2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版：第五章 5-3(二)

1、5.3诱导公式(二)学习目标 1.了解公式五和公式六的推导方法.2.能够准确记忆公式五和公式六.3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明知识点一公式五1角eq f(,2)与角的终边关于直线yx对称，如图所示2公式：sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos ，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin .思考设是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角的终边关于直线yx对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？答案P2(y，x)知识点二公式六1公式：sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos ，c

2、oseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin .2公式五与公式六中角的联系eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2).思考如何由公式四及公式五推导公式六？答案sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sineq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos ，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)coseq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,2)coseq blc(rc)(avs

3、4alco1(f(,2)sin .预习小测自我检验1若cos Aeq f(1,2)，那么sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)A) .答案eq f(1,2)2已知sin eq f(2,3)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2) .答案eq f(2,3)解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin eq f(2,3).3已知sin eq f(3,5)，为第二象限角，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) .答案eq f(3,5)4若eq f(,2)且sin eq f(1,5)，则cos .答案eq f(1

4、,5)解析因为eq f(,2)，所以eq f(,2)，所以cos coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin eq f(1,5).一、化简求值例1(1)已知cos 31m，则sin 239tan 149的值是()A.eq f(1m2,m) B.eq r(1m2)Ceq f(1m2,m) Deq r(1m2)答案B解析sin 239tan 149sin(18059)tan(18031)sin 59(tan 31)sin(9031)(tan 31)cos 31(tan 31)sin 31eq r(1cos231)eq r(1m2).(2)已知sineq blc(rc)(avs

5、4alco1(f(,3)eq f(1,2)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)的值为 答案eq f(1,2)解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,2).延伸探究1将本例(2)的条件中的“”改为“”，求coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)的值解coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(

6、,2)f(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,2).2将本例(2)增加条件“是第三象限角”，求sineq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)的值解因为是第三象限角，所以是第二象限角，又sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,2)，所以eq f(,3)是第二象限角，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(r(3),2)，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sineq blc(rc)(avs4a

7、lco1(f(,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(r(3),2).反思感悟解决化简求值问题的策略：(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化提醒：常见的互余关系有：eq f(,3)与eq f(,6)，eq f(,4)与eq f(,4)等；常见的互补关系有：eq f(,3)与eq f(2,3)，eq f(,4)与eq f(3,4)等跟踪训练1(1)已知sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3)，则coseq blc(r

8、c)(avs4alco1(f(,4)的值等于()A.eq f(2r(2),3) Beq f(2r(2),3) C.eq f(1,3) Deq f(1,3)答案D解析coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3).(2)已知sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)eq f(1,5)，那么cos 等于()Aeq f(2,5) Beq f(1,5) C.eq f(1,5) D.eq f(2,5)

9、答案C解析sineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos eq f(1,5).二、证明恒等式例2求证：eq f(2sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)1,12sin2)eq f(tan91,tan1).证明左边eq f(2cos sin 1,cos2sin2)eq f(sin cos 2,cos sin cos sin )eq f(sin cos ,sin cos )eq f(tan 1,

10、tan 1)，右边eq f(tan 1,tan 1)，所以原等式成立反思感悟三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法跟踪训练2求证：eq f(cos2,cossinblc(rc)(avs4alco1(f(,2)sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(cos,cos blcrc(avs4alco1(sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)1)eq f(2,sin2).

11、证明左边eq f(cos ,cos cos cos )eq f(cos ,cos cos 1)eq f(1,1cos )eq f(1,1cos )eq f(1cos 1cos ,1cos 1cos )eq f(2,1cos2)eq f(2,sin2)右边，原等式成立三、诱导公式的综合应用例3已知cos eq f(4,5)，且为第三象限角(1)求sin 的值；(2)求f()eq f(tansinsinblc(rc)(avs4alco1(f(,2),cos)的值解(1)因为为第三象限角，所以sin eq r(1cos2)eq f(3,5).(2)f()eq f(tan sin cos ,cos )

12、tan sin eq f(sin ,cos )sin eq f(sin2,cos )eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)eq f(9,20).延伸探究1本例条件不变，求f()eq f(sin5cosblc(rc)(avs4alco1(f(7,2)tan,tan19sin)的值解f()eq f(sin sin tan ,tan sin )sin eq f(3,5).2本例条件中“cos eq f(4,5)”改为“的终边与单位圆交于点Peq blc(rc)(avs4alco1(m，f(r(15),4)”，“第三象限”改为“第

13、二象限”，试求eq f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2),sinsinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)1)的值解由题意知m2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(15),4)21，解得m2eq f(1,16)，因为为第二象限角，故m0，所以meq f(1,4)，所以sin eq f(r(15),4)，cos eq f(1,4).原式eq f(cos ,sin cos 1)eq f(f(1,4),f(r(15),4)f(1,4)1)eq f(3r(15),6).反思感悟用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行

14、的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少(2)对于和eq f(,2)这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名跟踪训练3已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点Peq blc(rc)(avs4alco1(a，f(3,5)，求eq f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2),2cosblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)的值解因为角的终边在第二象限且与单位圆相交于点Peq blc(rc)(avs4alco1(a，f(3,5)，所以a2eq f(9,25)1

15、(a0)，所以aeq f(4,5)，所以sin eq f(3,5)，cos eq f(4,5)，所以原式eq f(cos 2cos ,2sin )eq f(3,2)eq f(cos ,sin )eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(f(4,5),f(3,5)2.1sin 95cos 175的值为()Asin 5 Bcos 5C0 D2sin 5答案C解析原式cos 5cos 50.2已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(r(3),2)，且|eq f(,2)，则tan 等于()Aeq f(r(3),3) B.eq f(r(3),3) C

16、eq r(3) D.eq r(3)答案C3若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案B解析由于sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos 0，所以角的终边落在第二象限，故选B.4若cos eq f(1,5)，且是第四象限角，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2) .答案eq f(2r(6),5)解析由题意得sin eq r(1cos2)eq f(2r(6),5)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)sin eq f(2r(6),5).5

17、化简：sin()coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos() .答案1解析原式sin sin cos cos 1.1知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明2方法归纳：奇变偶不变，符号看象限3常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造1已知sin 25.3a，则cos 64.7等于()Aa Ba Ca2 D.eq r(1a2)答案A解析cos 64.7cos(9025.3)sin 25.3a.2若sin(3)eq f(1,2)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)等于()Aeq

18、 f(1,2) B.eq f(1,2) C.eq f(r(3),2) Deq f(r(3),2)答案A解析sin(3)sin eq f(1,2)，sin eq f(1,2).coseq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin eq f(1,2).3若sin(180)cos(90)a，则cos(270)2sin(360)的值是()Aeq f(2a,3) Beq f(3a,2) C.eq f(2a,3) D.eq f(3a,2)答案B解析由sin(180)cos(9

19、0)a，得sin sin a，即sin eq f(a,2).cos(270)2sin(360)sin 2sin 3sin eq f(3,2)a.4如果角的终边经过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，f(4,5)，那么sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos()tan(2)等于()Aeq f(4,3) B.eq f(4,3) C.eq f(3,4) Deq f(3,4)答案B解析易知sin eq f(4,5)，cos eq f(3,5)，tan eq f(4,3).原式cos cos tan eq f(4,3).5已知sineq blc(rc)(av

20、s4alco1(f(,3)eq f(3,5)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)的值是()Aeq f(3,5) B.eq f(3,5) C.eq f(4,5) Deq f(4,5)答案B解析因为coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(3,5)，故选B.6已知sin eq f(3,5)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) .答案eq f(3,5)解析coseq

21、 blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin eq f(3,5).7sin21sin22sin245sin288sin289 .答案eq f(5,2)解析原式(sin21sin289)(sin22sin288)sin245(sin21cos21)(sin22cos22)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)211eq f(1,2)eq f(5,2).8已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(a

22、vs4alco1(f(,2)，则eq f(sincos,5cosblc(rc)(avs4alco1(f(5,2)3sinblc(rc)(avs4alco1(f(7,2) .答案eq f(1,7)解析因为coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，所以sin 2cos .原式eq f(sin cos ,5sin 3cos )eq f(2cos cos ,10cos 3cos )eq f(1,7).9已知sin()cos()eq f(r(2),3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，求下列各式的值：(1)

23、sin cos ；(2)sin3eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos3eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2).解(1)由sin()cos()eq f(r(2),3)，得sin cos eq f(r(2),3)，两边平方整理得2sin cos eq f(7,9)，又eq f(,2)0，cos 0，sin cos eq r(sin cos 2)eq r(1f(7,9)eq f(4,3).(2)sin3eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos3eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos3sin3(cos sin )(cos2cos

24、 sin sin2)eq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(7,18)eq f(22,27).10已知sin 是方程5x27x60的根，且为第三象限角，求：eq f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)tan22tan,cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)的值解5x27x60的根为x2或xeq f(3,5)，sin eq f(3,5).又为第三象限角，cos eq r(1sin2)eq f(4,5).tan eq f(3,4).原

25、式eq f(cos cos tan2tan ,sin sin )tan eq f(3,4).11已知为锐角，2tan()3coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)5，tan()6sin()1，则sin 等于()A.eq f(3r(5),5) B.eq f(3r(7),7)C.eq f(3r(10),10) D.eq f(1,3)考点综合运用诱导公式化简与求值题点综合运用诱导公式求值答案C解析由题意，得eq blcrc (avs4alco1(2tan 3sin 5，,tan 6sin 1，)解得tan 3，又为锐角，sin2cos21，可得sin eq f(3r(10),10)

26、.12化简：eq f(sin5cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos8,sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)sin4)等于()Asin Bsin Ccos Dcos 答案A解析原式eq f(sincosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)cos ,cos sin)eq f(sin sin cos ,cos sin )sin .13若sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)eq f(1,3)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(7,12) .答案eq f(1,3)解析coseq blc(rc)(avs4alco

27、1(f(7,12)coseq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,12)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)eq f(1,3).14已知sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,3)，则sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) ， coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6) .答案eq f(1,3)eq f(1,3)解析sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sineq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1