量子力学课件：第三章 量子力学原理(Ⅱ)力学量算符及量子条件

1、3.1 算符及其运算规则 3.2 力学量用算符表示3.3 几个基本的力学量算符3.4 量子条件 3.5 两个力学量同时有确定值的条件 3.6 体系的守恒量 第三章 量子力学原理() 力学量算符及量子条件3.1 算符及其运算规则3.1-1 黑伯特空间及算符3.1-2 量子力学中常用的几类算符（1）单位算符 （2）零算符（3）算符相等 （4）算符之和（5）算符数乘和乘积 （6）交换律结合律（7）对易关系单位算符:零算符：算符相等：算符之和：运算: 作用于(波)函数3.1-1 算符的基本性质算符数乘：算符相乘：算符相加满足：交换律：结合律：一般不满足交换律：算符对易子：算符与通常数运算规则不同之处若

2、称 对易，此时若称 不对易对易子的恒等式(1) 线性算符满足如下运算规律的算符微商运算, 积分算符都是线性算符开方运算、对数运算就不是线性算符(2) 逆算符设 对 作用的结果为即若 有作用则称 互为逆算符，记为3.1-2 量子力学中常见的几类算符注：复共轭：把算符表达式中的所有量换成复共轭量如(3) 厄密共轭算符若记即定义内积即因为有(4) 么正算符 满足下面条件的算符性质：对任意两个矢量作用，不改变这两个矢量的内积故不改变矢量的模和相互正交矢量的正交性(5) 厄密算符两个性质：有1) 厄密算符的本征值全是实数设 的本征值方程为取代入到(29)式中，有：实数(29)2) 厄密算符的相应于不同本

3、征值的本征矢量必定正交代入到上面的积分式中，有：正交对于两个不同的本征值和本征矢量仅证明非简并情况3.2 力学量用算符表示3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值3.2-2 力学量的可能取值3.2-3 力学量在体系一个运动状态下可能 取值的几率分布3.2-4 表示力学量算符必须满足的条件3.2-5 量子力学的第三条假设坐标和动量的期望值 (及势能，动能，哈密顿量)任意力学量的期望值为有经典对应的力学量：其算符为3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值 没有经典的力学量对应：设算符表示为期望值仍为某时刻在体系一个状态下测量力学量 ，测量值有一系列的可能取值，所有可能取值构成可能值谱；

4、可能取值有确定的几率分布。若测量时某取值 的几率为1，其它的均为零，记为力学量 有确定值的状态：3.2-2 力学量的可能取值在具有确定值 的状态 下，力学量 的期望值 ,而且均方偏差 等于零，即设算符 线性厄密，上式可写成上式成立的充要条件为此为力学量 的本征值方程一个力学量算符 的所有本征值就是这个力学量 的所有可能取值 若体系处于力学量算符 的一个本征函数描述的状态下， 将有确定值即该本征函数对应的本征值。设力学量 的本征值谱完全分立，记为本征函数组记为设本征函数组没有简并且已正交归一化，即将体系任一运动状态的波函数作展开，即求展开系数3.2-3 力学量在体系一个运动状态下 可能取值的几率

5、分布两边乘以有所以的物理意义：1）将展开式代入归一化表达式中有2）将展开式代入到 的期望值公式中，有量子力学假设：展开系数 的绝对值平方 是体系在由归一化波函数 描述的运动状态下，在时刻t，力学量 取值为 的几率。(参见补例2.4-2)1）线性算符：态叠加原理决定2）厄密算符：力学量算符的本征值为测量力学量的可能取值，应为实数。厄密算符的本征值是实数3.2-4 量子力学算符必须满足的条件厄密算符的期望值为实数3）本征函数组构成完备组3.2-5 量子力学的第三条假设微观体系的力学量由体系运动状态波函数张开的黑伯特空间中相应的线性厄密、并且其本征函数组构成完备组的算符表示。含义是:1. 一个力学量

6、算符的本征值谱给出这个力学量 的所有可能取值;2. 体系的一个运动状态的归一化波函数按一个 力学量算符的正交归一化本征函数完备组展 开,式中展开系数的绝对值平方给出体系的这 个力学量在这个运动状态下取所有可能取值 的几率分布;3. 可以计算出这个力学量在这个运动状态下的 期望值.3.3 几个基本的力学量3.3-1 坐标算符及坐标算符的函数3.3-2 动量算符及动量算符的函数3.3-3 体系的哈密顿算符3.3-4 角动量算符3.3-3 宇称算符坐标算符：直角坐标系分量：3.3-1 坐标算符及坐标算符的函数坐标算符 满足本征值方程正交归一化函数：有性质：坐标算符的函数：如势能函数三维空间：其本征值

7、方程为本征值方程分别为这里动量算符：直角坐标系分量：3.3-2 动量算符及动量算符的函数一维运动： 的本征值方程为归一化的本征函数为本征值在区域 连续取值正交归一化三维空间正交归一化动能算符动量算符的函数本征值方程哈密顿算符3.3-3 体系的哈密顿算符本征值方程3.3-4 角动量算符直角坐标系分量角动量平方算符坐标变换xz球 坐 标ry得？给出 和 在球坐标系中的表达式计算 和 的本征函数和本征值即的本征值方程：此方程就是球谐函数方程其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述，其结论是：满足波函数标准条件，要求方程的解是球谐函数式中 是缔合勒让德多项式是归一化常数，由归一化条件确定可得角动量平方

8、算符的本征值谱为本征函数为本征值方程本征值的简并度为算符 的本征值方程方程的解解应单值，需满足所以m 容许的取值为本征值谱为 ，正交归一化正交归一化的本征函数组故故算符 和 有共同的正交归一化本征函数完备组正交归一化也是算符 的本征函数，其中例3.3-1 平面转子和空间转子一质量为 的质点在 平面上绕固定点 (坐标原点)并与 点保持恒定距离 运动，该体系称为平面转子。平面转子的哈密顿算符为本征值方程为能量的本征值谱为本征函数组为如果该质点在 三维空间中绕固定点 (坐标原点)并与点保持恒定距离 运动，该体系则称为空间转子。空间转子的哈密顿算符为本征函数组为能量的本征值谱为没有经典对应3.3-5

9、宇称算符坐标空间反演性质：定义即设本征值方程为再作用，有求 本征值谱和本征函数组左边右边球坐标系本征值谱将本征值回代到本征值方程中，有偶函数 是 的本征值为1的本征函数奇函数 是 的本征值为1的本征函数任意波函数波函数的宇称当本征值方程宇称3.4-1 基本量子条件3.4-2 两个有经典对应的力学量算符之 间的对易关系3.4-4 量子力学的第四条假设3.4 量子条件3.4-1 基本量子条件坐标算符和动量算符之间的对易关系其余的均为零验证又 是任意的其余的类似验证考虑到3.4-2 两个有经典对应的力学量算符 之间的对易关系设两个力学量 F 和 G对应的算符为其对易子 的计算:幂级数展开角动量分量算

10、符的对易关系利用基本量子条件和恒等式证：同理合记为角动量平方算符的对易关系同理定义非厄密算符非幺正算符3.4-3对易关系关系式力学量算符之间有确定的对易关系，称为量子条件3.4-4 量子力学的第四条假设坐标算符的三个直角坐标系分量 和动量算符的三个直角坐标系分量 之间的对易关系为称为基本量子条件3.5 两个力学量同时有确定值的条件3.5-1 两个力学量算符对易是它们有共同 的本征函数完备组的充要条件3.5-2 两个力学量算符不对易与测不准关系必要条件:3.5-1 两个力学量算符对易是它们有共同的本征函数完备组的充要条件设两个力学量算符 和 有一组共同的本征函数完备组 。设本征值谱是分立的。即因

11、为 是特定函数, 非任意波函数此时将任一状态波函数 按本征函数完备组则展开为因为 是任意波函数充分条件:两个力学量算符对易， 则此二个算符有共同的本征函数完备组证:设的本征函数组为(非简并情况)即 也是 的一个本征函数,与 一样,本征值亦为考察应只与 差一个常数因子故 的本征函数组是 的共同本征函数组所以 也是 的本征函数本征值分别为(简并情况略)例1：例2：两两不对易,没有共同的本征函数组分别对易,有共同的本征函数组的共同的本征函数组为问题：按上面证明， 有共同的本征函数；也有共同的本征函数，故 有共同的本征函数？设两算符对易关系为：记引入实参量 的辅助积分显然3.5-2 两个力学量算符不对

12、易与测不准关系该不等式成立的条件是其中：满足两个不对易算符方均根偏差关系式测不准关系最后有：其中：坐标和动量的测不准关系简记为海森堡测不准关系3.6 体系的守恒量3.6-1 力学量的期望值随时间的变化3.6-2 体系的守恒量3.6-3 体系的力学量完全集合期望值根据薛定谔方程3.6-1 力学量的期望值随时间的变化代入有随t的变化规律若力学量 不显含t且和 对易,即则性质: 可能取值的几率分布也不随时间变化证明：若 为守恒量,则所以具有共同的本征函数组对于任一波函数，作展开3.6-2 体系的守恒量相应的几率展开系数为:即则能量是守恒量。动量 是守恒量有不随时间变化例3.6-1：体系的哈密顿算符 如果与时间无关， 则体系的能量是守恒量例3.6-2：粒子自由运动，哈密顿算符为角动量分量算符与动量分量算符的对易关系:自证其中意义：Levi-Civita 符号及所以可推出都是守恒量宇称：又 与t无关,故宇称守恒例3.