2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版：第五章 5-4-3

1、5.4.3正切函数的性质与图象学习目标 1.掌握正切函数的周期性和奇偶性.2.能借助单位圆画出ytan x的图象.3.掌握正切函数的性质知识点函数ytan x的图象与性质解析式ytan x图象定义域eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(,2)k，kZ)值域R最小正周期奇偶性奇函数单调性在每个开区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)上都是增函数对称性对称中心eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)思考正切函数ytan x的图象与xkeq f(,2)，kZ有公共点吗？答案没有正切曲线

2、是由被互相平行的直线xkeq f(,2)(kZ)隔开的无穷多支曲线组成的1正切函数的定义域和值域都是R.()2正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心()3正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是xkeq f(,2)，kZ.()4正切函数是增函数()一、正切函数的图象的画法例1我们能用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图，类似地你能画出正切函数ytan x，xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)的简图吗？解 三个关键点：eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，(0,0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，两条平行线：

3、xeq f(,2)，xeq f(,2).反思感悟“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,4)，1)，(k，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,4)，1)，其中kZ；两线分别为直线xkeq f(,2)和直线xkeq f(,2)，其中kZ.(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可二、正切函数的单调性及其应用例2(1)比较下列两个数的大小(用“”或“”填空)：tan eq f(2,7)_ta

4、n eq f(10,7)；tan eq f(6,5)_taneq blc(rc)(avs4alco1(f(13,5).答案解析tan eq f(10,7)tan eq f(3,7)，且0eq f(2,7)eq f(3,7)eq f(,2)，又ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上单调递增，所以tan eq f(2,7)tan eq f(3,7)，即tan eq f(2,7)tan eq f(10,7).tan eq f(6,5)tan eq f(,5)，taneq blc(rc)(avs4alco1(f(13,5)tan eq f(2,5)，因为0eq f(,

5、5)eq f(2,5)eq f(,2)，又ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上单调递增，所以tan eq f(,5)tan eq f(2,5)，则tan eq f(6,5)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(13,5).(2)求函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)的单调递增区间解令zeq f(1,2)xeq f(,4)，则ytan z.由于函数ytan z在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)上是增函数，且zeq f(1,2)xeq f(,4)是增函数，由eq

6、 f(,2)keq f(1,2)xeq f(,4)eq f(,2)k，kZ，解得eq f(3,2)2kxeq f(,2)2k，kZ.所以函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)的单调递增区间为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)2k，f(,2)2k)(kZ)延伸探究求函数y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)的单调递减区间解y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)可化为y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)，由keq f(,2)

7、eq f(1,2)xeq f(,4)keq f(,2)，kZ，得2keq f(,2)x0)的单调区间的求法是把x看成一个整体，解eq f(,2)kxeq f(,2)k，kZ即可当0时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间跟踪训练1求函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)的单调区间解ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)上是增函数，eq f(,2)k2xeq f(,3)eq f(,2)k，kZ，即eq f(,12)eq f(k,2)xeq f(5,12)eq f(k,2)，kZ.函数ytaneq blc(rc)(a

8、vs4alco1(2xf(,3)的单调递增区间是eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)f(k,2)，f(5,12)f(k,2)(kZ)，无单调递减区间三、正切函数图象与性质的综合应用例3设函数f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,3).(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式1f(x)eq r(3)的解集解(1)由eq f(x,2)eq f(,3)eq f(,2)k(kZ)，得xeq f(5,3)2k(kZ)，所以f(x)的定义域是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(

9、xf(5,3)2k，kZ).因为eq f(1,2)，所以最小正周期Teq f(,)eq f(,f(1,2)2.由eq f(,2)keq f(x,2)eq f(,3)eq f(,2)k(kZ)，得eq f(,3)2kxeq f(5,3)2k(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间是eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2k，f(5,3)2k)(kZ)，无单调递减区间由eq f(x,2)eq f(,3)eq f(k,2)(kZ)，得xkeq f(2,3)(kZ)，故函数f(x)的对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(kf(2,3)，0)，kZ.(2)由1taneq blc

10、(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,3)eq r(3)，得eq f(,4)keq f(x,2)eq f(,3)eq f(,3)k(kZ)，解得eq f(,6)2kxeq f(4,3)2k(kZ)所以不等式1f(x)eq r(3)的解集是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(,6)2kxf(4,3)2k，kZ).反思感悟解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)，不存在对称轴(2)单调性：正切函数在每个eq blc(rc)(avs4alco1

11、(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的跟踪训练2关于x的函数f(x)tan(x)有以下几种说法：对任意的，f(x)都是非奇非偶函数；f(x)的图象关于eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)对称；f(x)的图象关于(，0)对称；f(x)是以为最小正周期的周期函数其中不正确的说法的序号是_答案解析若取k(kZ)，则f(x)tan x，此时，f(x)为奇函数，所以错；观察正切函数ytan x的图象，可知ytan x关于eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)对称，令xeq f(k,2)得xeq f(k,2

12、)，分别令k1,2知，正确，显然正确1函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)的最小正周期为()A2 B C.eq f(,2) D.eq f(,4)答案C解析根据周期公式计算得Teq f(,)eq f(,2)，故选C.2函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的定义域是()A.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(,4) B.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(,4)C.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf

13、(,4)，kZ) D.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(3,4)，kZ)答案D解析由xeq f(,4)keq f(,2)(kZ)得xkeq f(3,4)，kZ.3函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,5)的一个对称中心是()A(0,0) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,5)，0) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，0) D(，0)答案C解析令xeq f(,5)eq f(k,2)，得xeq f(k,2)eq f(,5)，kZ，所以函数ytaneq blc(rc)(avs4alc

14、o1(xf(,5)的对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)f(,5)，0)，kZ.令k2，可得函数的一个对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，0).4函数ytan(x)，xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,3)的值域为_答案(eq r(3)，1)解析ytan(x)tan x，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,3)上为减函数，所以值域为(eq r(3)，1)5比较大小：tan eq f(13,4)_tan eq f(17,5).答案解析因为tan eq f(13,4)tan eq f(,4

15、)，tan eq f(17,5)tan eq f(2,5)，又0eq f(,4)eq f(2,5)eq f(,2)，ytan x在eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)内单调递增，所以tan eq f(,4)tan eq f(2,5)，即tan eq f(13,4)tan eq f(17,5).1知识清单：(1)正切函数图象的画法；(2)正切函数的性质2方法归纳：三点两线法，整体代换，换元3常见误区：最小正周期Teq f(,|)，在定义域内不单调，对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)1函数f(x)2tan(x)是()A奇函数B偶函数C既

16、是奇函数，也是偶函数D非奇非偶函数答案A解析f(x)2tan xf(x)，为奇函数2f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的单调减区间是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kf(,2)，kZB(k，(k1)，kZC.eq blc(rc)(avs4alco1(kf(3,4)，kf(,4)，kZD.eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,4)，kf(3,4)，kZ答案C解析令eq f(,2)kxeq f(,4)eq f(,2)k，kZ，解得eq f(3,4)kx0)的图象上的相邻两支曲线截直线y1所得的线段长为eq f(,4).则

17、的值是()A1 B2 C4 D8答案C解析由题意可得f(x)的最小正周期为eq f(,4)，则eq f(,)eq f(,4)，4.4若f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)，则()Af(0)f(1)f(1) Bf(0)f(1)f(1)Cf(1)f(0)f(1) Df(1)f(0)f(1)答案A解析f(x)在keq f(,2)xeq f(,4)keq f(,2)，kZ，即keq f(3,4)xkeq f(,4)，kZ上是增函数，且周期为，f(1)f(1)，eq f(3,4)110eq f(,4)，f(1)f(1)f(1)f(1)5下列关于函数ytaneq blc(r

18、c)(avs4alco1(xf(,3)的说法正确的是()A在区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(5,6)上单调递增B最小正周期是C图象关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)成中心对称D图象关于直线xeq f(,6)成轴对称考点正切函数周期性与对称性题点正切函数周期性与对称性答案B解析令keq f(,2)xeq f(,3)keq f(,2)，kZ，解得keq f(5,6)xkeq f(,6)，kZ，显然eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(5,6)不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为，故B正确；令xeq f(

19、,3)eq f(k,2)，kZ，解得xeq f(k,2)eq f(,3)，kZ，任取k值不能得到xeq f(,4)，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)的图象也没有对称轴，故D错误故选B.6函数y3taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的最小正周期是eq f(,2)，则_.答案2解析Teq f(,|)eq f(,2)，2.7函数yeq r(1tan x)的定义域为_答案eq blc(rc(avs4alco1(kf(,2)，kf(,4)(kZ)8函数y2taneq blc(rc)(avs4alco1(3xf

20、(,4)5的单调递增区间是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,3)f(,4)，f(k,3)f(,12)，kZ解析令keq f(,2)3xeq f(,4)keq f(,2)(kZ)，得eq f(k,3)eq f(,4)xeq f(k,3)eq f(,12)(kZ)9设函数f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,3)f(,3).(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图解(1)eq f(1,3)，最小正周期Teq f(,)eq f(,f(1,3)3.令eq f(x,3)eq f(,3)eq f(k,2)(kZ)，

21、得xeq f(3k,2)(kZ)，f(x)的对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3k,2)，0)(kZ)(2)令eq f(x,3)eq f(,3)0，则x；令eq f(x,3)eq f(,3)eq f(,2)，则xeq f(5,2)；令eq f(x,3)eq f(,3)eq f(,2)，则xeq f(,2).函数ytaneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,3)f(,3)的图象与x轴的一个交点坐标是(，0)，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是xeq f(,2)，xeq f(5,2)，从而得到函数yf(x)在一个周期eq blc(rc)(avs4alc

22、o1(f(,2)，f(5,2)内的简图(如图).10已知函数f(x)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(x,4).(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f()与feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)的大小解(1)因为f(x)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(x,4)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,4)f(,6)，所以Teq f(,)eq f(,f(1,4)4.由keq f(,2)eq f(x,4)eq f(,6)keq f(,2)(kZ)，得4keq f(4,3)x4keq

23、f(8,3)(kZ)因为y3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,4)f(,6)在eq blc(rc)(avs4alco1(4kf(4,3)，4kf(8,3)(kZ)内单调递增，所以f(x)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(x,4)f(,6)在eq blc(rc)(avs4alco1(4kf(4,3)，4kf(8,3)(kZ)内单调递减故原函数的最小正周期为4.单调递减区间为eq blc(rc)(avs4alco1(4kf(4,3)，4kf(8,3)(kZ)(2)f()3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,4)3taneq bl

24、c(rc)(avs4alco1(f(,12)3tan eq f(,12)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(3,8)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(5,24)3taneq f(5,24)，因为0eq f(,12)eq f(5,24)eq f(,2)，且ytan x 在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上单调递增，所以tan eq f(,12)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2).11若f(n)tan eq f(n,3)(nN*)，则f(1)f(2

25、)f(2 019)等于()Aeq r(3) B.eq r(3) C0 D2eq r(3)答案C解析由题意可知，Teq f(,f(,3)3，f(1)eq r(3)，f(2)eq r(3)，f(3)0f(1)f(2)f(3)0，故f(1)f(2)f(2 019)67300.12已知函数ytan x在区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)内是减函数，则()A01 B10C1 D1答案B解析ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)内是减函数，0且Teq blc|rc|(avs4alco1(f(,)，10，0，|f(,2)的图象与x轴相

26、交的两相邻点的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)，0)，且过点(0，3)，则f(x)_，f(x)eq r(3)的x的取值范围为_答案3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(2k,3)f(5,18)，f(2k,3)f(,2)(kZ)解析由题意可得f(x)的周期为Teq f(5,6)eq f(,6)eq f(2,3)eq f(,)，所以eq f(3,2)，得f(x)Ataneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x)，它的

27、图象过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)，所以taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f(,6)0，即taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)0，所以eq f(,4)k(kZ)，得keq f(,4)，kZ，又|eq f(,2)，所以eq f(,4)，于是f(x)Ataneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4)，它的图象过点(0，3)，所以Ataneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)3，得A3.所以f(x)3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4).由3taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4)eq r(3)，所以taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)xf(,4)eq f(r(3),3)，得keq f(,6)eq f(3,2)xeq f(,4)keq