假设这个数学对象已经存在，同样地从结论出发，采用逆向思维向上回溯，逐步分析，最后得出所需要的数学对象由于这类题要求的思维度比较高、难度较大，不善于使用逆向思维方法进行思考的同学往往会感到束手无策图（4）案例四、如图（4），将一张矩形纸片ABCD（ADAB）折

7、叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由某女生在解答这道题时，在尝试着猜测几个特殊点无果以后，认为AC上不存在这样的P点老师提示她，能否采用逆向思维进行分析，先假设这个P点已经找到，再将2AE2=ACAP中的数学“2”化去，然后化为比例式再求解她顺着这条思路将2AE2=ACAP转化为AE2=OAAP，再化为，她发现，AE与OA分别是RtAOE的斜边与直角边，对应地，AP、AE也应分别为RtAEP的斜边、直角边，因此，只要过E点作AD的

8、垂线交AC于一点，这点就是要寻找的P点，问题迎刃而解仔细分析这位女生的思维轨迹不难发现，她还没有形成较系统的逆向思维的意识与习惯，因此，她只会采用正向思考并猜测的方法来解题，当要找到的点不是已知的几个特殊点之外，其结果可想而知在几何学习过程中，某些学生除了上述思维上的误区以外，还存在着：证明过程中的“因为、所以”的上下语句之间不存在因果关系，滥用同理可证等一些似是而非的证明，稍不留神，就有可能被这个证明蒙混过关，给他将来的学习埋下隐患二、学生在数学思想方法的使用中的思维误区（一）不能正确使用分类讨论的数学思想分类讨论的思想方法是人们认识客观世界过程中长期积累形成的一种策略思想在数学中，我们常常

9、需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况进行讨论这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略1在运用分类讨论思想时，学生经常出现的问题有：（1）对于某些应该讨论的问题，因思维不严谨，发现不了可能出现的不同情况，想不到需要讨论；（2）发现需要讨论的问题时，划分情况又难以做到不重不漏；（3）不善安排讨论时机案例五、潘婧昳同学是一个心无城府、性格豪爽的女生，做事风风火火，但完成的质量不够精细，作业本上书写的文字也颇具男生特点，被同学戏称为“山东大汉”例5、 如图（3），ABBC，CDBC，AB=2，CD=3，BC=7，在直线BC上求一点M，使ABMDCM 图（3） 图（4）她的

10、解答是：如图（4），点M是线段BC上的一点，设BM= x，则MC=7xABMDCM，解得x=.所以当BM=cm时，点M为满足条件的点在解答这道题时，她没有认真思考，只注意到点M在线段BC上，而忽视了题设条件中提到的点M是直线BC上的点，所以点M还可以在线段CB的延长线上在老师的提示下，她意识到应该进行分类讨论她将该题分成“点M在线段BC上与点M在BC的延长线上”这两种情况进行了讨论，从而得到了当点M在线段BC上且BM=cm或点M在CB的延长线且BM=14cm时，点M为满足条件的点这一正确结论但通过这道题并没有真正解决她在分类讨论中存在的问题，有了分类的意识，并不意味着她就一定会进行分类讨论例6

11、、如图（5），在平面直角坐标系中，等腰梯形的四个顶点坐标分别为，试在第一象限内确定一点，使与相似，求出点的坐标图（5）在解答中，她意识到象这种找一个点使两个三角形相似的习题应该进行分类讨论首先她直观感觉到点C是要找的第一个M点，然后过B点作x轴的垂线，可以找到第二个M点，她的具体解答如下：，OA=4，AOB=60又四边形是等腰梯形，BC=OA=4，CBO=AOB=60连结OC，OB=BO，COBABO，点C是第一个要找的M1（6，2）如图（6），过B点作x轴的垂线交OA的延长线于M，MBO=90BC=4，AC=4，AC=BC，CAB=CBA图（6）ACOB，CAB=ABO，CBA=ABO又AO

12、B=CBO=60，ABO=30 ，OAB=90 AOB=BOM，OAB=MBO，MOBBOA，BM=OBtan60=M2（8，）综上所述，在第一象限内存在点M（6，2）或M（8，），使与相似在解题过程中，她遗漏了第三种情况：M还可以是过B点的垂线与OC的延长线的交点，究其原因，她只知道此题要进行分类讨论，但具体怎样进行分类讨论，讨论的标准是什么，她不得而知，只是机械地跟着感觉走如果她按照相似的分类标准即根据对应点的不同进行分类，她可以发现共有6种不同的情况：MOBAOB，MOBBAO，MOBOAB，MOBABO，MOBBOA，MOBOBA其中第种的M与A重合，第种的点M在y轴上，均不合题意，应

13、舍去第种分别是已经求出的M1与M2，剩下的第种中的最后一个点M（8，）就不会被遗漏从这里我们可以看出，学生头脑中分类讨论概念的形成不是一蹴而就的，因此在教学中，我们应当逐步给学生渗透分类讨论的意识，在渗透分类讨论思想的过程中，首要的是分类教师要培养学生分类的意识，然后才能引导学生在分类的基础上进行讨论在讨论中要坚持互斥、不漏、最简的原则，具体就是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行 （二）不能有效地借助类比思维方法类比思维是根据两个对象在一系列属性上相同或相似，由其中一个对象具有某种属性推测出另一个对象也具有这种属性的思维方法3在数学上，它是

14、一种非常重要的思想方法很多探索题的解答如果能借助类比思维方法，就能起到触类旁通的作用由于类比思维对学生的要求比较高，不少学生面对这种习题会选择放弃，也有些学生会跃跃欲试，但由于不能有效地借助类比思维的方法进行分析，往往会功亏一篑案例六、邹骏程同学的思维比较活跃，喜欢挑战一些有难度的试题，但由于他自制力比较差，控制不住自己思维的信马由缰，在挑战难题时，经常会因为思维上的偏差、并且不善于借助类比思维的方法而前功尽弃例7、如图（9），在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是DB、EC的中点（1）易证：AFGABC，其相似比为： ；（2）若AB=AC，将ADE绕A点顺时针方向旋转到如图（

15、10）的位置，判断AFG的形状，并证明！（3）若ABAC，将ADE绕A点顺时针方向旋转到如图（11）的位置，AFG与ABC有什么关系？说明理由！ 图（9） 图（10） 图（11）他在顺利解答出前两问之后，在解答第（3）问时卡壳了，他也试图类比第（2）问的解法来解决第（3）问，但在第（2）问中，由于AB=AC，AD=AE可以证明ABDACE，从而得到AF=AG而第（3）问显然要复杂得多，由于ABAC，因此ADAE，因而不可能得到ABD与ACE全等他只想到用类比的方法证明全等，却没有想到相似三角形判定定理其实是类比全等三角形的判定定理得到的，此题也可以类比第（2）问中全等的证明，得到第（3）问AB

16、D与ACE相似，证明方法也同样可以类比，第（2）问是用SAS证明ABDACE，第（3）问可用“两边对应成比例夹角相等”类比证明ABDACE类比思维的教学应从简单的类比入手，如：首先从结论与证明过程可以完全类比得出的习题着手，然后逐步过渡到结论可以完全类比得出，但证明过程有所差异，最后过渡到结论与证明过程可以部分类比得出，但差异逐步加大，只有在完成了一定量的类比思维练习以后，学生才会逐渐掌握这种类比思维的方法，摸到其中的脉络，提高解题能力，使自己的思维能力更上一个台阶三、中考复习由于学生思维不可能是统一的，他们对同一道证明题给出的证法是多种多样的，其中不乏错误的做法，但这些错误是真实美丽的，可遇

17、而不可求的，这就要求我们教师及时捕捉一些有用的信息，顺势利导，将这些信息转化为教学资源。针对这些思维误区，我准备在中考复习中采用了以下几个步骤进行矫治：1、辨：将学生做的几种不同的证法全部展示在全体学生面前，其中的错误证法可能不只一种，由学生自己仔细辨别这些证法，给其中的错误证法进行纠错，这种做法可以提高学生的兴趣，也可以提高学生的辨别正误的能力培养学生具有一双慧眼，远比老师在辛辛苦苦地讲授，学生昏昏欲睡地被动接受的效果好得多当然，在辨别纠错的过程中，学生难免有误判，这就给了我们进行下一步的契机2、辩：俗话说：“理不辩不明”很多学生知道某些几何题的证法是错误的，但只知其然却不知其所以然，他们并

18、没有从思想深处真正理解逻辑推理的思想方法因此，有必要让学生参与到辩论当中来，采用的形式可以是学生与学生进行辩论，也可以是老师与学生进行辩论。在辩论的过程中，让学生在思维的碰撞中产生思想火花，产生解题的灵感，达到“理越辩越明”的目的，同时也可以进一步培养学生的逻辑思维能力，锻炼学生的口头表达能力3、变：在完成上述两个步骤之后，可以让多数同学明白逻辑推理中可能存在哪些误区，使得他们免去误入歧途的危险但这一招还不足以使所有的学生都能顺利地掌握逻辑推理的精髓，需要反复训练，由此可以采用第三个步骤“变”教师可准备多道变式练习，这些习题或者是改变了原题的条件，或者是改变了原题的结论，或者是改变了题型，如将证明题改编成开放题或改编成计算题或改编成探索题，总之，要让学生在“变”的过程中领略到几何证明题并不是一成不变的，它可以有多种变换形式，“变”可以起到举一反三、融会贯通的作用，它对学生所学知识的掌握，技能的发展，分析问题、解决问题能力的提高，起着举足轻重的作用4、遍：所谓“遍”指的是遍访每一个学生，找出所有在经历上述三个步骤之后依然存在各种不同思维误区的学生临时组成一个学习小组，