专题平面向量的概念及线性运算教师版

1、专题 20平面向量的概念及线性运算知识梳理1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量 的大小叫做向量的长度(或模)，记AB作|AB|.(2) 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的向量：长度等于 1 个长度的向量叫做(3)向量(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0 与任一向量平行(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6) 相反向量：与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量规定零向量的相反向量仍是零向量2. 向量加法与减法运算(1) 向量的加

2、法定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则：三角形法则；平行四边形法则运算律：abba；(ab)ca(bc) 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. 了解向量的线性运算性质及其几何意义掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件(2) 向量的减法 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 法则：三角形法则3. 向量的数乘运算及其几何意义实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下： |a|a； 当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方

3、向相反；当 0 时，a0.运算律：设 、R，则： (a)()a； ()aaa； (ab)ab4. 向量共线定理向量 b 与 a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ba.题型讲练题型一平面向量的基本概念例 1给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则 ab；若ABDC，则 A、B、C、D 四点平行四边形；在ABCD 中，一定有 ；ABDC若 mn，np，则 mp；若 ab，bc，则 ac.其中错误题有(填序号)：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确；|a|b|，由于 a 与 b 方向不确定，所以

4、a、b 不一定相等，故不正确； ，可能有A、B、C、D 在一条直线上的情况，所以不正确；零向量与任ABDC一向量平行，故 ab，bc 时，若 b0，则 a 与 c 不一定平行，故不正确【变式 1】设 a0 为向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题个数是：3：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故、也是假命题，填 3.【变式 2】下

5、面有 5 个命题：向量的模都相等；长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；若 a、b 满足|a|b|且 a 与 b 同向，则 ab；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；对任意非零向量 a、b 必有|ab|a|b|.其中正确的是(填序号)：向量的模均为 1，故正确；共线包括同向和反向，故不正确；向量不能比较大小，不正确；根据向量的表示，正确；由向量加法的三角形法则知正确题型二向量的线性表示1 ， 1 ， a， b，用例 2平行四边形 OADB 的对角线交点为 C， BM3BCCN3CDOAOBa、b 表示 、 、 OMONMN.1 1115解：BAab，BM6BA6a6b，OMOB

6、BM6a6b.ODab，ONOC1 1 2 2211CN2OD6OD3OD3a3b.MNONOM2a6b.1 ， ，在ABC 中， ，若 a， b，则 【变式 1】BD2DCAE3EDABACBE(用 a、b 表示)：1a14b23 33 31 31：BEBAAEBA4ADBA4(ABBD)BA4AB4BD4AB431 11 1 11BC4AB4 BAAC)2AB4AC2a4b.，在ABO 中， 1 ， 1 ，AD 与 BC 相交于点 M，设【变式 2】OC4OAOD2OBOAa，OBb.试用 a 和 b 表示向量OM.解：设 manb，OM则 AMOMOAmanba(m1)anb.1 1AD

7、ODOA2OBOAa2b. 与 共线 A、M、D 三点共线， AMAD 存在实数 t，使得 ，AMtAD即(m1)anbta1.2b (m1)anbta12tb.m1t， 消去 t，得 m12n，tn2，即 m2n1.1m1 CMOMOCmanb4a4anb，CBOBOCb4a4ab.11 与 共线 C、M、B 三点共线， CMCB 存在实数 t ，使得CM，t CB11即m1anbt 1 b，a414m11 ，4t14 消去 t ，得 4mn1.1nt1，由得 m1，n3， OMab.77 1 377题型三 共线向量例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线若 ab， 2a8b， 3(ab)

8、求证：A、B、D 三点共线；(1)(2)ABBCCD试确定实数k，使 kab 和 akb 共线 ab， 2a8b， 3(ab)，证明： AB(1)BCCDBDBCCD2a8b3(ab)5(ab)5AB.AB、BD共线又它们有公共点 B，A、B、D 三点共线(2) 解： kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab(akb)，即(k)a(k1)b.又 a、b 是两不共线的非零向量，kk10.k210. k1.【变式 1】已知 a、b 是不共线的向量， ab， ab(、R)，当AB三点共线时 、 满足的条件为：1ACA、B、C：由ABab，ACab(、R)及 A、B、C 三点共线得ABtAC，

9、所以 at，bt(ab)b，即所以 1.1t，【变式 2】已知平面内 O，A，B，C 四点，其中A，B，C 三点共线，且 ，OCxOAyOB则 xy：1 ，即 ， OC (1： A，B，C 三点共线， ACABOCOAOBOA)OAOB，即 x1，y， xy1.题型四向量共线的应用，设O 是ABC 内部一点，且 ，则AOB 与AOC 的例 4OAOC2OB面积之比为1：2，设M 是 AC 的中点，则 OAOC2OM.：又OAOC2OB，OMOB，即O 是 BM 的中点，SAOB1SS1SAOBAOMAOC，即2.2SAOC1AC；在 AB 上取一点 M，使得【变式】如图，ABC 中，在 AC

10、上取一点 N，使 AN31AB；在 BN 的延长线上取点 P，使得 NP1BN；在 CM 的延长线上取点Q，使得 AMMQ32 CM时，APQA，试确定 的值1解： APNPNA2(BNCN)11 2(BNCN)2BC，1 QAMAMQ2BMMC，1 1 又APQA， 2BMMC2BC，1 1即 MC2MC， 2.1 ，在ABC 中， ，若 a， b，则 (用1.BD2DC，AE3EDABACBEa、b 表示)：1a14b23 33 31 31：BEBAAEBA4ADBA4(ABBD)BA4AB4BD4AB431 11 1 11BC4AB4 BAAC)2AB4AC2a4b.2. 设 a、b 是

11、两个不共线向量， 2apb， ab， a2b，若A、B、D 三点共AB线，则实数p 的值为：1BCCD： BDBCCD2ab，又 A、B、D 三点共线， 存在实数 ，使ABBD.22，即 p1.p， 3. 若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足|OBOC|形状为：直角三角形|OBOC2OA|，则ABC 的： OBOC2OAOBOAOCOAABAC，OBOCCBABAC，|ABAC|ABAC|.故 A、B、C 为矩形的三个顶点，ABC 为直角三角形 ，则ABM 与ABC 的面4.若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足 5AMAB3AC积比为3：5课后作业 ，得 3AM3AC2AD2A

12、M ，即 3CM：设 AB 的中点为 D，由 5AMAB3AC3 2MD.，故 C、M、D 三点共线，且MD5CD，也就是ABM 与ABC 对于边AB 的两高之比为 35，则ABM 与ABC 的面积比为3.55. 如图，在ABC 中， 1 ，P 是 BN 上的一点，若 2 ，则实数 m 的AN3NCAPmAB11AC值为： 3111 x ：设 |BP|y，|PN|x，则APANNP4ACBN，APABBPABxy y x y y28，yx 得APABAC，令11，得 y3BNxxy4（xy）4（xy）yx，代入得 m 3 .116. ABC 中，AB 边的高为 CD，若 a， b，ab0，|a|1，|b|2，则 CBCAAD(用 a、b 表示)44：5a5b：如图， ab0，ab， ACB90，ABAC2BC2 5.又 CDAB，AC2ADAB， AD4 55 .4 444 AD5AB5(ab)5a5b.7.