第三章 半导体中的载流子的统计

1、第三章 半导体中的载流子的统计分布 1 1、 状态密度状态密度 2 2、 分布函数分布函数 3 3、 载流子浓度载流子浓度 4 4、 本征半导体本征半导体 5 5、 杂质半导体杂质半导体 6 6、 简并半导体简并半导体基本概念p1 载流子的产生、产生率 a）本征半导体（无杂质缺陷） n0=p0b）杂质半导体产生率：单位时间单位体积 中产生的载流子数。 （反映产生过程的强烈程度）p2 载流子的复合、复合率EcEv产生产生复合复合EDp3 热平衡态：产生率=复合率p4 热平衡载流子： 处于热平衡状态下的电子与空穴。温度建立新的平衡实质：半导体中热平衡载流子浓度的计算。热平衡载流子浓度计算思路p求出

2、能带中单位能量间隔里允许容纳的量子态数状态密度（）区别概念：）空间的状态密度均匀的）能带内的状态密度（） 的函数、随变化（）p允许的量子态上电子占有的几率统计分布规律（）p对整个能带求积分得到整个能带中的电子数p得到的电子数除以晶体体积能带中电子浓度导带中电子浓度)()(ccEEdEEfEgNVNn 03.1状态密度（）p1. 极值点极值点 k0=0，E(k)为球形等能面为球形等能面)(2)(222*2zyxnckkkmhEkE1222222RzRyRx球心位于原点的球体标准方程球心位于原点的球体标准方程1)(*2)(*2)(*2222222hEEmkhEEmkhEEmkCnzCnyCnx32

3、3232323)(*)2(34)(*23434hEEmhEEmRCnCn球的体积：(1) 导带底导带底2, 1, 02, 1, 02, 1, 0zzzyyyxxxnLnknLnknLnk又因为又因为在在k空间中，体积为空间中，体积为1/L3即即1/V的立方体中有一个点，的立方体中有一个点，k空间中代表点的密度为空间中代表点的密度为V。考虑自旋，密度应为考虑自旋，密度应为2V。导带底附近单位能量间隔内的量子态数目,随着电子的能量增加按抛物线关系增大.子数）球内含的量子态数（电23323)(2*)2(34)(CnEEVhmEZVhEEmCn32323)(*)2(38求微分：VdEhEEmEdZCn

4、32123)(*)2(4)(VhEEmdEdZEgCn32123)(*)2(4)(p2、Si、Ge（旋转椭球）lztyxCmkmkkhEkE22222)(3232122)(8343434CtlEEhmmcaabc（电子数）VEEhmmEZCtl2)(834)(323212VdEEEhmmEdZCtl213212)(84)(求微分：VEEhmmdEEdZEgCtl213212)(84)()()()2(4)()()()8(4)(323312232122CdndntlCtlEEhmVEgmmmSEEhmmSVEgS则效质量导带底电子状态密度有设：个椭球：对于p3、Si和Ge的价带状态密度 21232

5、2323)(24)()()(EEhmVEgmmmvdplphpdp2123221232)()(24)()(24)(EEhmVEEhmVEgvlpvhp213232323)()()(24EEhmmVvlphp2/12/32*)()2(4)(kEEvhmVEgpV状态密度与能量的关系EEc1Ev2gc(E)gv(E)2/12/32*)()2(4)(EckEhmVdEdZEgnc3.2 分布函数 p1、费米-狄拉克分布绝对温度费米能级玻尔兹曼常数TEkTkEEEfFF00)exp(11)(p2、费米能级EFl（1）非真实存在的能级，反映电子在能级上分布的一个参 数l（2）影响因素：导带中电子总数、材

6、料本身性质、杂质的杂质的种类浓度、温度种类浓度、温度l（3）计算方法：a）电中性条件l b）粒子数守恒法l（4）热平衡条件下半导体系统的化学势ADpnnp00iiNEf)(系统的自由能系统的化学势:)(FNFETFp3、费米-狄拉克分布函数与温度的关系l（1）T=0时a)在绝对零度，EF可以看成是量子态是否被电子占据的一个界限； b)EF在禁带EEF： f(E)=0 EEF：f(E)=1 绝对温度费米能级玻尔兹曼常数TEkTkEEEfFF00)exp(11)(lT0K时l电子占据费米能级的几率50% EEF： f(E)1/2 EEF：f(E)1/2 E=EF： f(E)=1/2 T EEF：

7、f(E) EEF：f(E) 绝对温度费米能级玻尔兹曼常数TEkTkEEEfFF00)exp(11)(T=0K1/2T2T1ET1T2FE)(Efp例子：l在在EF上下几个上下几个kT的范围内的范围内,费米分布函数费米分布函数(电子占电子占有几率有几率)有很大的变化有很大的变化l费米能级标志了电子填充能级的水平。费米能级费米能级标志了电子填充能级的水平。费米能级高高-较多高能量能级上有电子填充。较多高能量能级上有电子填充。88. 0)(212. 0)(212. 0)(2000EfTkEEEfTkEEEfTkEEFFF绝对温度费米能级玻尔兹曼常数TEkTkEEEfFF00)exp(11)(p4 4

8、 玻尔兹曼分布函数玻尔兹曼分布函数 （1）电子的分布函数 当EEFk0T时，10TkEEFe000001( )( )1FFFE EEEEk Tk Tk Tk TBE Ek Tf EeeeAefEe在这个范围，量子态为电子占据几率很小。在这个范围，量子态为电子占据几率很小。不受泡利不相容原理限制不受泡利不相容原理限制p（2）空穴的分布函数E，空穴占有几率增加；，空穴占有几率增加；EF，空穴占有几率下，空穴占有几率下降，即电子填充水平增高。降，即电子填充水平增高。1111)(1)(00TkEETkEEpFFeeEfEf绝对温度费米能级玻尔兹曼常数TEkTkEEEfFF00)exp(11)(TkET

9、kEEpFBeeEfEEF00)(Tk0时，当p费米能级常位于禁带中，与导带低和价带顶的距离一般远大于k0T。p导带中所有的量子态被占据的几率f(E)远小于1，可以采用波尔兹曼常数描写。p价带中的量子态被空穴占有的几率1- f(E)远小于1，空穴的分布也服从波尔兹曼常数。 满足： 否则称为简并半导体否则称为简并半导体。简并半导体用费米分布函数计算简并半导体用费米分布函数计算FEEkTEkTF或E称为非简并半导体称为非简并半导体p5 非简并半导体的载流子浓度 （1）导带的电子浓度n0 a)能量E-E+dE之间的电子数dNdETkEEEckEhmVdEEfEgdNFdnB)exp()()2(4)(

10、)(02/12/32* b）能量E-E+dE间单位体积中的电子数dETkEEEckEhmVdNdnFdn)exp()()2(402/12/32* c）对Ec-Ec积分得到导带中电子浓度n002/12/32*0)exp()()2(4ccEEFdndETkEEEckEhmnTkTkEEdTkEEEETkTkEckEhmccEEccFcdn0002/102/102/32*)()exp()()2(4002/1002/302/32*)()exp()()exp()2(4ccEEccFcdnTkEEdTkEETkEckETkEETkhm*3/23/21/2002024 ()exp()exp() ( )ccE

11、dncFEmEEnk Txx d xhk T则0cEEk T设x 利用积分公式：02/12de2eV-10约为导带宽TkEEcckTEEcdnoFehTkmn32/30)2(2的结果可以直接应用积分公式则8040室温）026eV(. 00Tk2332/30)2(2ThTkmNdncTkEEccoFeNn0令： 导带有效状态密度导带有效状态密度 只和温度有关只和温度有关 (2)价带中空穴的浓度p032/30)2(2hTkmNdpVTkEEovFVeNp0其中 价带的有效状态密度价带的有效状态密度n0和p0与以下几个因素有关（1） mdn和mdp的影响材料的影响（2）温度T a)NC、NV T b

12、) f(EC) T32/30)2(2hTkmNdpVTkEEccoFeNn0TkEEovFVeNp032/30)2(2hTkmNdnc（3）费米能级EFl EFEC，EC-EF，n0 EF越高，电子的填充水平越高，对应ND较高；l EFEV，EF-EV，p0 EF越低，电子的填充水平越低，对应NA较高。TkEEccoFeNn0TkEEovFVeNp0p6、载流子浓度乘积（n0p0）影响因素:1)费米能级EF？ 无关 2）所含杂质？ 无关 3）温度 有关 4）禁带宽度 有关kTEdpdngemmhkT2/33224kTEVckTEEkTEEcVcogvFFeNNeeNNpn0kTEdpdngem

13、mT2/33例子：n型Si温度改变n0p0变若n0 则p0 一个的增加是以另一个的牺牲为代价的EcEvED应用在常温下，已知施主浓度ND，并且全部电离，求导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0 施主全部电离n0=ND220iioDnnpnNn型半导体在常温下，已知受主浓度NA，并且全部电离，求导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0 受主全部电离p0=NAp型半导体220iioAnnnpN3.3 载流子浓度的计算 导带电子浓度和价带空穴浓度导带底附近电子能态密度为gC(E), 导带电子分布函数f(E)价带顶附近空穴能态密度为gV(E), 价带空穴分布函数1-f(E)单位体积,单位能量间隔内的 导带电子

14、dN/dE= (1/V) gC(E) f(E)= (1/V) gC(E) fB(E)价带空穴 dP/dE= (1/V) gV(E) 1-f(E)= (1/V) gV(E) 1-fB (E)l导带电子浓度：导带电子浓度：l价带空穴浓度：价带空穴浓度：(E)dE(E) f gV1nBCEcEc0dE(E) f(E) gV1pBvEvEv)1 (0积分后积分后, ,得到得到: :导带电子浓度导带电子浓度 导带等效状态密度导带等效状态密度TkEEccoFeNn032/30)2(2hTkmNdnc同样同样, ,价带空穴浓度价带空穴浓度 价带等效状态密度价带等效状态密度32/30)2(2hTkmNdpVT

15、kEEovFVeNp03.4 本征半导体的载流子浓度p1、本征半导体的费米能级oopn TkEEVTkEECvFFCeNeN00TkEENTkEENVFVFCC00lnlnCVVCFNNTkEEEln220CVVVCNNTkEEEln220CViNNTkEln20dndpCViFmmTkNNTkEEln43ln200Ei 为禁带的中心能级，将NC、NV代入：推导EF在禁带中的位置Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo室温时，k0T=0.026evEFEi= 0.008 eVTkmmTkEEdndpiF0031. 0ln43对宽禁带半导体 EFEi 对于窄禁带半导体 EFEi(Eg)G

16、e=0.67ev EFEi对Si、GaAs一样，EFEi对InSb，Eg=0.17ev，EFEip2、本征载流子浓度及其影响因素TkEiooTkEVcogVCgeNNnpneNNpn0020TkEdpdnTkEdpdnTkEoigggVCeTmmemmhTkeNNpnn00022/34/324/32/32022/10)(22ni2=n0p0 热平衡非简并半导体的判据影响ni的因素 (1) mdn、mdp、Eg 材料 （2)T 的影响T，lnT，1/T，ni高温时，在ln ni 1/T 坐标下，近似为一直线。TkETAngi12ln23ln01/Tlnni-Eg/(2k0)TkEdpdnigem

17、mhTkn024/32/32022p3、本征半导体在应用上的限制 （1）纯度达不到 本征激发是载流子的主要来源 杂质原子/总原子 本征载流子/总原子例如: Si：原子密度1023/cm3，室温时，ni=1010/cm3本征载流子/总原子=1010/1023=10-13杂质原子/总原子Si的纯度必须高于（1-10-13）（2）本征载流子浓度随温度变化很大 在室温附近 Si: T 8K ni 一倍 Ge: T 12K ni 一倍本征半导体的电导率不能控制杂质半导体有工作使用范围（一般） Ge100oC Si100oC GaAs450oC p（3）同一温度下同一温度下, Eg, Eg越大越大, n,

18、 ni i越小越小3.5 杂质半导体的载流子浓度p1 1、室温下、室温下, ,载流子浓度和载流子浓度和E EF F的定性图象的定性图象l本征半导体本征半导体: n= pl n型半导体型半导体: npl p型半导体型半导体: pn 图3-6图3-8p2、杂质能级的占据几率杂质能级的占据几率 杂质能级和能带中的能级是有区别的杂质能级和能带中的能级是有区别的 在能带中在能带中, , 每一个能级可容纳二个电子每一个能级可容纳二个电子 然而然而, ,电子或空穴占据杂质能级时电子或空穴占据杂质能级时: : 施主能级可以容纳一个电子施主能级可以容纳一个电子( (这电子很易失去这电子很易失去), ), 这这电

19、子可取不同的自旋态电子可取不同的自旋态 受主能级可以容纳一个空穴受主能级可以容纳一个空穴( (这空穴也易电离这空穴也易电离), ), 这这空穴可取不同的自旋态空穴可取不同的自旋态电子占据电子占据ED的几率的几率:空穴占据空穴占据EA的几率的几率:gD, gA为简并因子分别为为简并因子分别为2和和4。TkEEDFDeEf02111)(kTEEAFAeEf4111)(p3 3、 杂质能级上的电子和空穴浓度杂质能级上的电子和空穴浓度121)(0TkEEDDDDFDeNEfNn120TkEEDDDDFDeNnNn若施主浓度和受主浓度分别为若施主浓度和受主浓度分别为ND、NA，施主能级上的电子浓度施主能

20、级上的电子浓度nD为：为： 未电离的施主浓度未电离的施主浓度电离的施主浓度电离的施主浓度nD+为：为：121)(0TkEEAAAAFAeNEfNpTkEEAAAAAFeNpNp021没有电离的受主浓度没有电离的受主浓度pA为：为：电离的受主浓度电离的受主浓度pA-为：为：DDDDNnNn31,32 EFEDk0T EDEFk0TnD0， nD +ND，施主几乎全电离，施主几乎全电离 EF=EDnD ND ， nD + 0 ，施主几乎不电离，施主几乎不电离TkEEDDDDFDeNEfNn0211)(TkEEDDDDFDeNnNn021l受主相反，受主相反， EF高时，受主全电离；高时，受主全电离

21、；EF低时，低时，受主未电离。受主未电离。lEF高时，施主未电离；高时，施主未电离；EF低时，施主全电离。低时，施主全电离。EF 杂质的电离杂质的电离导带电子或价带空穴导带电子或价带空穴内在联系内在联系p4、杂质半导体载流子浓度和费米能级、杂质半导体载流子浓度和费米能级 带电粒子：电子、空穴、电离的施主和电离的受主带电粒子：电子、空穴、电离的施主和电离的受主 电中性条件电中性条件 一般情况一般情况: n0 + pA- = p0 + nD+ n型半导体型半导体(只考虑施主杂质只考虑施主杂质) n0 = p0 + nD+ p型半导体型半导体(只考虑受主杂质只考虑受主杂质) n0 + pA- = p

22、0 TkEEDTkEEvTkEEATkEEcFDvFAFFceNeNeNeN00002121近似处理（以n型半导体为例）（以不同的温度范围以及不同浓度为分界标准）（1）低温弱电离区（本征激发可忽略）n0=nD+ ，n=nD + ND ，EFED)2ln(222122100000CDDcFTkEEDTkEEDTkEEDTkEEcNNTkEEEeNeNeNeNFDFDFDFc10TkEEFDeEF和温度T的关系 NCT3/2a)T0，b) 的变化特点)2ln(220CDDcFNNTkEEE2DcFEEE232ln21)23(2ln22ln22ln20000CDCDCDCDFNNkTTNNkdTNN

23、dTkNNkdTdEdTdEF232ln20CDFNNkdTdE低温电离区的电子浓度低温电离区的电子浓度 代代EF表达式入表达式入 ，可得对可得对n0的表达式取对数：的表达式取对数：lnn0 常数常数 ED/(2k0T)可以通过实验，计算出电离能可以通过实验，计算出电离能TkEEccoFeNn0kTETkECDDDeTeNNn24/32210C20(2)中间电离区中间电离区仍有电中性条件仍有电中性条件 n = nD + 但但 n=nD + ND 已不再成立已不再成立 在此区域中在此区域中,继续有继续有 T , EF , n 不一定满足10TkEEFDeDDNn32（3）强电离区(大部分杂质电离

24、 本征激发未发生)a）强电离区电子浓度和费米能级强电离区电子浓度和费米能级 EF由T和ND共同决定l 如果T一定， ND， EF ，EF向EC靠近l 如果ND 一定， T ， EF ，EF向Ei靠近DDNnn010TkEEFDe000lnlnFEc Ek TocDcDFCCCDnN eNNNEEk TEk TNNDDNn32EEvEib）饱和电离饱和电离-杂质杂质(几乎几乎)全部电离全部电离饱和电离饱和电离的范围的范围: l 下限下限: 杂质接近全部电离杂质接近全部电离 nD 0.1ND l 上限上限: 本征激发可忽略本征激发可忽略 ni 0.1ND 1 . 020TkECDDDDeNNNnD

25、离化因子TkEENTkEENnTkEEFDDFDDDFD000exp2exp211)(杂质电离程度lT高，ND小，电离程度高lT低，ND大，电离程度小lT高，ND大，具体分析lT低，ND小，具体分析标准：PSi D-=10% ND=31017cm-3若ND=1016cm-3 D-=？ （4）过渡区过渡区 温度继续升高温度继续升高,本征激发已不能忽略本征激发已不能忽略 nD + = ND 电中性条件为电中性条件为: n0 = p0+ ND 仍有仍有 T , EF a）导带电子浓度、价带空穴浓度）导带电子浓度、价带空穴浓度121222020212221220202020000)41 (12)41

26、(122)4(0DiDiiDiDiDDiDiDNnNnnnpNnNnNNnnnNnnpnNnpb）EF表达式表达式求求NC（通过本征情况求（通过本征情况求NC）TkEEccoFeNn0TkEEcicTkEEccioiienNeNnpn000)2()(220000000000iDiFiFiDxxTkEEiTkEEioDTkEEiTkEEiTkEEcTkEEcionNTshkEETkEEshnNeeshxenenpnNenpeneennFiFiFiFiFic）少数载流子浓度）少数载流子浓度ln型半导体型半导体 n0=ND p0=ni2/ND p型半导体型半导体 p0=NA n0=ni2/NAl在饱

27、和区的温度范围内在饱和区的温度范围内,少子浓度将随着温度的升高而迅少子浓度将随着温度的升高而迅速增大速增大.（5）高温本征激发区高温本征激发区iFTkEvciEEeNNnpng022100)(DDNn32EEvEi图3-14NDNAlnni1/TGeSiGaAs（6）一般情况下载流子统计分布（半导体中同时含有一种施主杂质和一种受主杂质的情况）有效杂质浓度和前面只有单一杂质的情况所得的结果只是将杂质浓度换成有效杂质浓度（除了极低温的条件下）3.6 3.6 简并半导体简并半导体n型半导体处于饱和区时NDNC 或 在低温弱电离区某些情况下 费米能级EF会与导带底EC重合或进入导带中0lnDFCCNE

28、Ek TN这种情况下，由费米能级的意义可知：（1）掺杂浓度大（2）导带底附近量子态基本全部被占据泡利不相容原理-必须考虑-必须使用费米分布函数-载流子的简并化-简并半导体1、简并半导体的浓度计算a） EF位于导带中位于导带中 cFccFccETkEEcdnEETkEEcdnEEdEeEEhmdEeEEhmdEEfEgn0011)()2(411)()2(4)()(21323213230可以取半整数和整数费米积分令m1)(12)2(2,0021032/3000eFdeNnhTkmNTkEETkEEmmcdnccFc)(22/1FNnco 图 3-16 -4 -3 -2 -1 -1/2 0 1/2F

29、1/2() 0.016 0.043 0.115 0.29 0.45 0.689 0.99 1 2 3 4 1.396 2.502 3.977 5.771b） EF位于价带中位于价带中 )(202/1TkEEFNpFVVo2、简并化条件非简并： kTEEccoFeNneNeNCkTEEcCF简并： )(22/1FNnco01-4-2024680.205N251020费米经典n()FcoEEk TEFEC2k0T，非简并，非简并2k0TEFEC0，弱简并，弱简并 EFEC0，简并，简并n型半导体的简并条件：型半导体的简并条件：EFEC0p型半导体的简并条件：型半导体的简并条件：EvEF03、简并时的施主浓度简并时的施主浓度 )()21 (22/1FeeNNkTECDDno=n