二次根式与一元二次方程复习与练习

1、WORD格式PAGE1 / NUMPAGES241/15二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a_0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如ba（a0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a中的被开方数a，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a0.2.二次根式的基本性质（1）a_0（a_0）；（2）22a_（a_0）；（3）aa_aa_0_0；（4）ab_（a_0，b_0）；（5）ab_（a_0，b_0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_；（2）被开方数中

2、所有因式的幂的指数都_.4.二次根式的乘、除法则：（1）乘法法则：ab=_（a_0，b_0）；（2）除法法则：ab_（a_0，b_0）.2复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用aaaaaa00进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_后，如果_相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_，然后把_进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_，第二步

3、是_，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：358；2/15（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再_，最后_，有括号的先_内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算

4、的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1二次根式有意义的条件例1若式子3x4在实数X围内有意义，则x的取值X围是（）A.x43B.x43C.x34D.x34方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.2二次根式的性质例2下列各式中，正确的是（）2B.332D.332C.332A.332方法总结：aa成立的条件是a0，而在化简2a时，先要判断a的正负情况.3二次根式的非负性例3已知y2x552x3，则2xy的值为（）A.15B.15C.152D.152方法总结：二次根式a（a0）具

5、有双重非负性，即a0、a0.4最简二次根式例4下列二次根式中，最简二次根式是（）A.15B.0.5C.5D.50方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.5二次根式的运算例5计算241813_.3/15方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6二次根式的化简求值例6若2013m，则2014152m2013m43m的值是_.方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数

6、是2的整式方程。例1、（1）、下列方程中是一元二次方程是（）1A、2xx2B、2x67C、225xyD、23x5x202、一元二次方程的一般形式：20(0)axbxca二次项：，一次项：，常数项：。二次项系数：，一次项系数：。例2、（1）、方程x(x+4)=8x+12的一般形式是；二次项是一次项是，常数项是。（2）.关于x的一元二次方程axx是一元二次方程，则a满足（）21220A.a1B.a1C.a1D.为任意实数|mxm（3）、若方程(m2)x310是关于x的一元二次方程，则（）Am2Bm=2Cm=2Dm2（4）、下列方程中,常数项为零的是()A.x2+x=1B.2x2-x-12=12；C

7、.2(x2-1)=3(x-1)D.2(x2+1)=x+23.一元二次方程的解法1、因式分解法移项：使方程右边为0因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组适用能因式分解由A?B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程2aa2、直接开平方法(0)xx1ax2a适用无一次项的xb2aa(0)xba解两个一元一次方程3、配方法移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号）同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）配方：方程两边加上一次项系数一半的平方开平方：注意别忘根号和正负4/15方程：解两个一元一次方程4、公式法将方程化为一般式写出a、b、c2，求出b4ac若b2-

8、4ac0，则原方程无实数解若b2-4ac0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式xb2b2a4acx=24bbac2a求解若b2-4ac0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式xb2a求解。2x例4、（1）、若关X的一元二次方程(k1)x630有实数根，则实数k的取值X围（）A.k4,且k1B.k4,且k1C.k4D.k42bxc（2）.已知一元二次方程已知一元二次方程ax0，若abc0，则该方程一定有一个根为（）A.0B.1C.-1D.22（3）.关于x的一元二次方程xkx1=0的根的情况是()A、有两个不相等的同号实数根B、有两个不相等的异号实数根C、有两个相等的实数根D、没有实数根（4

9、）.关于x的一元二次方程22a1xxa10的一个根是0，则a值为（）A、1B、1C、1或1D、12（5）.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值X围是()A.k-74B.k-74且k0C.k-74D.k74且k0例5、(1)利用因式分解法解下列方程(x2)2(2x-3)23x(x1)3x3528x5160 x(2)、利用开平方法解下列方程12(2y1)2152=25(32)2424（x-3）x5/15(3)、利用配方法解下列方程25220 xx2x3x61202xx23990(4)、利用公式法解下列方程23x22x2402x（x3）=x33x2+5(2x+1)=05

10、、根与系数的关系：20(0)axbxcaxx12baxx12ca11x1，x2x22x10 xx例5、（1）.已知是方程的两个根，则等于_.122x（2）、已知一元二次方程2310 x的两根为x1、x2，则x1x2（3）、已知x，1x是方程22630 xx的两实数根，则xx21xx12的值为_（4）已知方程22(2)240 xmxm两根的平方和比两根的积大21，求m的值。6、一元二次方程的应用（要注意实际问题不能取负数）（1）二次三项式的因式分解2bxca若一元二次方程ax0(0)的两个实数根为x1，x2，则二次三项式2bxca2bxcaxxxxax(0)在实数X围内可分解因式写成：ax(1)

11、(2)6/15当b24ac0，二次三项式在实数X围内分解因式为：2bxca(xx)(xx)ax12当b24ac=0，二次三项式在实数X围内分解因式为：2bxca(xx)2ax12当b4ac0，二次三项式在实数X围内不能分解因式（2）一元二次方程的实际应用二、典型例题精讲与练习1、填空题：（1）写一个有两个不相等的实数根的一元二次方程，这个方程可以是（2）已知方程2x22mx60的一个根为-2，则m=，它的另一个根是2xk（3）已知关于x的方程(12k)x2110有两个不相等的实数根，则k的取值X围是2、在实数X围内将下列二次三项式分解因式：（1）2x25x3(2)3x25xy2y22xy(3)

12、2(2xy)3(2)52xa3、已知关于x的一元二次方程210 x没有实数根，试判断关于x的一元二次2axa方程1x根的情况，并说明理由。2kxk4、已知关于x的一元二次方程2x(2)20有两个相等的实数根，求k的值及这时方程的根。7/152nm2n225、已知m，n为实数，且(m)(1)20，的值？3mn，求22(mn)及2(mn)2kxk6、求证：不论k为何值，关于x的方程x(21)30总有两个不相等的实数根。2xm27、一元二次方程m1x10有一个解为0，求2m1的值。8、一元二次方程的实际应用例6、（1）、某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分

13、率是多少？若设平均每月增长的百分率是x，则列出的方程是（）2（A）501x72（B）501x501x722（C）501x272（D）501x72（2）、原价a元的某商品经过两次降价后，现售价b元，如果每次降价的百分比都为x，那么下列各式中正确的是（）2Aa12xb；Ba1xb；2Cb12xa；Db1xa。（3）、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？8/15（4）.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求

14、平均每次降价率是多少？（5）.关山超市销售某种电视机，每台进货价为2500元，经过市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台电视机，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元?（1）一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今天每台售价为12150元，每年降价的百分率相同.（1）求每年降价的百分率是多少？（2）如果吴云是在去年购买这种笔记本电脑的，那么与今年的售价相比，她多付了多少元？（6）某通讯公司每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信.已知全公司共发出短信870

15、条，求该公司员工的人数.9/15（7）如图，某单位需要建一个面积为1200平方米飞矩形仓库，计划利用一段50米长的旧墙，新墙只围三边，已知每建造1米新墙需要用500元，建造顶棚等其他费用为1万元，设当被利用的旧墙长度为x米时，仓库的总建设费用为y万元.(1)求y关于x的函数解析式及其定义域.(2)当建设费用为6万元时，求被利用的旧墙的长度是多少米？(8)今年来由于受到国际石油市场的影响，汽油的价格不断上涨.请你根据下列两位的对话，帮助小明计算一下2006年5月份汽油每升的价格.2006年5月份的汽油价格四2005年5月份汽油价格的1.6倍，用150元给汽车加的油量比2005年少18.75升.2

16、006年5元份的汽油每升价格是多少元呢？二次根式、一元二次方程的解法综合练习一、选择题1、下列各式一定是二次根式的是()A7B2xC2y2xD362、下列根式中属最简二次根式的是（）A.21aB.15C.8D.273、下列计算正确的是()A.235B.3332C.22232D.4224、下列计算错误的是()1A.14772B.60523C.9a25a8aD.22210/155、下列方程为一元二次方程的是()132y2A.02xxB.2x503212xx2C.x21D.7024xx6、式子xx12的取值X围是（）A.x1且X2B.x1且x2C.x2D.x17、方程的2650 xx左边配成完全平方

17、式后所得的方程为()A2(x3)14B2(x3)14C21(x6)D以上答案都不对22bxc8、若(a1)x0是关于x的一元二次方程，则（）Aa0Ba1Ca1Da=19、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（）22A若x=4，则x=2B.若3x=6x，则x=2Cx2xk0的一个根是1，则k=2D若分式xx2x的值为零，则x=2或x=010、关于x的一元二次方程220 xx的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法判断2xm11、一元二次方程4260 x有两个相等的实数根，则m等于（）A.2B.3C.4D.512、某厂今年一月份的产量为20吨,第

18、一季度的总产量共85吨,设平均每月增长率是x,根据题意所列的方程为()A、20 x2=85B、20（1+x）=85C、20（1+x）2=85D、20+20（1+x）+20（1+x）2=85D、20+20（1+x）+20（1+x）2=8513、摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一X，全组共互赠了182X，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（）11/15A.x（x1）182；B.x（x1）182；C.2x（x1）182D.12x（x1）18214、方程x29x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）BA12B12或15C15D不能确定15、如图，

19、一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是()A9B10C42D217A2x16三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x680的解，则这个三角形的周长是（）A、11B、13C、11或13D、11和132b2a2b217.若a28，则2b2a（）A2B.4C.4或2D.4或2二、填空题1、计算：123=。2方程22x13x化为一般形式为，一次项系数是。3.如果最简二次根式1a与4a2是同类根式，那么a。2的正确结果是_。4.若x2，化简(x2)3x5.比较大小：32_23（填“”或“”）2的解是；方程x2x30的解是_。6.方程x3x7、在实数X

20、围内分解因式25x；2x8、已知x1是方程ax20的一个根，则a_。9、已知方程x1、x2，则x1+x2，24x30的两根分别为x24x30的两根分别为xxx=。10.若1.212/152010 xx、y为实数，且x2y20，则的值为_y11.x23x_(x_)212、已知关于x的一元二次方程（12k）x2x1=0有实数根，则k的取值X围是_13观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，15，32，,那么第10个数据应是.14.把一元二次方程3x22x3=0化成3（x+m）2=n的形式是；若多项式x2ax+2a3是一个完全平方式，则a=2xx15.当x=时，x3与15既是最简二次根式，被开方数又相同。三、解答题：12x1102()()3(2)2（2）、9xxx621、计算：（1）、34（3）、（2332）2732（23）（23）（4）13（5）（248+327）6（6）112