期权定价课件资料

1、7 期权定价教学目的学习期权价格的基本属性各种影响期权价值的因素看涨和看跌期权的平价关系掌握B-S微分方程的基本原理、BS期权定价的基本原理及其定价公式。理解二叉树期权定价原理，初步掌握其定价方法。 2期权定价教学内容期权价格的特性内在价值与时间价值期权价格的影响因素期权价格的上下限期权价格曲线的形状看涨期权与看跌期权之间的平价关系B-S微分方程风险中性定价BS期权定价公式二叉树期权定价模型单步二叉树模型多步二叉树模型连续红利率资产期权的二叉树定价模型3期权定价1 期权价格的特性 一、内在价值和时间价值期权价值构成：内在价值+时间价值期权的内在价值：指多方行使期权时可获得的收益的现值内在价值给

2、出期权总价值的底线，期权价值可比其内在价值更大4期权定价期权的内在价值欧式看涨期权无收益情形：St-X e-r(T-t)有收益情形：St-D-Xe-r(T-t)欧式看跌期权无收益情形：X e-r(T-t)-St有收益情形：X e-r(T-t)+D-St 美式看涨期权无收益情形：St-X e-r(T-t)（提前执行不明智，欧式=美式）有收益情形：St-D-Xe-r(T-t)美式看跌期权无收益情形：X-St（可能提前执行）有收益情形：X+D-St5期权定价时间价值的含义 期权的时间价值（Time Value）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。也就是说，时间

3、价值是期权获利潜力的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。期权的时间价值6期权定价 此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。 以无收益资产看涨期权为例，当St=X e-r(T-t)时（内在价值为0），期权的时间价值最大当|St-X e-r(T-t)|增大时，期权的时间价值是递减的，如下图Xe-r(T-t)时间价值St 图 无收益资产欧式看涨期权时间价值与St-X e-r(T-t)的关系 7期权定价时间价值最大点：欧式看涨期权价值无收益情形：在St= Xe-r(T-t) 点最大有收益情形：在St=D+ Xe-r(T-t) 点最大欧式看跌期权无收益情形：在St= Xe-r

4、(T-t) 点最大有收益情形：在St=Xe-r(T-t)+D点最大欧式看涨期权价值无收益情形：在St= Xe-r(T-t) 点最大有收益情形：在St=D+ Xe-r(T-t) 点最大美式看跌期权无收益情形：在St= X 点最大有收益情形：在St= X-D 点最大8期权定价关于该图的几点理解当期权处于平价状态的时候，标的资产无论如何波动也不可能使期权的多头有进一步的损失（不执行期权），但是却可能给期权多头带来巨大的收益，所以，此时波动对于期权多头来说，只有利没有弊；如果期权处于深度虚值状态，标的资产的价格变化到足以使期权变为实值的潜力几乎没有，人们将不愿意为时间价值支付更多；如果处于深度实值状态

5、，由于内在价值相当大，时间价所代表的获利潜力同时也意味着可能使得既得得利益减少甚至消失，所以此时人们也对时间价值的支付意愿也会下降。这样，由两边向中间递增，当期权处于平价状态时，时间价值最大。在实值状态下，越是接近平价的期权，将来标的资产价格来的损失越小，因而未来潜力越大，时间价值越大。在虚值状态下，越是接近平价的期权，未来标的资产得上升所带来的收益越大，因而时间价值越大 9期权定价二、期权价格的影响因素影响期权价值的因素标的资产价格执行价格标的资产的波动率有效期无风险利率标的资产的收益10期权定价标的资产的市场价格与期权的执行价格就看涨期权，标的资产的价格、协议价格，看涨期权的价格就看跌期权

6、，标的资产的价格 、协议价格 ，看跌期权的价格11期权定价 期权的有效期美式期权：有效期越长，期权价格越高由于它可以在有效期内任何时间执行有效期越长，多头获利机会就越大有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会欧式期权:有效期与期权价格之间的关系较为复杂 只能在期末执行有效期长的期权不一定包含有效期短的期权的所有执行机会12期权定价例如，同一个股票的两个欧式看涨期权，一个有效期为1个月，另一个为2个月，假定6周后标的股票将有大量的红利支付，显然此时，有效期短的期权价格高于有效期长的期权。但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏

7、损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值为正值。13期权定价标的资产的波动率 标的资产的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高标的资产的收益由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产的收益将使看涨期权价格，而使看跌期权价格14期权定价无风险利率无风险利率上升标的资产的预期收益率增加；利率上升将提高贴现率，降低未来收益（执行期权后的

8、收益）的现值，使得期权费下降对于买权来说，前一种作用是有利的，后一种作用是不利的。一般地，前者作用大，利率越高，买权的价值越高。对于卖权来说，这两种作用都是不利的，因此，利率越高，卖权的价值越低。15期权定价三、期权价格的上、下限 上限看涨期权：期权价格上限看跌期权欧式：美式：否则套利：买入标的资产并卖出看涨期权16期权定价欧式看涨期权价格的下限资产无收益情形考虑两组合：组合A：一份欧式看涨期权+金额为Xe-r(T-t)的现金组合B：一单位标的资产资产有收益情形将组合A现金改为D+Xe-r(T-t)17期权定价欧式看跌期权价格的下限 资产无收益情形考虑两组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位

9、标的资产组合D：金额为Xe-r(T-t)的现金资产有收益情形将组合D现金改为D+Xe-r(T-t) 结论：欧式期权下限-内在价值18期权定价无收益美式看涨期权价格的下限现金产生收益提前执行所得资产无收益美式期权的时间价值0提前执行不明智直观判断19期权定价考虑如下两个组合：组合A：一份美式看涨期权加上金额为Xe-r(T-t) 的现金组合B：一单位标的资产情形一：不提前执行组合A价值max(ST，X)组合B价值STBAAB20期权定价情形二：在 时刻提前执行组合A价值组合B价值SBAAB21期权定价比较两种情况可得：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的同一种无收益标的资产美式看涨和欧式看涨期

10、权价值相同：22期权定价有收益美式看涨期权价格的下限可能提前执行现金收益派生利息获得现金收益提前执行获得资产23期权定价有收益美式看涨期权价格的下限假设期权到期前，标的资产有n个除权日除权前的瞬时时刻：t1，t2，tn这些时刻之后的收益：D1，D2，Dn这些时刻的标的资产价格：S1，S2，Sn 提前执行时间无收益情况不应提前执行美式看涨期权有收益情况只有在除权前瞬时时刻提前执行方可能最优只需推导每个除权日前提前执行的可能性24期权定价tn时刻提前执行 多方收益：Sn-X不提前执行资产价格因除权降至：Sn-Dn tn时刻期权价值Cntn时刻不提前执行条件：只有当ti时刻收益足够大时，才有可能提前

11、执行不提前执行条件ti时刻不能提前执行条件：同理25期权定价由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为： 26期权定价无收益美式看跌期权价格的下限不提前执行：组合A价值max(X，ST) 组合B价值X 时刻提前执行： 组合A的价值X 组合B的价值提前执行影响因素提前执行无风险 利率实值额X-S考虑两个组合组合A：一份美式看跌期权多头加上一单位标的资产组合B：金额为Xe-r(T-t)的现金有可能提前执行27期权定价美式看跌期权价格的下限无收益情形有收益情形28期权定价欧式美式看涨看跌看涨看跌标的资产无收益标的资产有收益标的资产无收益标的资产有收益标

12、的资产无收益标的资产有收益标的资产无收益标的资产有收益上限 S SSSXX下限 总结29期权定价设某一无红利支付股票的现货价格为30元，连续复利无风险年利率为6%，求该股票协议价格为27元，有效期3个月的看涨期权价格的下限。解：看涨期权价格下限为： =30-27e-0.060.25=3.40元 例30期权定价 上限：St，下限： (期权的内在价值) 当St0和，时间价值 0，看涨期权价值 0和StXe-r(T-t)。特别地，当St=0，C=c=0 当内在价值=0，期权价格=时间价值 时间价值在St=Xe-r(T-t)时最大四、期权价格曲线的形状 无收益看涨期权价格曲线期权价格上限 (C=c=S

13、t) 看涨期权价格曲线 期权价格下限(C=c=max(St-X e-r(T-t), 0)时间价值虚值期权 平价期权 实值期权 (StX e-r(T-t) 看涨期权价格有收益资产看涨期权价格曲线与无收益类似，只需把下限中X e-r(T-t)换成Xe-r(T-t)+DSt31期权定价欧式看跌期权价格 期权价格下限(C=c=max(S-X e-r(T-t),0)上限时间价值0 st欧式看跌期权价格曲线X e-r(T-t) X e-r(T-t) 上限为 下限为 当St0和时，期权价格 和0。 特别地，当S=0时，有收益资产价格曲线与该图相似，只需把下限中Xe-r(T-t)换为D+ Xe-r(T-t)无

14、收益欧式看跌期权价格曲线32期权定价美式看跌期权价格期权价格下限max（X-St ,0）时间价值上限X美式看跌期权价格曲线StX0 上限：X，下限：XSt 当St足够低，提前执行明智，期权价值为XSt当St较小，曲线与下限 当St=X，期权时间价值最大 其它情况与欧式看跌类似有收益美式看跌期权价格曲线与该图相似，只需把下限中X换成D+X 无收益美式看跌期权价格曲线33期权定价五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系 卖权价格买权价格联系34期权定价欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系无收益情形考虑两个组合：组合A：一份欧式看涨期权+金额为Xe-r(T-t)的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期

15、权相同的欧式看跌期权+一单位标的资产有收益情形组合A中现金改为D+ Xe-r(T-t)35期权定价某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧式看跌期权价格等于多少？解：看跌期权价格为： p=c+Xe-r(T-t)+D-St =2+25e-0.50.08+0.5e-0.16670.08+0.5e-0.41670.08-24 =3.00元例36期权定价用看涨看跌期权平价证明用欧式看跌期权创造蝶式差价组合的成本等于用欧式看涨期权

16、创造蝶式差价组合的成本。证明： 符号 c1、c2、c3：协议价格X1、X2和X3的欧式看涨价格 p1、p2、p3：协议价格为X1、X2和X3的欧式看跌价格 例欧式看涨看跌期权平价公式:c1+X1e-r(T-t)=p1+Stc2+X2e-r(T-t) =p2+Stc3+X3e-r(T-t) =p3+Stc1+c3-2c2+(X1+X3-2X2)e-r(T-t) =p1+p3-2p2c1+c3-2c2=p1+p3-2p2X1+X3=2X237期权定价美式看涨期权和看跌期权之间的关系无收益情形Ppc=C38期权定价不提前执行： 组合A价值max(ST,X)+ Xer(T-t)-X 组合B价值max(

17、X，ST) 时刻提前执行： 组合A的价值Xer( -t) +c 组合B的价值Xt时刻组合A价值组合B价值为推导C和P更严密关系，考虑两组合：组合A：一份欧式看涨期权+X现金组合B：一份美式看跌期权+一单位标的资产39期权定价有收益情形组合A现金改为D+X欧式期权平价关系40期权定价软件演示看涨期权-看跌期权平价关系的演示 41期权定价2 BS微分方程 假设股价过程为几何布朗运动卖空无限制不存在套利机会证券可以连续交易没有交易成本、税收，证券是无限可分的衍生工具在到期之前不产生红利所有期限的无风险利率同为常数42期权定价BS微分方程 推导标的资产价格过程几何布朗运动布朗运动（Brownian M

18、otion）起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述 43期权定价几何布朗运动的深入理解投资者感兴趣的是独立于价格的收益率（非股价S）。投资者期望股价以一定的增长率（非绝对价格） 需用百分比收益率代替绝对股价（几何布朗运动离散形式）。 几何布朗运动最终隐含股价的连续复利收益率(而非百分比收益率)正态分布股价对数正态分布，较符合现实44期权定价f ：衍生工具价值，则它是标的资产与时间的函数离散形式随机部分w相同适当组合可被消除组合：单位衍生工具空头+ 份的标的资产多头45期权定价组合价值：组合价值变化量：不含随机性瞬时无风险(t小，单利)BS微分方程46期权定价标的资产衍生工具都

19、满足BS方程，不同工具的差异体现在边界条件上欧式买权：当t=T时，f=max(ST-X,0)欧式卖权：当t=T时，f=max(X-ST,0)只要标的资产价格服从几何布朗运动，都可采用BS方程求fBS方程任何解f 都是某种可交易衍生工具的理论价格，并且其交易不会导致套利机会如果某衍生工具价格f 不满足BS方程，那么其交易必导致套利机会47期权定价BS微分方程 应用远期价格满足BS方程48期权定价f 只与St、t、r有关 St、t、r均客观变量可采用风险中性定价法对衍生工具定价投资者风险偏好不影响f49期权定价3 风险中性定价在风险中性世界，所有证券的期望收益率都等于无风险利率风险中性定价的一般程

20、序假设标的资产的期望收益率等于无风险利率计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff)把期望支付按无风险利率贴现风险中性定价是求解BS方程的一种人造方法，用该方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性投资者)50期权定价应用于远期边界条件：fT=ST-K根据风险中性定价原则，51期权定价4 BS期权定价公式 意义期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年 金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公司负债”

21、的著名论文该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法M. Scholes主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖。F. Black于1995年逝世，享年57岁，与诺奖擦肩而过52期权定价轶事巧合的是，芝加哥期权交易所于1973年4月26日挂牌营业，略早于BS公式的正式发表(5-6月号)F. Black和M. Scholes于1969年开始期权定价研究，当时F. Black是波士顿的独立咨询师，M. Scholes是MI

22、T的助教，初稿写成于1970年最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：金融太多，经济学太少他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝1971年，在芝加哥大学教授E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑打了招呼以后，JPE 才接受了这篇论文这一番波折导致他们检验BS公式的论文发表在先53期权定价BS期权定价公式假设注：公式中、r均以年为单位定价方法：风险中性定价法54期权定价BS期权定价公式的直观解释N (d1)：对冲一份买权所需标的资产数量Delta对冲的系数N (d2)：期权被执行的风险中性概率用二叉树模型比较好理解

23、BS公式欧式买权价值等于标的资产价格Delta对冲系数执行价格的现值期权被执行的风险中性概率55期权定价固定收益资产欧式看涨和看跌期权价格： St-D St支付连续复利收益率q （单位为年）资产的欧式看涨和看跌期权价格 Ste-q(T-t) St有收益资产的欧式期权BS定价公式代替代替56期权定价美式看跌期权的适用性美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平价关系，因此一般通过数值方法来求美式看跌期权的价值。 57期权定价假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何

24、布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。解：英镑会产生无风险收益查表：c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分例58期权定价假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。解：看该期权是否应提前执行。不能提前执行条件：由于D1=D2=1.0元，则对第一次除权日，有对第2次除权日，有例59期权定价比较1年期和11个月期欧式看

25、涨期权价格。对于1年期欧式看涨期权来说，红利现值为： St=50-1.8716=48.1284N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224代入BS公式60期权定价对于11个月期的欧式看涨期权，红利现值为：St=49.0408元 由于c11c12，因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元 代入BS公式61期权定价BS定价公式的实证研究精度问题：比较期权的BS理论值与市场价格实证研究显示：BS定价公式倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格改变波动率的估计方式会提高BS定价公式在预测实际价格时的表现62期权定价差异存在原因：计算错误期权

26、市场价格偏离均衡使用错误参数公式建立在众多假定基础上63期权定价软件实现计算以下无股息股票的欧式看涨期权的价格，其中股票价格为52美元，执行价格为50美元，无风险利率为年率12%，波动率为年波动率30%，有效期为3个月。64期权定价5 二叉树期权定价模型二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出，为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简单和直观的方法二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式期权和奇异期权）定价模型的基本手段对于所有不能给出解析式的期权，都可以通过二叉树模型给出65期权定价一、单步二叉树模型 实质：用大

27、量离散的小幅度二值运动模拟资产价格的连续运动期权有效期分为很多很小时间间隔t，并假设在每个间隔内证券价格只有两种运动的可能：66期权定价基于单步二叉树模型的期权定价 风险中性法风险中性世界里，参数值满足假设资产价格几何布朗运动在t内资产价格变化方差=S22t 。结合方差定义EQ2-EQ2 67期权定价二、多步二叉树模型 资产价格的树型结构n期：若将定价日到到期日的时间进一步细分为n个阶段，则标的资产在到期日的状态可能取值为n1个若n，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用两状态的二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程数学意义：用无穷期的二叉树模型来逼近一个标的资产价格连续变化的期权定

28、价模型思路：推导出n期的二叉树模型，然后令n趋于无穷 SuSu2 Su3SSSuSu2 Su4SSdSd3 SdSd2 Sd2 Sd468期权定价多期模型期权的定价思路：倒推定价法从当前时刻，由S0，u，d向前推算，得到标的股票在第1,2,n各期的取值。这样建立标的股票的状态数，它反映了股价的变化路径根据第n期的股价（估计值）求出期权相应的价值从第n期起，循着状态树逆向递推，分别计算前期的期权可能值，直到当前时刻对美式期权，需在每个结点处进行比较该结点提前执行时期权的回报 VS 不提前执行时后一结点期权价值到该点的贴现值取较大者作为该结点的期权价值69期权定价假设标的资产为不付红利股票,其当前

29、市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值计算过程：为构造二叉树，把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可算出：例70期权定价美式看跌期权二叉树X5089.070.0079.350.0070.7070.700.000.0062.9962.990.640.0056.1256.1256.122.161.300.0050.0050.0050.004.493.772.6644.5544.5544.556.966.385.4539.6939.6910.3610.3135.3635.3614.6414.6

30、431.5018.5028.0721.9371期权定价三、连续红利率资产期权的二叉树定价模型 标的资产支付连续收益率为q的红利风险中性条件下，资产价格增长率=r-q、d表达式仍然适用72期权定价期权定价模型前沿介绍蒙特卡洛模拟定价法Bootstrap定价法复合实物期权法73期权定价四、软件实现一个两个月期基于某股票指数的美式看涨期权，执行价格为500，目前指数为495，无风险利率为年率10，指数红利率为每年4，波动率为每年25。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图，为期权定价。一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10，波动率为每年30，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。 74期权定价本章小结期