新高一2022年暑假讲义第2讲 集合的表示（解析版）

1、第2讲：集合的表示【学习目标】1初步掌握集合的两种表示方法列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用;2会用集合的两种表示方法表示一些简单集合【基础知识】一、集合的表示（1）列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法（2）描述法一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法（3）Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图【考点剖析】考点一：用列举法表示集合例1用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于的非负偶数组成的集合；(2)小于的质数组成的集合；(3)方程的实数根组成的集合；(4)方程组

2、的解集.解：(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A0,2,4,6,8,10(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B2,3,5,7(3)方程x22x30的实数根为1,3，所以C1,3(4)方程组eq blcrc (avs4alco1(xy4，,xy2)的解为eq blcrc (avs4alco1(x3，,y1.)所以方程组的解集D(3,1)变式训练1：用列举法表示下列集合：(1)方程的所有实数解组成的集合；(2)直线与轴的交点所组成的集合；(3)由所有正整数构成的集合解：(1)方程x22x的解是x0或x2，所以方程的解组成的集合为0,2(2)将x0代入y2x1，得y1，即

3、交点是(0,1)，故交点组成的集合是(0,1)(3)正整数有1,2,3，所求集合为1,2,3，考点二：用描述法表示集合文字描述；式子描述例2用描述法表示下列集合：(1)不等式的解组成的集合；(2)被除余的正整数的集合；(3)；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.解：(1)不等式2x31的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x31，则Ax|2x31，即Ax|x2(2)设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ.但元素为正整数，故x3n2，nN.所以被3除余2的正整数的集合Bx|x3n2，nN(3)设偶数为x，则x2n，nZ.但元素是2,4,6,8,10，所以

4、x2n，n5，nN*.所以Cx|x2n，n5，nN*(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x0，故第二象限内的点的集合为D(x，y)|x0变式训练1：用描述法表示下列集合：(1)比大又比小的实数组成的集合；(2)不等式的所有解；(3)到两坐标轴距离相等的点的集合解：(1)可以表示成xR|1x10(2)可以表示成x|3x42x，即x|x4(3)可以表示成(x，y)|xy0考点三：集合的表示综合例3下列命题中正确的（ ）与表示同一个集合；由组成的集合可表示为或；方程的所有解的集合可表示为；集合可以用列举法表示A只有和B只有和C只有D以上语句都不对C【详解】0表示元素为0的

5、集合，而0只表示一个元素，故错误；符合集合中元素的无序性，正确；不符合集合中元素的互异性，错误；中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示故选：C.变式训练1：方程组的解集是（ ）ABCDD【详解】，两式相加可得，所以，将代入可得，所以，所以方程组的解集是，故选：D变式训练2：下列集合恰有个元素的集合是（ ）ABCDC【详解】不是集合；,所以选C.变式训练3：已知集合，若，则实数的值为_.或【详解】因为，则或或，当时，符合题意；当时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，或（舍）当时，符合题意；综上所述：或，故或考点四：元素个数相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）例4设集

6、合，则中元素的个数为（ ）A3B4C5D6B【详解】时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素故选：B变式训练1：已知集合，则集合中元素的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个C【详解】因为集合，所以集合，故选：C变式训练2：设集合，则中元素的个数为（ ）A3B4C5D6C【详解】因为，所以当时，由可得：；当时，由可得：；当时，由可得：，当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，所以,因此中元素的个数为5.故选：C变式训练3：集合，则中元素的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个C【详解】由已知得，又，所以中元素的个数为个故选：C.考点五：元素个数（求参）相同元素根据互异性，只能计算一个（

7、主要考查互异性）例5已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）ABCDD【详解】解：当时，此时满足条件；当时，中只有一个元素的话，解得，综上，的取值集合为，故选：D变式训练1：已知集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是（ ）ABCDA【详解】当时，符合题意；当时，若集合中有且只有一个元素，则，解得；所以实数的取值集合是.故选：A变式训练2：式子的所有可能取值组成的集合为_.【详解】因为，所以，当时，当时，所以式子的所有可能取值组成的集合为，故变式训练3：已知集合.（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围（1）；（2）当时

8、，；当时，；（3）.【详解】（1）若A是空集，则方程无解此时9-8a0即a所以的取值范围为（2）若A中只有一个元素则方程有且只有一个实根当a0时方程为一元一次方程，满足条件当a0，此时98a0，解得：a0或a当时，；当时，（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是.考点六：集合新定义例6给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论：集合为闭集合；集合为闭集合；若集合、为闭集合，则为闭集合其中正确结论的个数是（ ）ABCDB【详解】对于命题，取，则，则集合不是闭集合，错误；对于命题，任取、，则存在、，使得，且，所以

9、，所以，集合为闭集合，正确；对于命题，若集合、为闭集合，取，则或，取，则，所以，集合不是闭集合，错误.因此，正确的结论个数为.故选：B.变式训练1：已知集合中的元素均为整数，对于，如果且，那么称是的一个“孤立元”给定集合，由中的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个答案：6解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8，共6个变式训练2：已知集合(1)若，则是否存在，使成立？(2)对于任意，是否一定存在，使？证明你的结论解：(1)设m6k33k13k2(kZ

10、)，令a3k1(kZ)，b3k2(kZ)，则mab.故若mM，则存在aA，bB，使mab成立(2)设a3k1，b3l2，k，lZ，则ab3(kl)3，k，lZ.当kl2p(pZ)时，ab6p3M，此时存在mM，使abm成立；当kl2p1(pZ)时，ab6p6M，此时不存在mM，使abm成立故对于任意aA，bB，不一定存在mM，使abm.【过关检测】1、若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ）ABCDB【详解】由可得，用列举法表示为：，故选：B.2、已知集合，则集合中所含元素的个数为（ ）ABCDD【详解】因为集合，所以共含有10个元素.故选：D.3、已知集合，则集合等于（ ）ABCDB【详

11、解】因为，所以，当时，；当时，；当时，；当时，所以，故选：B4、已知，则实数的值为（ ）A1或B1CD或0C【详解】当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意；当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.故选：C5、下列四个命题：是空集；若，则；集合含有两个元素；集合是有限集其中正确命题的个数是（ ）A1B2C3D0D【详解】0是含有一个元素0的集合，不是空集，所以不正确；当a0时，0N，所以不正确；因为由x22x10，得x1x21，所以xR|x22x101，所以不正确；当x为正整数的倒数时，N，所以是无限集，所以不正确故选：D6、若集合中只有一个元素，则实数的值为

12、（ ）ABCD或D【详解】当时，合乎题意；当时，关于的方程有两个相等的实根，则，解得.综上所述，或.故选：D.7、设是一个数集，且至少含有两个元素若对任意的，都有(除数)，则称是一个数域，例如有理数集是一个数域，有下列说法正确的是（ ）A数域必含有两个数；B整数集是数域；C若有理数集，则数集必为数域；D数域必为无限集AD【详解】数集P有两个元素m，N，则一定有mm0，1(设m0)，A正确；因为1Z，2Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集，则，但，所以C不正确；数域中有1，一定有112，123，递推下去，可知数域必为无限集，D正确故选：AD8、设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、

13、（除数）则称数集是一个数域例如有理数集是数域；数集也是数域下列命题是真命题的是（ ）A整数集是数域B若有理数集，则数集必为数域C数域必为无限集D存在无穷多个数域CD【详解】要满足对四种运算的封闭，逐个检验；A.对除法如Z不满足，所以排除；B.当有理数集增加一个元素得，而不属于集合，所以不是一个数域,排除；C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确；D.把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，所以正确.故选:CD.9、用适当的方法表示下列集合：（1）大于且小于的有理数组成的集合（2）的正因数组成的集合（3）自然数的平方组成的集合（4）由这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合（1）用描述法表示为x|2x5且xQ（2）用列举法表示为1，2，3，4，6，8，12，24（3）用描述法表示为x|x=n2，nN（4）用列举法表示为0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，20110、已知集合（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.（1）或；（2）；（3）或.【详解】解：（1）若中只有一个元素，则当时，原方程变为，此时符合题意，当时，方程为二元一次方程，即，故当或时，原方程只有一个解；（2）