高中数学导数专项练习12讲

1、第1讲：导数与单调性一知识梳理二典例分析1. 利用导数求单调性(不含参数)求下列函数的单调区间.（1） （2） （3） （4） 练习1.求下列函数的单调区间.（1） （2）（3） （4）2.利用导数求单调性(含参数)例2.（1）讨论函数的单调性；（2）讨论函数的单调性；（3）讨论函数的单调性.练习2.讨论下列函数的单调性.（1）已知函数，讨论函数的单调性；（2）已知函数，讨论函数的单调性；（3）已知函数，讨论函数的单调性3.已知单调性求参数的值.例3.已知函数, 若函数在上是单调递增的，求的取值范围练习3.若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若

2、函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围导函数图象与原函数图象的关系例4已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是ABCD5.利用单调性证明不等式(一)例5.证明下列不等式（1）证明：当，；（2）若，证明：当，.练习4.（1）证明：当，；（2）证明：当，.6.利用单调性求解不等式例6.（1）定义在R上的函数满足，且对任意xR都有，求不等式的解集；（2）已知函数满足，且的导函数满足，则求解不等式的解集.三课后练习1函数的单调递增区间为( )ABCD2若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）ABCD3若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）ABCD4已知函数（其中为自然对数的

3、底数），则不等式的解集为（ ）ABCD5设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图像可能为( )ABCD6函数的图象大致为（ ）ABCD7函数的定义域是，对任意的，都有成立，则不等式的解集为( )ABCD8已知函数的定义域为，且，对任意，则的解集为（ ）ABCD9已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是ABCD11已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间12已知函数，.（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；第2讲.抽象不等式问题典例分析.若是定义在上的偶函数，且，当时，恒成立，则不等式的解集是（ ）A B C D练习1定义在R上

4、的奇函数f(x)满足f(1)0，且当x0时，f(x)xf(x)，则下列关系式中成立的是()ABCD练习2已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则（ ）ABCD练习3设函数是偶函数的导函数，当时，若，则实数的取值范围为（ ）BCD练习4是定义在上的可导函数，且满足，对任意实数，若，则必有（ ）BCD练习5对于R上可导的任意函数，若满足则必有（ ）ABCD练习6定义在上的函数满足：，则不等式 的解集为（ ）A(0,+)B(,0)(3,+ )C(,0)(0,+)D(3,+ )参考答案11解：（），在处切线方程为.（），令，即，解得或当时（即时），由得或，由得，的增区间为， ，减区间为，当

5、（即时），由得或，由得，增区间为， ，减区间为当，即时，在上恒成立，的增区间为无减区间综上， 时， 增区间为， ，减区间为，时， 增区间为， ，减区间为，时， 增区间为，无减区间（8分）12：（1）当时，所以所求的切线方程为，即（2），当，即时，在上单调递增当，即时，因为或时，；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当，即时，因为或时，；当时，在，上单调递增，在上单调递减第3讲.双极值点问题探究一典例分析例1. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：二自主练习1.已知函数.讨论函数的单调性；若函数有两个极值点，证明：.2. 已知函数.若函数在是减函数，求实数的取值范围；若函数

6、在上存在两个极值点，且，证明：.已知上的函数存在两个极值点为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.4已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在两个极值点，证明：.5已知函数有两个极值点，.（1）求的取值范围；（2）证明：.6已知函数有两个不同的极值点、.（1）求实数的取值范围；（2）若，求证：，且.4.解：（1）函数的定义域为，令，则.当时，恒成立，函数的单调递增区间为.当时，方程有两根，当时，；当时，；当，.的单调递增区间为、，单调递减区间为.（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，函数在上单调递减，则，不妨设，则.由于，且，所以，则.5.解：（1），有两个不等正根，解得.（2）由

7、已知得，令，则，是增函数，即.6.解：（1），定义域为，.由题意可知，方程在上有两个不等的实根、，则，解得.因此，实数的取值范围是；（2）由题意可知，、为方程的两个实根，由于，则，当时，由（1）可知，令，设，.，所以，函数在上单调递减，所以，因此，.练习9【详解】计算导数得到，结合构造新函数得到要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A。第4讲：导数与最值基础知识：典例分析一求函数的最值例1.求函数在区间最大值与最小值.例2.已知函数，其中设是函数的导函数，求函数在区间上的

8、最小值练习1. 已知函数求在区间上的最大值和最小值；二已知函数的最值求参数例3. 设，函数的最大值为1，最小值为，求常数.练习2.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.练习3. 已知函数若，求的值.练习4. 已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且 QUOTE 三恒成立问题1.不含参恒成立例4. 证明常用不等式（1） （2） 2.含参恒成立之分离参数例5.已知函数在与处都取得极值（1）求的值及函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围例6已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为_

9、练习5已知函数. 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.3.已知参数范围放缩参数消参例7.已知函数.设是的极值点，求，并讨论的单调性；当时，证明练习6已知函数（1）设是的极值点，求的值；（2）证明；当时，4.值域法例8.设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为_练习7. 已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若恒成立，求实数a的最大值.（e为自然对数的底）第5讲 端点效应及应用例9（2020成都二诊）已知函数，其中.（1）若，求函数的单调区间；（2）设.若在上恒成立，求实数的最大值.练习8（2016四川卷）设函数.讨论的单调性；确定的值，使得在区间内恒成立.第六讲 函数同构及应用

10、若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换.例如：.例题：对下列不等式或等式进行同构变换 （2） （4） （6）（7） （8）练习题1.若对,恒有，则实数的最小值为_.2.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_.3.若，不等式恒成立，则实数的最小值为_.练习.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_.4.已知函数，证明：当时，.已知是函数的零点，则_.6.若函数，证明：.已知函数，若，则实数的最小值为_.7.已知函数，若，求实数的取值范围.8.已知，若，求实数的取值范围.已知，求证：时，.10.（1）函数的最大值为_.（2）函数的最小值为_.（3）函数

11、的最大值为_.（4）函数的最小值为_.总练习题1已知函数，若恒成立，则实数的取值范围（ ）.ABCD2已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（ ）ABCD3若关于的不等式有解，则实数的取值范围是( )ABCD4已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值.5已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求在区间上的最大值和最小值.6已知函数，（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围7已知函数，.（1）若，求函数的最小值；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.8已知函数.（1）求函数的单调区间

12、；（2）当时，证明：在上恒成立.第7讲：恒成立问题7法最值分析法.已知函数，证明：.例2.已知函数，若当时，求的取值范围.方法二：分离参数例3.（2020全国一卷）已知函数.当时，讨论的单调性；当时，求的取值范围.例4.已知函数（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围方法三：端点效应例5（2020成都二诊）已知函数，其中.（1）若，求函数的单调区间；（2）设.若在上恒成立，求实数的最大值.练习1（2016四川卷）设函数.讨论的单调性；确定的值，使得在区间内恒成立.练习2.（2019成都三诊）设函数.当时，判断是否为

13、函数的极值点，并说明理由；当时，不等式恒成立，求的最小值.方法四：放缩1.不等式放缩例6.已知函数（，为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.练习1. 已知函数.当时，求函数的单调区间；若，求的取值范围.练习2.已知函数. 若，求的取值范围.练习3已知函数.（1）求函数的极值;（2）当时,若恒成立,求实数的取值范围.练习4. 已知函数.（1）当时，证明：;（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的范围.已知参数范围进行局部放缩（加必要性探路）例6：已知函数.设是的极值点，求，并讨论的单调性；当时，证明练习已知函数（1）设是的极值点，

14、求的值；（2）证明；当时，方法五：凸凹反转例7.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：.练习.（2020成都三诊理）已知函数.当时，求的单调区间；当时，证明：.练习：设函数，曲线在点处的切线为（1）求；（2）证明：第8讲导数与零点一导言导数与零点专题是高考考察的重点内容，下表列举了从16年起全国卷对这个点的考察：2020年2019年2018年2017年2016年全国一卷 20题：证明零点个数21题：已知零点个数求参数21题：已知零点个数求参数，零点偏移全国二卷20题：证明零点个数，公切线.21题：已知零点个数求参数全国三卷21题：零点分布如上表所示，导数与零点是高考导数大题部分的

15、重要命题方向之一，结合近五年全国主要地方的模拟考试题来看，该专题大致可以分为四个具体的命题方向：1.判断或证明零点个数. 此题型以2019年全国一卷20题为典型例子，是一类较新的题型. 重点考察学生利用函数单调性与值域，零点存在性定理准确的找到零点的存在性，突出考察学生的逻辑推理与数学运算素养，具有较高的综合性. 2.已知零点个数求参数范围. 此题型在16-18年连续三年均有考察，处理此类问题有两种常见的方法：含参数讨论及分离参数，重点考察学生利用函数单调性分析值域，数形结合解决问题.此题型还可衍生到对过点求切线个数，公切线个数的考察上.3.讨论或者证明零点所满足的分布特征.此题型以2020年

16、全国三卷21题为典型例子，需要在找到零点的基础上进一步分析出零点所满足的分布，对学生的逻辑推理，严谨表达均有较高的要求.4.零点偏移或者双零点，极值点问题.主要考察变量替换与构造函数解决问题的基本方法，此类问题处理方法较多，有偏移法处理，变量代换，对数均值不等式等均可完成，在各地的模拟题中属于常见的类型.下面，将通过一些高考题目和典型的模拟题具体展开这四类题型的研究和讨论，找到破解零点问题的常见思路与方法，提升逻辑推理，数学运算，直观想象的核心素养，让学生在研究问题的过程中获得成就感.二题型1：判断或证明零点个数1已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点2已

17、知函数.讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.3.已知函数，.（1）讨论函数在上的单调性；（2）判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由.4已知函数,为的导函数.(1)求证:在上存在唯一零点;(2)求证:有且仅有两个不同的零点.题型2：已知零点个数求参数范围5已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.6已知函数（1）讨论的单调性；（2）若 QUOTE 有两个零点，求的取值范围:7已知函数，（1）当时，求的单调区间；（2）当，讨论的零点个数.8已知函数，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设函数，若

18、函数恰好有2个零点，求实数的取值范围.(取，)题型3：零点的分布特征9设函数，曲线在点(，f()处的切线与y轴垂直（1）求b（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于110已知函数.（1）当时，讨论极值点的个数；（2）若分别为的最大零点和最小零点，当时，证明：.11.已知函数.（1）若曲线在点处的切线为，求的最小值；（2）当常数时，若函数在上有两个零点，证明：.12已知函数和函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，且函数有三个零点、，求的取值范围.第9讲 零点（极值点）偏移，双零点（极值点）问题13.已知函数，若，证明：.14设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果

19、且关于的方程有两解，证明.15.已知有两个不同的极值点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.16.已知函数有两个零点.求的取值范围；设是的两个零点，证明：.练习题1已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD2已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）BCD已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD4若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为A，B，C，D，5已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.已知函数.讨论函数在上单调性；设，试证明在上有且仅有三个零点.7.已知函数.求实数

20、的值；若函数，求证：有且仅有两个零点.（）8.设函数，.（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（2）讨论函数零点的个数.9设函数.（1）讨论函数的单调性：（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.10已知函数（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）在曲线上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由已知函数.时，求处的切线方程；时，是否存在两个极值点，若存在，求实数的最小整数解，若不存在，说明理由.12.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数的导函数为，若函数恰有个零点，证明：.13.已知函数.（1）若函数在上是单调函数，求

21、实数的取值范围；（2）当时，为函数在上的零点，求证：.14.已知函数.（1）若有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，且的最大值为，求的最大值.15.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，函数恰有2个零点，证明：.16.已知函数在处取得极值.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）方程有三个实根求证：17设函数.(1)若，求的单调区间；(2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明:.18已知函数，且.（1）求的值；（2）在函数的图象上任意取定两点，记直线的斜率为，求证：存在唯一，使得成立.第10讲 泰勒公式在高考试题中的应用泰勒公式是高等数学中的

22、重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个次多项式,去逼近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质：与在点具有相同的直到阶的导数.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数在点处的某邻域内具有阶导数，则对该邻域内

23、异于的任意点，在与之间至少存在一点，使得：=+ +，其中称为余项，上式称为阶泰勒公式；若0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即= +.利用泰勒公式证明不等式：若函数在含有的某区间有定义,并且有直到阶的各阶导数,又在点处有阶的导数,则有公式在上述公式中若(或),则可得或证明: 证明 设 则在处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式 由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点在处展开,然后判断余项的正负,从而证明不等式.对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析

24、、取材、构造利用.证明不等式：.2、不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 。这时我们可用在的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。 证明 , 当时，的泰勒展式为： 0 (0, ,01)所以0,，有 .在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答.证明不等式：，（0）.对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号，但的次数却提高了次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答.证明

25、设，则,代入=0的二阶泰勒公式，有=1+- + (01) 0, 0 所以 （x0）.在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在=0时的麦克劳林表达式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉.微分中值定理: 若满足以下条件:(1) 在闭区间内连续 (2) 在开区间上可导则 若分析 因为则原不等式等价于 .令,则我们容易联想到中值定理.证明 设,显然满足中值定理的条件则 即5、已知函数， ；(2),因为所以。故得证 （也可用中值定理来证）6、已知函数解： 评注：本题得到不等式与不等式构成经典不等式，即.7、已知解析： 由经典不等式及因此故又综上所述，得第11讲 双变量放缩.双变量放缩主要指切割线放缩，此时题干所给函数具有明显的凸凹性，我们可以借助切线不等式的原理将某些变量进行合理的放缩得到结果.4.已知函数(为自然对数的底数).(1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；(2)设