概率统计课件：1第一章第一讲 随机事件与样本空间

1、概率统计序言2022/7/102自然界和社会生活中的所有现象可分为两类:确定性现象: 在一定条件下,某种结果是否发生,事先完全可以预言;不确定现象(随机现象): 在一定条件下,某种结果是否发生,事先是不可预言的; 具有统计规律性. 本课程研究对象: 随机现象的数量规律.本课程的用处: 1: 气象、地震等统计分析预报；2: 人口统计、人口理论;金融经济、 保险理论分析决策、股票期货分析；3: 可靠性、 随机服务系统。4:信号通讯、信号处理、统计物理； 进一步，其思想方法和工具知识已渗透到许多学科部门 。一些具体应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中

2、. 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与 概率论 紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和数据处理；临床中应用，均需要用到 假设检验；5. 探讨太阳黑子的规律时，时间序列分析7. 在生物学中研究群体的增长问题时 提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多过程 来描述;6. 研究化学反应的时变率，要以 马尔可夫 方法非常有用;变量非线性生灭过程；4. 电子系统的设计离不开 可靠性估计; 8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到

3、的知识就是 排队论.目前，概率统计理论 进入其他科学领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域 ，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用 概率统计方法. 正如 拉普拉斯所说 : “ 生活中最重要的问题 ，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”第一章 随机事件的概率一、随机试验1.试验：(1) 各种各样的科学试验 (2) 对某一事物的某种特性的观察2022/7/1071.1 随机事件与样本空间2. 随机试验(试验)： 具有如下特征的试验: (1) 在相同的条件下可以重复进行; (2) 每次试验出现的结果事先不可预言， 但可明确所有可能结果的范围. 2022/7/108 投掷一

4、颗匀称的骰子, 观察其出现的点数. E1 记录某电话交换台在一天内接到的呼叫次数. E2 在一批灯泡中任取一只，测试它的寿命. E3举例 用字母 或 表示一个试验。二、随机事件1.随机事件(事件)： 在试验中可能发生，也可能不发生的结果.2022/7/109例:试验E1中，随机事件 A=“出现偶数点”和B=“出现的点数大于4” ；试验中E2，“接到500次呼叫”和“呼叫次数不超过20”是随机事件；试验E3中，“灯泡的寿命超过100h”和“灯泡寿命在300h500h之间” 是随机事件。用字母A, B, C,或A1, A2, A3等表示随机事件。2. 基本事件：试验中的每一个可能结果都是一个最简单

5、 的随机事件。 2022/7/1010(1) 常用小写字母 或 等表示基本事件. ei=“出现i点”, i=1,2,6. ei是基本事件;例: 在试验E1中,(2) 随机事件由若干基本事件组成的。(3) 随机事件发生 组成这一随机事件的基本事件有一个发生。2022/7/10113. 必然事件：在试验中必然会发生的事件，记为S或； 不可能事件：不可能发生的事件，记为 。 (必然事件和不可能事件并不是随机事件， 当作特殊的随机事件。)例如：在试验E1中, “出现的点数大于0”是必然事件S；“出现的点数小于1”是不可能事件。三、样本空间1.定义 试验的全部基本事件组成的集合， 称为试验的样本空间，记

6、为 或 。 (1) 试验的基本事件：是样本空间的元素(样本点)。(2) 随机事件是样本空间的子集。(3) 不可能事件表示空集，必然事件表示样本空间。2022/7/1012例如：试验E1,E2,E3的样本空间分别为：2022/7/1013 A 包含于B 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B S 且1. 事件的包含2. 事件的相等四、随机事件的关系和运算（集合论）2022/7/1014或 事件 A与事件B 至少有一个发生A+B发生的和事件 的和事件 A 与B 的和事件S3. 事件的并(和)例: 在试验E1中2022/7/1015 或事件 A与事件B 同时发生AB发生的积事件 的积事件 A 与

7、B 的积事件 4. 事件的交(积)AB例: 在试验E1中2022/7/1016发生 事件 A 发生，但事件 B 不发生 A 与B 的差事件5. 事件的差2022/7/1017A、 B不可能同时发生AB互不相容互不相容6. 事件的互不相容( 互斥)2022/7/1018 A 与B 互相对立A称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互不相容”是不同的概念7. 事件的对立(逆事件的概念)2022/7/10198. 完备事件组若 互不相容，且则称 为完备事件组或称 为S的一个划分2022/7/1020 吸收律运算律重余律差化积幂等律2022/7/1021交换律

8、结合律分配律对应事件运算集合运算2022/7/1022B CAB CA分配律 图 示A2022/7/1023 反演律运算顺序: 逆交并差，括号优先 德莫根(De Morgan)公式 特别地: 2022/7/1024例2 重复投掷一枚匀称的硬币三次，记录投掷结果。 设Ai=“第i次投掷出现正面”，i=1,2,3. 试用A1，A2，A3描述样本空间S和下列各个事件：(1)只第一次出现正面(B1)；(2)只出现一次正面(B2)；(3)至少出现一次正面(B3)；(4)出现正面不多于一次(B4)。(1)(2)2022/7/1025(3)(4)2022/7/1026例3 对于任意两事件A，B，下面正确的是

9、(1) (A+ B)-B =A(2) (A- B)-B =A-2B(3) A(A+ B)-B =A-B2022/7/1027一次试验中，随机事件可能发生，也可能不发生。1.2 概率的定义及性质重复多次试验，某些事件发生的次数多， 某些事件发生的次数少。因此，在每次试验中，事件发生的可能性不同。2022/7/1028 那么数P(A)称为事件A的概率， 它是事件A发生可能性的度量. (1)P(A)的大小表示事件A发生的可能性的大小； (2)P(A)是事件A所固有的，不随人们的主观意志而改变的一种度量.对于事件A，如果实数P(A)满足:问题提出： 如何度量事件发生可能性的大小？2022/7/1029

10、2 频率的性质:(2)(3) 若事件A1, A2, , Am互不相容，则 (1) 对任意随机事件A，1 频率的定义:设某试验重复做了n次，事件A共发生了nA次，则称比值 为n次试验中事件A发生的频率，即1.2.3 概率的统计定义2022/7/10303 有关频率的试验结果：书中 P.9:(1)事件A发生的频率fn(A)是随着试验次数n而变化的不确定的数； 当试验次数n逐渐增大时， 频率总是在某确定的常数 附近摆动，并且逐渐稳定于该常数。(2) 事件A发生的概率 4 统计概率的定义： 若随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)在某个常数p(0p1)附近摆动，并且逐渐稳定于p，则称该常数p

11、为事件A的概率，即P(A)=p。并把这样定义的概率称为统计概率（经验概率）。（古典概率）2022/7/10316 统计概率的性质 事件A的频率fn(A)近似代替A发生的概率P(A) ， 即（第六章的贝努里大数定理给出了理论依据）.5 概率的近似求法:2022/7/1032设古典概型型E中的事件A包含k个基本事件，则称 为事件A的概率。1 古典型随机试验： 设(1)样本空间只包含有限个基本事件， 即 (2)每个基本事件发生的可能性相等， 即 则称这种试验为古典型随机试验，简称古典概型。 1.2.1 概率的古典定义概率的这种定义称为概率的古典定义或古典概率。2 古典概率的定义（计算公式）：2022

12、/7/1033排列数记号：全排列数记号： 组合数记号： (1)乘法原理：设完成一件事有个步骤,第1步有 种方法,第2步有 种方法,第n步有 种方法,必须通过所有步骤完成这件事,则完成这件事共有 种方法.2022/7/1034 (3)不同元素的重复排列：从n个不同的元素中,有放回地取出m个元素排成一列,称为重复排列,共有 种. (4)环排列：从n个不同的元素中,选出m 个不同元素排成一个圆圈,称为环排列,共有 种. .(2)加法原理：设完成一件事有n类方法,每类分别有 种方法 ,则完成这件事可以有种方法.2022/7/10353 古典概率的性质(2)(3) 若事件A1,A2,Am互不相容，则 (

13、1) 对任意随机事件A，有限可加性证：设事件含有个基本事件， 2022/7/1036例1 设一袋中有m个黑球和n个白球, （不放回抽样） 现从中连续取球，每次取1个，取后无放回, 求第i次 取得黑球的概率。解： 设A=“第i次取得黑球”,表明：摸得黑球的概率与摸球的先后次序无关。这个结论与我们日常的生活经验是一致的.例如进行抽签, 机会均等与抽签的先后次序无关。解1解2（不放回取到第i次为止）2022/7/1037例2 盒内装有5个红球，3个白球。从中任取两个， 求: 取到两个相同颜色的球的概率。解：设A“取到两个相同颜色的球”B“取到两个红球” , C“取到两个白球”2022/7/10381

14、.2.2. 概率的几何定义问题的提出(古典概率的局限性):基本事件有无穷多个而又具有某种等可能性的一类随机试验，需要用几何方法来引进概率的几何定义。例1 在长1米的线段内随机投放质点, 求质点与两端点的距离相差不超过0.2米的概率.1 几何概型:设S是一个可度量的有界区域(如：线段，平面有界区域，空间有界区域等)，向区域S内投掷一质点，观察质点位置。若质点落在S内的任意子区域A内的可能性大小与A的度量(记作L(A) )成正比，而与A的位置和形状无关，则称此试验为几何型随机试验，简称几何概型。2022/7/1039“等可能性”2022/7/10402 几何概率的定义:设几何概型的样本空间为S ，

15、 A是含于S内的任一随机事件，即AS，其中L(A)是事件A的度量，L(S)是样本空间S的度量。则称为事件A的概率。2022/7/10413 几何概率的性质(2)(3) (有限可加性)若事件A1,A2,Am互不相容，则 (1) 对任意随机事件A，(4) (可列可加性)若事件A1,A2,Am 互不相容，则 2022/7/1042例1 在长1米的线段内随机投放质点, 求质点与两端点的距离相差不超过0.2米的概率.解2022/7/1043例2在半径为R的圆内,取定一直径,过直径上任一点作垂直于此直径的弦,求弦长小于 的概率.解 设则.2022/7/1044例3 (约会问题)两人约定于8时至9时在某地会

16、面。 先到者等候20分钟，过时就离去。 试求两人能见面的概率。解：设两人到达的时间分别为8时x分，8时y分。 则设A=“两人能见面”,则向区域S内任意投掷质点，质点落入区域A的概率。2022/7/1045定义 设P(A)是定义在试验E的全体事件(包含和S)所组成的集合F上的一个实值函数。若P(A)满足下列三个性质： (1) 对每一个AF,成立0 P(A) 1; (2) P(S)=1； (3) 对互不相容的 则称P(A)为事件A的概率。1.2.4 概率的公理化定义2022/7/1046由定义可以推导出概率还具有下列几个性质：(4) 不可能事件的概率为0，即P()=0;(5)概率具有有限可加性,即

17、若A1，A2，An互不相容,则(6)对任意事件A,有2022/7/1047(7)若BA，则且 A= B +(A-B)，B ,(A-B)互不相容 P(A)= P(B) +P(A-B)， P(A-B) = P(A)-P(B)02022/7/1048(8)对任意事件A,B有 A+ B =A+(B-AB)，A，B-AB互不相容 P(A+ B) =P(A)+P(B-AB)， =P(A)+P(B)-P(AB)，2022/7/1049 例1：已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/9 则事件A，B，C 全不发生的概率

18、为 . 例2：已知 P ( A ) = 0.5, P ( A-B ) =0.2 则P ( A-B ) =P(A-AB)=P(A)-P(AB) 例3 从佩戴号码为1-10号的10个乒乓球运动员中任选4人 参加比赛。求这4个运动员中（1）最大号码为6号的概率； （2）偶数号码不少于3个的概率； （3）至少有1个号码为奇数的概率。2022/7/1050例4 将r个有区别的球，随机放入n个不同的盒子。 (每盒容纳球的个数不限)求（1）某一指定的盒子不多于2个球的概率； （2）至少有一个盒子多于1个球的概率; 2022/7/1051（1）设Ai =“某一指定的盒子有 i个球”； i=0,1,2由乘法原理知，r个球有nr种不同放法,基本事件总数为nr。( 3 ) 恰有一盒多于一个