广义Jacobi_Fourier_省略_Fourier_Mellin变换

1、分类号： 单位代码： 10300密级: 学 号：20161222431务球a氛/弑顶孝硕士学位论文广义 Jacobi-Fourier 矩及拟 Fourier-Mellin 变换Generic Jacobi -Fourier moment and quasi Fourier-Mellin transform申请人姓名：_卢政大指导教师：杨建伟教授专业名称：一数学研究方向：_模式识别与图像处理所在学院：一数学与统计学院二。一九年五月独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 本论文除了文中特别加以标注和致谢的内容外，不包含其他人或其他机构已经发表或撰 写过的

2、研究成果，也不包含为获得南京信息工程大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示谢意。关于论文使用授权的说明南京信息工程大学、国家图书馆、中国学术期刊（光盘版）杂志社、中国科学技术信 息研究所的中国学位论文全文数据库有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子 文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，并通过网络向社会提供信息服务。 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布（包括刊登）论文的全部或部分内容。论文的公布（包括刊登） 授权南京信息工程大学研究生院办理。口公开 口保密

3、（年月）（保密的学位论文在解密后应遵守此协议）学位论文作者签名：I 击依签字日期： &陷 /目录 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 摘要I HYPERLINK l bookmark11 o Current Document AbstractII HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 第1章引言11.1研究目的及意义11.2国内外研究现状11.3本文的主要工作3 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 第 2 章 广义 Jacobi

4、-Fourier 矩5 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 2.1引言5 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 传统 Jacobi-Fourier 矩6 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 广义 Jacobi-Fourier 矩62.4实验结果92.5本章小结13 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 第 3 章拟 Fourier-Mellin 变换15 HYPERLINK l bookmark40 o Cu

5、rrent Document 3.1引言15 HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 拟 Fourier-Mellin 变换19 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 拟 Fourier-Mellin 描绘子233.4实验结果293.5本章小结37 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 第4章结论与展望394.1结论394.2展望39 HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 参考文献41 HYPERLINK l bo

6、okmark136 o Current Document 致谢45 HYPERLINK l bookmark139 o Current Document 作者简介46摘要不变特征提取是模式识别的重要内容，在实际应用和理论研究方面都有重要意义。 尽管Jacobi-Fourier正交矩具有许多优良性能，但其抗噪性能和重构性能有待进一步改 善；另一方面，传统Fourier-Mellin变换仅能用于相似不变特征的提取，无法提取一般的 仿射不变特征。为此本文考虑改进传统的Jacobi-Fourier矩和Fourier-Mellin变换。主要 工作包括：提出广义Jacobi-Fourier矩。图像正交矩具

7、有数值稳定和方便重构等特点，而Jacobi- Fourier 矩是传统正交矩的推广，正交Fourier-Mellin矩、Zemike矩等都是其特例，但是 传统Jacobi-Fourier矩定义中的径向函数仅是整数阶多项式。本文将传统Jacobi-Fourier 矩定义中的径向函数推广为更一般的函数，提出了广义Jacobi-Fourier矩，传统Jacobi- Fourier 矩仅是这种构造的特例。实验结果表明，广义Jacobi-Fourier矩在选取适当参数 的条件下具有更强的抗噪性能和重构性能。提出拟Fourier-Mellin变换以提取仿射不变特征。传统Fourier-Mellin变换对噪

8、声鲁 棒性强且对伸缩和旋转不变，因此该变换已广泛应用于许多领域。然而旋转和伸缩仅是 相似变换的特征，仿射变换可更合理地近似同一目标在不同视角下的变化，本文考虑改 造传统Fourier-Mellin变换以提取仿射不变特征。为消除仿射变换中斜切的影响，构造 了两个因子并将它们嵌入Fourier-Mellin变换，提出拟Fourier-Mellin变换。所构造因子 等效于传统的白化变换，这些因子可消除仿射变换中的斜切但无需繁琐的计算。基于拟 Fourier-Mellin变换构造了拟Fourier-Mellin描绘子，该描绘子可直接提取图像的仿射不 变特征。实验结果验证了拟Fourier-Mellin

9、描绘子是仿射不变的，并具有对噪声的鲁棒 性强和计算量小等特点。关键词：不变特征，仿射变换，矩方法，Jacobi-Fourier矩，Fourier-Mellin变换AbstractThe invariant feature extraction is an important part of pattern recognition, which is of great significance in practical application and theoretical research. Although Jacobi-Fourier orthogonal moment has many

10、excellent perfbnnances, but the robustness to noise and reconstruction performance of it need to be further improved; On the other hand, the traditional Fourier-Mellin transform can only be used to extract similar invariant features rather than general affine invariant features. Therefore, the tradi

11、tional Jacobi-Fourier moment and Fourier- Mellin transfonn are improved to extract invariant features. The main contributions include:The generic Jacobi-Fourier is proposed. Orthogonal moments of image have the properties of numerical stability and convenient to reconstruction, while Jacobi-Fourier

12、moment is the generation of traditional orthogonal moments. Orthogonal Fourier-Mellin moment and Zemike moment are the special case of Jacobi-Fourier moment. However, the radial function in traditional Jacobi-Fourier moment is only integer order polynomial. In this paper, the radial function in trad

13、itional Jacobi-Fourier moment is extended to general function so that the generic Jacobi-Fourier moment is proposed which includes the traditional Jacobi-Fourier moment. The experimental results show that the generic Jacobi-Fourier moment is more robust to noise and has better performance of reconst

14、ruction under the condition of selecting appropriate parameters.The quasi Fourier-Mellin transform is proposed to extract the affine invariants. Traditional Fourier-Mellin transform is robust to noise and invariant to scaling and rotation so that it has been widely used in many fields. Whereas rotat

15、ion and scaling are only features of similar transformation. Images of the same object taken from different viewpoints often sutler from geometric distortions. Aifine transform is a reasonable approximation for these distortions. In this paper, we consider modifying the traditional Fourier-Mellin tr

16、ansform to extract affine invariant features. To eliminate the shearing in affine transfomi, two factors are proposed and embedded into Fourier-Mellin transform. The quasi Fourier-Me 11 in transform is proposed. The factors are equivalent to the traditional whitening transformation, which can elimin

17、ate the shearing in affine transformation without tedious calculation. Furthermore, the quasi Fourier- Mellin descriptor is proposed based on quasi Fourier-Mellin transform. The descriptor can be used to extract affine invariants of images directly. The experimental results verify that quasi Fourier

18、-Mellin descriptor is invariant to affine transform. It also shows that quasi Fourier- Mellin descriptor is robust to noise and requires less computation.Keywords: Invariant features, affine transform, moment methods, Jacobi-Fourier moment, Fourier-Mell in transform.第1章引言1.1研究目的及意义图像的不变特征提取是模式识别的一个重

19、要内容。随着数字图像处理技术的飞速发 展，不变特征提取己经应用到生活中的各个方面，如目标识别1、图像匹配2、人脸识 别34等，这给我们的生活带来了极大的便利并对提高我们的生活质量有着重要意义。不变特征的提取不仅有极大的应用价值，其理论和方法的研究同样具有较强的学术 意义。复杂环境下，能够有效提取不受图像获取条件影响的特征，是模式识别研究的一 个重要内容。不变特征最基本的思想是采用称为不变量的可测度量集合来描述目标5。 不变量需要具备以下特点：对于属于同一类的目标，不变量对于特定的形变不敏感，并 且具有数值稳定的特点；对于不属于同一类的目标，不变量的数值之间有明显的区分度 5o显然，主要目标是构

20、造数值稳定且有较强的区分度的不变量，但对不变性的要求越 高，其目标描述能力越低；反之亦然。在基于特征的目标识别中，如何权衡不变性和描 述能力的关系是一个非常重要的工作。除此之外，所构造的不变特征对环境因素的鲁棒 性也是值得研究的问题。不变特征的提取将图像空间的高维特征转化成特征空间的低维 特征，实现了特征维数的压缩。因此，图像的不变特征提取具有极大的应用价值和较强 的学术意义。1.2国内外研究现状图像的不变特征提取巳广泛应用于计算机视觉等许多领域，是图像匹配、检索等方 面需解决的关键问题，并已引起研究者们的广泛关注56O目标的形状是最重要的视觉 特征，不变特征提取的方法可被分为基于轮廓和基于区

21、域两类7。前者的主要代表方法 有：傅立叶描绘子、小波描绘子等，它们利用目标轮廓提取相应特征，有计算量小的优 点。但对于由多目标组成的物体、汉字等，轮廓类方法不能有效地提取其不变特征。因 此，区域类方法更多地受到研究者们的关注，矩方法就是其中一种典型的代表。图像矩是提取不变特征的重要方法，其可提供关于图像不同类型的几何特征信息。 矩的这种特征描述能力使其广泛应用于图像分析的许多领域89o自从1962年Hu10 提出几何矩后，相关论文大都是对传统Hu矩不变量的改进、推广以及在各个领域的应 用。更多的矩如正交矩、复数矩等被相继提出。矩方法已得到长足发展和广泛应用，并 已经成为最重要的、使用最为广泛的

22、形状描述子之一。1986年盛云龙11提出的Fourier- Mellin变换更是图像矩函数理论的一个重要发展，其对噪声鲁棒性强且具有对伸缩和旋 转不变等特点，因此该变换巳广泛应用于许多领域。1.2.1基于Jacobi-Fourier矩的不变特征提取图像矩可用于描述图像的全局特征112,理论上任何矩都可以表示成几何矩的形 式。但较大的数值动态范围会由于上溢或下溢而丢失数据精度，正交矩正是避免了这一 点。正交矩具有较好的数值性质，其可以通过递归关系计算，并可通过计算机进行稳定 而快速的数值实现。正交多项式的值都在一个较小的区间范围，并且对随机噪声有较高 的鲁棒性。此外，正交矩还具有较好的图像重建能

23、力。综上，正交矩巳引起研究者的关注13-18,并被广泛应用于许多领域，如目标识别 19、图像重建20、图像水印2122等。目前最常用的正交矩是Teague6提出的Zemike 矩，这种矩具有良好的抗噪性能和较少的信息冗余；盛云龙等23提出了正交Fourier- Mellin 矩；平子良等24提出了 Chebyshev-Fourier矩。不久前，平子良等25提出了 Jacobi- Fourier 矩，这种矩是一种广义正交矩，可用于提取图像的旋转不变特征，Zemike矩、 正交Fourier-Mellm矩、Chebyshev-Fourier矩等仅是其特例。Hoang等人26更进一步研 究了 Jac

24、obi-Fourier 矩，而 Rahul Upneja 等人27又研究了 这种 Jacobi-Fourier 矩的快速 算法。尽管文25所构造的Jacobi-Fourier矩将一般的多项式正交矩都作为它的特例，但传 统Jacobi-Fourier矩的径向多项式仅是整数阶多项式，其抗噪性能和重构性能有待进一 步改善。如何构造抗噪性能强，重构性能好的图像正交矩是值得深入研究的问题。1.2.2基于Fourier-Mellin变换的不变特征提取基于Jacobi-Fourier矩的不变特征提取方法仅能提取图像的旋转不变特征，而三维目 标及其结构由其在二维平面上的投影来表示，这已超出了平移、旋转、伸缩模

25、型的范畴。 仿射变换不仅包括平移、旋转和伸缩，还包括斜切，它能更好描述目标在不同视角下图 像间的变换。图像的仿射变换是一类空域坐标的线性变换，在摄像机与目标间的距离远 大于目标大小的条件下，由视角变化而产生的透视效果可以忽略，此时投影变换可以由 仿射变换近似代替。由于仿射变换的这一性质，它在图像分析领域变得极为重要并得到 了深入研究。-传统Fourier-Mellin变换对噪声鲁棒性强且具有对伸缩和旋转不变等优点，因此已被 广泛用于许多领域。盛云龙等人11利用Fourier-Mellin变换提出了 Fourier-Mellin描绘 子，其文中指出常用的Hu矩仅是这种描绘子的特例。王晅等人35结

26、合Radon、Fourier 和Mellin变换给出了一种提取旋转和伸缩不变特征的算法。而T. V. Hoang等人在文36 中更进一步结合Radon Fourier和Mellin变换给出了提取对平移、伸缩和旋转都不变的 特征提取算法，近来Fourier-Mellin变换被更进一步用于提取彩色图像的不变特征37- 39 o然而，上述算法仅能用于提取相似不变特征（平移、旋转、伸缩），仿射变换不仅包 括相似变换中的平移、旋转和伸缩，还包括斜切，它能更好描述目标在不同视角下图像 间的变换。如何利用Fourier-Mellin变换提取仿射不变特征是一个值得研究的问题。1.3本文的主要工作本文考虑图像的

27、不变特征提取，主要研究基于Jacobi-Fourier正交矩的构造和基于 Fourier-Mellin变换的仿射不变特征提取。正交的Jacobi-Fourier矩可提取图像的旋转不变特征，然而传统Jacobi-Fourier矩中 的径向函数只是整数阶的。本文将其径向函数推广为一般函数，提出了广义Jacobi- Fourier 矩，传统Jacobi-Fourier矩仅是其特例。类似于传统Jacobi-Fourier矩，本文所提 广义Jacobi-Fourier矩也包括传统的正交Fourier-Mellin矩并可将其推广至分数阶。实验 结果表明，广义Jacobi-Fourier矩在选取适当参数的条

28、件下具有更强的抗噪性能和重构 性能。传统Fourier-Mellin变换广泛用于提取图像的相似不变特征（包括旋转不变和伸缩不 变），然而仿射变换不仅包括相似变换中的平移、旋转和伸缩，还包括斜切，它能更好描 述目标在不同视角下图像间的变换。本文考虑改造传统Fourier-Mellin变换，提出拟 Fourier-Mellin变换，使其可用于提取仿射不变特征，该变换实质相当于将白化变换嵌入 Fourier-Mellin变换中以消除斜切的影响。构造了两个因子（后文公式（3.16）中的（。）和 /（。），从而消除了现有白化变换中繁琐的计算过程。基于所提出的拟Fourier-Mellin变 换构造了拟F

29、ourier-Mellin描绘子，使其可以直接提取仿射不变特征。实验结果表明，所 提出的拟Fourier-Mellin描绘子是仿射不变的，并且具有对噪声的鲁棒性强和计算量小 等特点。本文内容安排如下: 第一章阐述了基于矩方法提取图像不变特征的研究目的与国内外研究现状，介绍了 本文所做工作的动机。第二章提出广义Jacobi-Fourier矩，介绍了其定义、特点和性质，并通过实验测试了 其重构性能和对噪声的鲁棒性。更进一步，详细讨论了广义Jacobi-Fourier矩的一种特 例：分数阶正交Fourier-Mellin矩，并构造了比传统正交Fourier-Mellin矩性能更好的矩 量。第三章提出

30、拟Fourier-Mellin变换，解决了传统Fourier-Mellin变换不能提取仿射不 变特征的问题。所提变换既继承了 Fourier-Mellin变换抗噪性强的优点，又通过嵌入的 两个因子（。）和7（。）消除了仿射变换中斜切的影响。与同类方法对比，实验结果表明本 文所提拟Fourier-Mellin变换在选取适当参数的条件下有更优的性能。第四章是本文工作总结和今后工作的展望。第2章广义Jacobi-Fourier矩2.1引言图像矩是提取不变特征的重要方法，可用于描述图像的全局特征l12o Hu10提 出几何矩后，相关方法大都是在此基础上进行改进，正交矩就是其中之一。理论上任何 矩可以表

31、示成几何矩的形式，而正交矩的引入正是因为其具有较好的数值性质。正交矩 可以对图像进行重建，其基函数的正交性大大降低了信息冗余。正交多项式具有较强的 数值稳定性，其可将数值范围控制在一个较小的区间内。这对于在计算机中进行数字图 像处理是及其重要的，因为较大的数值范围会造成数值溢出而丢失精度。此外，正交矩 对随机噪声有更强的鲁棒性34 o如前所述，图像正交矩有数值稳定和方便重构等方面的优点，因此图像正交矩已受 到广泛关注。Teague6提出的Zemike矩是目前最常用的正交矩，这种矩具有良好的抗 噪性能和较少的信息冗余，但对于小图像的描述能力较弱34；盛云龙等23提出了正交 Fourier-Mel

32、lin矩，其具有抗噪性强的特点；平子良等24提出了 Chebyshev-Fourier矩。 不久前，平子良25发现这些矩都是以径向Jacobi多项式和Fourier因子作为核函数，并 得出了其一般形式，即提出了 Jacobi-Fourier矩。这种矩是一种广义正交矩，可用于提取 图像的旋转不变特征。Zemike矩、正交Fourier-Mellin矩、Chebyshev-Fourier矩等仅是 其特例，通过对Jacobi-Fourier矩设置不同参数而导出。Hoang等人26更进一步研究了 Jacobi-Fourier 矩，而 Rahul Upneja 等人27又研究了这种 Jacobi-Fou

33、rier 矩的快速算法。尽管文25所构造的Jacobi-Fourier矩将一般的正交矩都作为它的特例，但构造这种 矩的径向多项式仅是整数阶的。文34指出，高阶矩对噪声较敏感。本文提出广义Jacobi- Fourier 矩，将文25中Jacobi-Fourier矩的径向函数推广为更一般的函数，正交Jacobi- Fourier 矩仅是本文所提方法的特例，从而所提广义Jacobi-Fourier矩是传统正交矩的更 一般推广。本文分别从理论上和实验结果上证明并验证了所提广义Jacobi-Fourier矩的 正交性及旋转不变性，并且实验结果表明利用所提方法可构造出重构性能好、抗噪性能 强的图像正交矩。

34、本章内容安排如下：第二节介绍传统的Jacobi-Fourier矩，第三节定义广义Jacobi- Fourier 矩并说明其特点，同时证明了这种矩的正交性及旋转不变性，第四节给出实验结 果，最后是结束语。2.2 传统 Jacobi-Fourier 矩为引入广义Jacobi-Fourier矩，首先介绍传统的Jacobi-Fourier矩25,因其在极坐标 系中定义，故将图像转化为极坐标形式/（r,6）oJacobi-Fourier矩基于Jacobi多项式定义，Jacobi多项式定义如下:勾3火）=户吧支（一成3*厂一工（/? + 一1）!幻（一s）!s!（q +s 1）!b“(p,q) =!(q

35、1) !2 (p g + ) ！(q + 一 1) !(p + _ 1) !(p + 2n)wn(r) = (l-r)/;_9r9_1p-q -,q 0)(2-1)(2.2)(23)则Jacobi多项式满足如下关系:f G, (rX?, (r)w(ry/r = bn8nm(2.4)Jacobi-Fourier矩定义如下：媳=J。f (r,。)J&)exp(-jmO)rdrd0(2.5)其中的径向函数”,（,）=号时）（2-6）满足如下正交性:f九（,）4（尸）以(2.7)由此知函数系Pmn （r, 0） = J（r） exp（ jm）在0 v r 1, 00 2勿区间上满足正交性:plo化,”

36、（崩）4,（崩）以以。=&根据函数正交理论，图像f（r,0）可利用Jacobi-Fourier矩进行重构:(2-8)f（r，9） = 2 n（r）exp（jm。）（2.9）n =0 m=_s文25指出,当P、0取不同值时,（2.6）式已（,）是不同的变形Jacobi多项式。例如： p = g = l 时,尸）是 Legendre 多项式;p = 2,q = 3/2 时,（尸）是 Chebyshev-Fourier 多 项式；P = Q = 2时，九（尸）是正交Fourier-Mellin多项式。2.3 广义 Jacobi-Fourier 矩2.3.1广义Jacobi-Fourier矩的定义及特

37、点上面提到的Jacobi-Fourier矩是传统正交矩的推广，本文将这种Jacobi-Fourier矩更 进一步推广为广义Jacobi-Fourier矩，使Jacobi-Fourier矩仅是广义Jacobi-Fourier矩的特 例。设/?（尸）是定义于区间（0,1上的连续可微函数，且/?（）的值域为（0,1,令S(r)=l-h(r)Yqh(r)q-lhf(r)(2.10)这里方（尸）表示函数力（,）的导数，定义广义Jacobi多项式如下:定义2.1：令G) = -yi=G“(SS(r)(2-11)G0nm =（尸,Q）G/（尸）exp（/m 1)(2.14)则这些正交矩均可推广为分数阶的，这

38、里仅以P = Q = 2为例进行说明。上文提到,P = g = 2时Jacobi-Fourier矩就是正交Fourier-Mellin矩（文26指出文25定义的正交Fourier-Mellin矩与23不同，事实上仅有系数的不同，本文中仍采用文25的方式），其南京信息工程大学硕士学位论文 径向多项式J(r) = J2.+ 2支(I)，(+s + l)! (2.15)勺 (-s)!s!(s+l)!是,的整数阶多项式(s均为整数)。在广义Jacobi-Fourier矩定义中，取/z(r)如(2.14)式， 则5(r) = 4trx(2.16)此时构造广义Jacobi-Fourier矩的径向多项式为：

39、G = F(T) 尚端(2.17) 这种多项式是分数阶多项式(S、1均为分数)。也就是说此时定义的广义Jacobi-Fourier矩 可以看作是正交Fourier-Mellin矩的分数阶推广。类似地Zemike矩、伪Zemike矩等都 可以进行相应的推广。选择方(尸)可构造更广义的Jacobi-Fourier矩。文25定义的Jacobi-Fourier矩是一般多项式正交矩的推广。这里定义的广义Jacobi- Fourier 矩不仅可将传统的正交矩推广为分数阶的，还可作更一般的推广。人(，)可以在满 足上述条件下取更一般的函数，如：/z(r) = sin r . /z(r) = tan r等。2

40、4综上所述，本文定义的广义Jacobi-Fourier矩是比文25所定义正交矩的更广义推广。2.3.2 广义 Jacobi-Fourier 矩的性质上述定义的广义Jacobi-Fourier矩满足如下的正交性和旋转不变性。性质2. 1 正交性(2.18)由(2.11)式定义的GJ* (r)满足如下的正交关系：证明：jGJ&)GJN)rdr=(顷)半(牧)羿汕Si=-= JG (A(r)Gw)(A(r)1-。(尸)h)dr=4= J G,、(/z(r)G, (/z(r)l-/z(r)r9尸)dh(r)也就是说上面定义的GJ&)满足正交性。证毕由此性质知，函数系GPnm(r,O) = GJn (r

41、)exp(jm6)是正交系，根据函数正交理论，函 数可由上面定义的广义Jacobi-Fourier矩重构：f(r,e)=文 玄 G/nmGJ (r) exp(jm。)(2.19)71=0 /W=cO后文实验中的重构采用如下近似形式：N M2 G(/)n,nGJn(r)exp( jm6)(2.20)n=0 m=M其中TV和Af是正整数。性质2. 2 旋转不变性广义Jacobi-Fourier矩的模G(/)llin具有旋转不变性。证明：设图像f (尸,。)经过角度。的旋转得到图像/(尸,0) = /(展+，),该图像的广义Jacobi-Fourier 矩为：G初，” =Ef (r，)GJn ex(

42、- jm 0)rdrd0pl=J J/(r, 0 + 8)GJ exp(jm 3) rd rd 0=，)f (r,)GJn exp(jm9)rdrd0eg=G(b /渺r n tn因此|G$= |GQ，也就是说广义Jacobi-Fourier矩具有旋转不变性。证毕(2.12)式定义的广义Jacobi-Fourier矩是复数矩，利用上面性质可知广义Jacobi-Fourier矩可用于提取一个目标对象的旋转不变特征。2.4实验结果本文构造的广义Jacobi-Fourier矩满足正交性和旋转不变性，因此第一部分的实验验 证图像重构并测试其旋转不变性以及抗噪性能，第二部分测试分数阶正交Fourier-

43、Mellin 矩的重构、旋转不变性及抗噪性能。实验采用图2-1所示的30个汉字图像作为图像库 进行测试，每幅汉字图像大小为128x128。兰史主臭史因匹亘里虺扬场汤杨肠畅物匆乒乓图2-1 30个汉字图像实验以均方误差来度量重构误差，其定义如下：K-l L-1y)-f(x, y)2MSE= (2.21)厂3, y)x=O y=O这里f(x,y)表示原图像，f(x,y)表示重构图像，而K和乙表示图像的长和宽。定义识别率如下：(2.22)_ recognizedNg其中Egmed为正确识别的图像数，Ntest为测试图像总数o本实验验证广义Jacobi-Fourier矩的正交及旋转不变性。仅以仪,)=

44、/。= 0.5,1.5)、= siny rj、h(r) = tan仲尸)三种情况的广义Jacobi-Fourier矩为例进行说明。因为 后面关于正交Fourier-Mellin矩的讨论中p = g = 2 ,所以这里仅给出？ =。= 1和 = g = 3 的广义Jacobi-Fourier矩进行测试。2.4.1图像重构仅以图2-1中第一个汉字“甲”为例测试所提方法的重构性能，这里采用的方法是 由40所提供的Matlab代码改编得到，默认重构时M = N。表2-1给出了 N = 6, 8,10,12,14,16,18, 20, 22时上述不同广义Jacobi-Fourier矩的重构结果。为方便这

45、 里仅列出N = 18,20,22时的重构均方误差。由表2-1的结果可以看出利用广义Jacobi- Fourier 矩可以进行图像重构，从而验证了广义Jacobi-Fourier矩的正交性。2.4.2旋转不变性将图2-1图像库中的每幅图片分别旋转5, 10, 15,-,90得到540 (30 x18)幅测试图表2-1广义Jacobi-Fourier矩图像重构径向函数均万误差p = q = ih(r) = r (t = 0.5)p = q = 3p = q = ih(r) = rr (t = 1.5)p = q = 3斗中,甲甲甲甲甲甲甲斗甲甲甲甲甲甲7甲甲甲甲甲甲图像重构j; tp 中 甲甲甲

46、 甲甲甲=- nr勿-2r /I A甲甲甲甲甲甲中甲甲- nrp = qT勿)A(r) = tan r4 )4-甲甲甲甲0.22760.18300.15980.20800.16930.15570.16820.14800.12180.15920.14560.10930.13900.10400.07250.13130.08730.06480.19670.16820.14320.18660.15980.1307像。以p = g = l为例，分别取顷）=时、/z（r） = sin侦尸J和。（尸）=tan（f尸），N分别取 1, 2, 3, 4 , /z（r） = / 中 f 分别取0.5,1.0,1.

47、5, 2.0, 2.5, 3.0 ,以广义 Jacobi-Fourier 矩的模作为 特征向量，并用最小距离法进行分类。实验结果如下：仅当N = 1时所得识别率平均值为 99.82%,而N为其它值时识别率均为100%。由这些实验结果可以看出，广义Jacobi- Fourier 矩具有旋转不变性。2.4.3分数阶正父Fourier-Mellin矩的重构性能与抗噪性能本文所提方法是Jacobi-Fourier矩的推广，利用这种方法可构造出比传统正交矩性能 更优的正交矩，这里仅以广义Jacobi-Fourier矩的一种特例：分数阶正交Fourier-Mellin 矩为例进行说明(P=q = 2)。如

48、文25所述，正交Fourier-Mellin矩仅是Jacobi-Fourier矩 的特例，它的径向函数由整数阶多项式构造，利用本文所提方法可将正交Fourier-Mellin 矩进行分数阶推广。本部分实验对比分数阶正交Fourier-Mellin矩和传统正交Fourier- Mellin矩的特性，主要包括重构和抗噪性能，以说明利用本文方法可构造性能更优的正 交矩。图2-2 30个汉字平均重构误差对比图1)分数阶正交Fourier-Mellin矩的图像重构为测试(2.17)式径向多项式所定义分数阶正交Fourier-Mellin矩的重构性能，选f取不同值(顷.5,1,1.5, 2.5), N取不

49、同值(N = 15,16,，22)。此外，久,)还可取更一般的函数，如 /z(r) = sin号和尸)=tan|,等。将图2-1图像库中的30幅汉字进行重构并将它们的重构误差(MSE)平均，所得结果列在图2-2中。由实验结果可知，当取/z(r) = sin|,时，利用本文方法构造的广义Fourier-Mellin矩的重构效果优于传统的正 交 Fourier-Mellin 矩(/ = 1 时)。2）分数阶正交Fourier-Mellin矩的旋转不变性及抗噪性能首先将图2-1图像库中的30个汉字的每幅图片分别旋转5。,10。,15。,90。，得到540 幅测试图像。其次对变换后的图像分别添加噪声强

50、度为0.05、0.10、0.15、0.20和0.25 的椒盐噪声，取人（尸） = /, N分别取7,8,9,10,，分别取0.5,1.0,1.5,2.5。其中”） = /且 t = 1时即是传统的正交Fourier-Mellin矩。识别率的结果如图2-3所示。当噪声强度为0 时，识别率几乎为100%,这验证了分数阶正交Fourier-Mellin矩的旋转不变性。当，=1.5、 7 = 2.5时，可观察到利用本文方法构造广义Fourier-Mellin矩的抗噪性能优于传统的正交 Fourier-Mellin 矩。此外，也将A（r） = sin任r）和Zz（r） = tan仲尸）的结果列于图2-3

51、中，由图中结果也可 以看出入（尸）= tan（：r）也有较好的抗噪性能。故当选取适当的函数A（r）时，广义Jacobi- Fourier 矩的抗噪性能优于传统的Jacobi-Fourier矩。0. 9-0. 8-0. 70. 6、 0. 5- * 0.40. 3-0. 2-0. 1、0?-h(r) = sin(2r) h(r) = tan(|r)-h(r) = t= r-Ah(r) = r1,5-*-h(r) = r2,s00.050. 10. 150.20.25noisedegree(a) n=70. 90. 80. 70. 60. 50. 40. 30. 20. 10-h(r) = r0,

52、6 -h(r) = r -4f-h(r) = r1,6 -*-h(r) = r28-h(r) = sin(|r) h(r) = tan(|r)00.050. 10. 150.20.25noisedegree(b) n=8n0. 9-0. 8-0. 70. 6- 0.5- * 0.4、0. 3-0. 2-0. 1-0?-h(r)= -h(r) = r-4fh(r) = r1B-*-h(r) = r2,B h(r) = sin(|r) h(r) = tan(|r)00.050. 10. 150.20.25noisedegree(c) n=90. 9-0. 8-0. 7-0. 6-0. 5-0. 4

53、-0. 3-0. 2-0. 1-0?-h(r) = r0,6 -h(r) = r -/-h(r) = r1,B -*-h(r) = r25 -h(r) = sin(|r) h(r) = tan(|r)00.050. 10. 150.20.25noisedegree(d) n=10图2-3分数阶Fourier-Mellm矩抗噪性能2.5本章小结传统Jacobi-Fourier矩25可提取图像的旋转不变特征，是传统正交矩的推广，正交 Fourier-Mellin矩、Zemike矩等仅是其特例。然而传统Jacobi-Fourier矩中的径向函数只 是整数阶的。本章提出广义Jacobi-Fourier

54、矩，将其径向函数推广为一般函数，传统Jacobi- Fourier 矩仅是其特例。从而这种广义Jacobi-Fourier矩是传统图像正交矩的更一般推广。 类似于传统Jacobi-Fourier矩，本章所提广义Jacobi-Fourier矩也包括传统的正交Fourier- Mellin 矩并可将其推广至分数阶。实验结果表明，广义Jacobi-Fourier矩在选取适当参数 的条件下具有更强的抗噪性能和重构性能。但径向函数的选择依据尚不明确，如何选取 更合适的径向函数，使构造的广义Jacobi-Fourier矩性能更优是今后的一个研究方向。第3章拟Fourier-Mellin变换3.1引言同一目

55、标由不同视点获得的图像往往存在几何形变，而仿射变换是对这些几何畸变 的合理近似。由于仿射变换的这一性质，它在图像分析领域变得极为重要并得到了深入 研究。提取仿射不变的特征在目标识别和配准中起着重要作用57282941-49,并 被广泛应用于飞行器识别50-52、图像检索5354、水印55等许多领域。仿射变换是一种线性变换，该变换定义如下其中（x,yy是原坐标，任顶），是仿射变换后的坐标，A是仿射变换矩阵，d是位移向量。 包括旋转、伸缩、平移变换的相似变换仅是其特例5。传统Fourier-Mellin变换对噪声鲁棒性强且具有对伸缩和旋转不变等优点，因此该变 换已经广泛应用于许多领域。文34指出，

56、高阶矩对噪声更为敏感。而Fourier-Mellin变 换可广义地看作是几何矩到复数阶矩的推广，其文中指出常用的Hu矩仅是这种描绘子 的特例。利用Fourier-Mellin变换，可构造任意的的复数阶不变量，因此Fourier-Mellin 变换可更好地提取伸缩、旋转不变特征，并取得了较好的效果。王晅等人35结合Radon、 Fourier和Mellin变换给出了一种提取旋转和伸缩不变特征的算法。而T. V. Hoang等在 文36中更进一步结合Radon Fourier和Mellin变换给出了提取对平移、伸缩和旋转都 不变的特征提取算法，近来Fourier-Mellin变换被更进一步用于提取

57、彩色图像的不变特 征37-39。尽管Fourier-Mellin变换的研究如此深入，但是以上这些算法仅能用于提取相似不变 特征。然而仿射变换不仅包括平移、旋转和伸缩，还包括斜切，它能更好描述目标在不 同视角下图像间的变换。如何利用Fourier-Mellin变换直接提取仿射不变特征是一个值 得研究的问题。本文考虑改造传统的Fourier-Mellin变换，提出拟Fourier-Mellin变换以 提取仿射不变特征。Fourier-Mellin变换及相似不变特征提取在介绍拟Fourier-Mellin变换之前，先介绍传统的Fourier-Mellin变换。图像的Fourier-Mellin变换在

58、极坐标系中定义，因此将笛卡尔坐标系以如下方式转化为极坐标系 TOC o 1-5 h z r = x2 + y2tan 0 = , 0 e 0,2)(3.2)这里为建立极坐标系，把原点移至质心。此时，仿射变换中的平移即被消除了。将笛卡 尔坐标系中的图像/(X, y)记为3) o图像的Fourier-Mellin变换(FMT)定义为MF(f) = rs-lf(r,0)e-il0d0dr(3.3)其中 s = a + rioFMT非常适合用于提取伸缩、旋转不变特征，下面分析其原因。由(3.3)式定义的FMT 也可以按如下方式计算协V) =尸/(展)办卜9(3.4)更进一步，记go(Q) = 广jW)

59、dr(3.5)显然go()是(3.4)式中径向积分的部分。此时，(3.4)式中的FMT又可以表示为如下形式MF(f)= V gWd(3.6)因此，FMT可看作先进行极径方向的积分，再进行极角方向的Fourier变换。由(3.5)式可以看出，沿极径方向积分后得到go(。)，其是与，无关的量，对图像的伸 缩变换就转化成了对(。)的伸缩变换；因为Fourier-Mellin变换是在极坐标系下定义的， 所以对图像的旋转在极坐标系中就转化成了角度方向的平移。因此，旋转可以通过对 Fourier变换取模而消除，伸缩可以被Fourier变换的直流分量规范化5657O事实上, Fourier描绘子58就是对F

60、ourier变换取模，再除以直流分量规范化，并已被广泛用于提 取伸缩、旋转不变特征。所以，FMT非常适合用于提取相似不变特征。Fourier-Mellin变换提取仿射不变特征的难点前文提到，FMT只可以提取伸缩和旋转不变特征。而仿射变换既包括伸缩、旋转、 平移变换，还包括了因视角变化而产生的斜切变换，所以我们现在分析FMT不能提取 仿射不变特征的原因。众所周知，直线经过仿射变换后还是直线。当图像经过仿射变换后，沿着极径方向 的积分含有图像的固有特征。因此，FMT中沿极径方向的积分可以提取仿射不变特征。 下面举例说明：图3-l(a)是一个正方形，图3-l(d)是其经过仿射变换得到的平行四边形。现