高考总动员2016届数学人教文大一轮复习课件教师讲学案课时提升练第四章平面向量第4章

1、第四章平面向量第一节平面向量的基本概念及线性运算基础知识深耕一、向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)几种特殊的向量特殊向量定义备注零向量长度为零的向量零向量记作 0，其方向是任意的二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： abba. (2)结合律： (ab)ca三角形法则向量长度等于 1 个的向量向量记作 a0，与 a 同方向的向量 a0 a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)0 与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量相反向量长度相等且方向相反的两个向

2、量若 a，b 为相反向量，则 ab平行四边形法则(bc)减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b的差aba(b)三角形法则数乘求实数 与向量a 的积的运算(1)|a|a|； (2)当0 时，a的方向与 a 的方向相同；当 0时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a0.(a)a； ()aa a； (ab)a b【方法技巧】 向量加减法运算的关键点：向量加法的三角形法则关键是“首尾连，指向终点”，可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则的关键是“共起点，指向被减向量”三、平面向量共线定理向量 b 与 a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得 ba.

3、【拓展延伸】 巧用系数判共线OAOBOC(，R)，若 A、B、C 三点共线，则 1；反之也成立基础能力1下列说法正确的是()A零向量是没有方向的向量B向量都相等C向量的模一定是正数D相反向量是平行向量零向量的方向是任意的，不是没有方向，A【】错；向量模相等，方向不一定相同，B错；零向量的模为 0，C 错；D 正确】 D【2在平行四边形 ABCD 中，设ABa，ADb，ACc，BDd，则下列等式中不正确的是()AabcCbadBabdDcab，结合向量加法与减法的三角形法【】则知，B 错误【】B3在四边形 ABCD 中，ABa2b，BC4ab，CD5a3b，则四边形 ABCD 是()A长方形C菱

4、形B平行四边形D梯形ABBCCDAD8a2b2(4ab)【】2BC，四边形 ABCD 是梯形【】D4已知向量 a、b 不共线，且 kab 与 akb 共线，则实数 k.】 由题意知 kab(akb)，kabakb，【kk1k1】 1【1两个结论(1)向量的中线公式若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内一点，则OP12(OAOB)(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点 A、B、C，PG1PBPC)3(PAG 是ABC 的重心特别地，PAPBPC0P 为ABC的重心2三个(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(2)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则 可能不存在，

5、也可能有无数个；(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；第二节平面向量基本定理及坐标表示基础知识深耕一、平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，其中 e1，e2 是一组基底【方法技巧】 选择基底的规则：(1)零向量不能作为基底向量；(2)基底的选择不唯一，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为这个平面的一组基底二、平面向量的坐标表示1平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分

6、解2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两向量 i、j 作为基底对于平面内的任一向量 a，有且个只有一对实数 x，y，使得 axiyj.这样，a 可由 x，y 唯一把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，确定，y)显然，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)三、平面向量的坐标运算1平面向量运算的坐标表示2.平面向量共线的坐标表示运算坐标表示和(差)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)数乘已知 a(x1，y1)，则 a(x1，y1)，其中 是实数任一向量的坐标已知 A(x1，y1

7、)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1).若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10.【拓展延伸】 三点共线与定比分点1若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则(x2x1)(y3y2)(x3x2)(y2y1)，或(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)，或(x3x1)(y3y2)(x3x2)(y3y1)同样地，当这些条件中有一个成立时，A，B，C 三点共线2若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1PPP2时，点 P 的坐x1x2y1y2标是.，11基础能力1如果 e1，e2 是平面 内所有向量的一组基底，那么下列说

8、法正确的是()A若实数 1，2 使 1e11e20，则 120B对空间任意向量 a 都可以表示为 a1e12e2，其中1，2RC1e12e 不一定在平面 内，1，2RD对于平面 内任意向量 a，使2 有无数对a1e12e2 的实数 1，】 由平面向量基本定理知，只有 A 选项正确【】 A【2给出下列几种说法：相等向量的坐标相同平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标一个坐标对应唯一的向量其中正确的说法的个数是()C2A0B1D3】 根据平面向量的坐标表示知，正确，但【由于所用基底不同，同一向量坐标不同，故错误】 C【3若AB(2,4)，AC(1,3)，则BC()A(1,1)C(3,7)B(1，1)

9、D(3，7)BCACAB(1,3)(2,4)(1，1)【】B【】4已知 a(4,2)，b(x,3)，且 ab，则 x()A9B6C5 D3ab，432x0，x6.【】【】B1.两种形式向量共线的充要条件的两种形式：(1)abba(a0，R)(2)abx1y2x2y10，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)2三个易错点若 a、b 为非零向量，当 ab 时，a，b 的夹角为 0或 180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条

10、件不能x1y1表示成 ，因为 x ，y 有可能等于 0，应表示为 x y x y221221xy220.第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例基础知识深耕一、向量的夹角定义：已知两个非零向量 a 和 b，作OAa，OBb，则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角图示：(3)范围：设 是向量 a 与 b 的夹角，则 0180.(4)共线与垂直：若 0，则 a 与 b 同向；若 180，则 a 与 b 反向；若 90，则 a 与 b 垂直二、平面向量的数量积【拓展延伸】 几种特殊情况下的数量积：设两个非零向量 a 与 b 的夹角为 ，则当 0时，cos 1，ab |a|b|；当 为锐角时，cos

11、0，ab 0；定义设两个非零向量 a，b 的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab投影|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积当 为直角时，cos 0，ab 0；当 为钝角时，cos 0，ab 0；当 180时，cos 1，ab |a|b|.三、平面向量数量积的运算律交换律：ab ba ；数乘结合律：(a)b(ab )a(b)；3分配律：a(bc)ab ac .四、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量 a

12、(x1，y1)，b(x2，y2)， 为 a、b 的夹角结论几何表示坐标表示模|a| aa|a| x2y211数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2基础能力1下列说法正确的是()A若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20B若两个非零向量的夹角 满足 cos 0，则两向量的夹角 一定是钝角C若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则向量 a，b 的夹角 夹角cos ab|a|b|x1x2y1y2cos x2y2x2y21122ab 的充要条件ab0 x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当 a b 时等号成立)|x1x2y1y2|

13、x2y2x2y21122x1x2y1y2满足 cos x2y2x2y21122D若 A(1,0)，B(0，1)，则|AB|2】 A、C 中 a、b 必须为非零向量，B 中 还有【可能是平角，D 正确】 Da 与 b 的夹角为 120，且|a|b|4，则【2若A8ab (D4)B8C4|a|b|cosa，b44cos 1208】 ab【】 B【3已知向量与 b 的夹角为(a、b)满足|a|1，|b|4，且 ab 2，则 aA.B46C.3D.2设 a、b 夹角为 ，则 cos ab21 2.【】|a|b|43.【】C4已知向量 a，b 夹角为 60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|(A.)3B23C4D12】 |a2b|2|a|24|b|24|a|b|cos6012，|a【2b|23.】 B【1一个条件两个非零向量垂直的充要条件：abab 02两个结论两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 ab成立(因为夹角为 0 时不成立)；两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 ab成立(因为夹角为 时不成立)3