第七章系统函数

1、系统函数系统函数 系统函数在系统分析中具有重要的地位。系统函数在系统分析中具有重要的地位。 （1）可描述系统的微（差）分方程）可描述系统的微（差）分方程 （2）与冲激（单位序列）响应构成直接变换关系。）与冲激（单位序列）响应构成直接变换关系。 （3）反映时域特性频域特性）反映时域特性频域特性 （4）与框图、信号流图有对应关系）与框图、信号流图有对应关系 （5）完成系统综合）完成系统综合 本章主要内容：本章主要内容： 一、系统函数与系统特性一、系统函数与系统特性 二、系统的稳定性二、系统的稳定性 三、信号流图三、信号流图 四、系统模拟四、系统模拟系统函数与系统特性 主要内容：主要内容： 一、系统

2、的零点与极点一、系统的零点与极点 二、系统函数与时域响应二、系统函数与时域响应 三、系统函数与频域响应三、系统函数与频域响应一、系统的零点与极点一、系统的零点与极点 LTILTI系统的系统函数是复变量系统的系统函数是复变量s s或或z z的有理分式的有理分式, ,它是它是s s或或z z的有理多项式的有理多项式B() B() 与与A () A () 之比。之比。)()()( ABH对于连续系统对于连续系统niimjjmnnnmmmmpssbasasasbsbsbsbsAsBsH1101110111)()(.)()()( 对于离散系统对于离散系统niimjjmnnnmmmmpzzbazazazb

3、zbzbzbzAzBzH1101110111)()(.)()()(A()=0A()=0的根的根p p1 1，p p2 2，p pn n称为系统函数称为系统函数H()H()的的极点；极点； B()=0B()=0的根的根 1 1， 2 2， m m称为称为系统函数系统函数H H（）的零点的零点 极点极点p pi i和零点和零点i i的值可能是实数、虚数或复数。的值可能是实数、虚数或复数。由于由于A()A()和和 B()B()的系数都是实数，所以零、极点若为虚数或复数，的系数都是实数，所以零、极点若为虚数或复数，则必共轭成对。则必共轭成对。 例例1、已知系统函数如下所示，请求出系统的、已知系统函数如

4、下所示，请求出系统的零、极点，并画出其分布图零、极点，并画出其分布图) 1() 1()2(2)(22ssssH解：零点：2；极点：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j将零点、极点画在复平面上得到零、极点分布图（2） j j -j -1 -2极点用“”表示；零点用“o”表示。本题：由本题：由H(s)得到零极点图得到零极点图 例例2、已知H(s)的零、极点分布图如下图所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表达式。 j j2 -j2 -1解：极点p1-1j2;p2=-1-j2 零点0所以52)21)(21()(2ssksjsjskssH根据初值定理，有252lim)(lim)0(22kssksss

5、Hhss522)(2ssssH本题：由零极点图得到本题：由零极点图得到H(s)二、系统函数二、系统函数H()与时域响应与时域响应h() 冲激响应或单位序列响应的函数形式由冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。的极点确定。 下面讨论下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。极点的位置与其时域响应的函数形式。所讨论系统均为因果系统。所讨论系统均为因果系统。1连续因果系统连续因果系统 H(s)按其极点在按其极点在s平面上的位置可分为平面上的位置可分为:在左半开平在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。面、虚轴和右半开平面三类。 （1）在左半平面）在左半平面 若系统函数有若系统函数

6、有负实单极点负实单极点p= (0)，则，则A(s)中有因中有因子子(s+)，其所对应的响应函数为，其所对应的响应函数为Ke-t(t) (b) 若有若有一对共轭复极点一对共轭复极点p12=-j，则，则A(s)中有因中有因子子(s+)2+2-K e-tcos(t+)(t) (c) 若有若有r重极点重极点，则则A(s)中有因子中有因子(s+)r或或(s+)2+2r，其响应为，其响应为Kiti e-t(t)或或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,1,2,r-1) 以上三种情况：当以上三种情况：当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。暂态分量。暂态分量。 （2）在虚轴上）在虚轴上 (a)单极点单

7、极点p=0或或p12=j，则响应为则响应为K(t)或或Kcos(t+)(t)-稳态分量稳态分量 (b) r重极点重极点，相应，相应A(s)中有中有sr或或(s2+2)r，其响应函数为，其响应函数为Kiti(t)或或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)递增函数递增函数 （3）在右半开平面在右半开平面 ：均为均为递增函数递增函数。 综合结论综合结论：LTI连续因果系统的连续因果系统的h(t)的函数形式由的函数形式由H(s)的极点确定。的极点确定。 H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当即当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。

8、 H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。 H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。对应的响应函数都是递增的。即当即当t时，响应均趋于时，响应均趋于。 2离散因果系统离散因果系统 H(z)按其极点在按其极点在z平面上的位置可分为平面上的位置可分为:在在单位圆内单位圆内、在在单位圆上单位圆上和在和在单位圆外单位圆外三类。三类。根据根据z与与s的对应关系，有的对应关系，有结论结论： H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。在单位圆内的极点所对应的响应序

9、列为衰减的。即当即当k时，响应均趋于时，响应均趋于0。 H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。态响应。 H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当所对应的响应序列都是递增的。即当k时，响应均时，响应均趋于趋于。 系统函数的收敛域与其极点的关系：系统函数的收敛域与其极点的关系： 根据收敛域的定义，H(.)收敛域不能含收敛域不能含H(.)的极点。的极点。 例3、某离散系统函数为35 . 0)(zzzzzH（1）若系统为因果系统，求单位序列响应h(k)；（2）若系统

10、为反因果系统，求单位序列响应h(k) ；（3） 若系统为双边序列，求单位序列响应h(k) ；解解： （1）因为系统为因果系统，所以收敛域为|Z|3; 所以)(3)21()(kkhkk（2）因为系统为反因果系统，所以收敛域为|Z|1/2; 所以) 1(3)21()(kkhkk（3）因为系统为双边序列，所以收敛域为1/2|Z|0niimjjmpssbsAsBsH11)()()()()(结论结论：1 1）LTILTI连续系统的自由响应（书连续系统的自由响应（书P 42 P 42 ）、冲击响应的函数形）、冲击响应的函数形式由式由H(s)H(s)的极点确定。的极点确定。2 2）H(s)H(s)在左半开平

11、面的极点所对应的响应函数是衰减的，在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的， 当当t - t - 时，对应的响应函数趋近于零。极点全部在左半时，对应的响应函数趋近于零。极点全部在左半平面的系统是平面的系统是稳定的系统稳定的系统（见（见7.27.2）。）。3 3）H(s)H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化。化。4 4） H(s)H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或在右半开平面上的在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或在右半开平面上的极点，其所对应的响应函数都随极点，其所对应的响应函数都随t t的增长而增大，当的增长而增大，当

12、t t趋于无限时，趋于无限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。见书P2372、离散系统、离散系统 离散系统的系统函数离散系统的系统函数H(z)H(z)的极点，按其在的极点，按其在z z平面的位置平面的位置可分为：可分为：在单位圆内、单位圆上和单位圆外三类。在单位圆内、单位圆上和单位圆外三类。S S域与域与Z Z域的关系域的关系zTsezsTln1,T为取样周期S表示为直角坐标形式,jsjTjTTjeeeez)(TeT,Z表示为坐极标形式可见，可见，S平面的左半平面(0)对应Z平面的圆内(|Z|= 时，对应的响应序列趋近于零。极点全部在时，对应的响

13、应序列趋近于零。极点全部在 单单位圆内的系统是稳定的系统。位圆内的系统是稳定的系统。3)、 H(z)H(z)在单位圆上的一阶极点对应的响应序列的幅度不随在单位圆上的一阶极点对应的响应序列的幅度不随时间变化。时间变化。4)、 H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点或在单位圆外的极点，其所对应的响应序列都随k的增长而增大，当k趋于无限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。三、系统函数与频域响应三、系统函数与频域响应 在在s s平面上，任意复数（常数或变数）都可以平面上，任意复数（常数或变数）都可以用有向线段表示用有向线段表示j j i pi jj oAiBj零、极点矢量图零、极点矢量图)(

14、)(| )()(11iinjjmmjspjjbsHjH1、连续系统、连续系统要求系统函数的极点都在左半开平面要求系统函数的极点都在左半开平面 对于任意极点对于任意极点 p pi i和零点和零点j j 令令jijjjjiieBjeApj式中式中Ai、Bj分别是差矢量（分别是差矢量（ j-pi)和（和（ j- j ） 的模，的模， i、 j 是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：)()(21)(21)()(2121jjnjmmejHeAAAeBBBbjHnm 相频响应：相频响应：式中幅频响应式中幅频响应：nmmAAABBBbjH 2121)( )()()(21

15、21nm 提示：提示：把频率把频率 从从0（或（或- ）变化到）变化到+ ,根据各矢量根据各矢量模和幅角的变化，就可大致画出幅频响应和相频响模和幅角的变化，就可大致画出幅频响应和相频响应曲线。应曲线。 例例1、某线性系统的系统函数的零、极点如图所示,已知H(0)=1。 (1)求该系统的冲激响应和阶跃响应 (2)若该系统的零状态响应为)(2121)(32teeetytttzs求其激励求其激励(3)大致画出系统的幅频特性和相频特性 j -1 -2 -3 0 解解:(1) 根据零极点图，得根据零极点图，得)3)(2()(ssksH因为H(0)=1K=62626)3)(2(6)(sssssH)(21

16、)()()()(6)(32032teedhtgteethttttt（2）) 1(61)()()()3)(2)(1(1)(ssHsYzssFssssYzs)(61)(tetft (3)因为极点均在左半开平面，所以因为极点均在左半开平面，所以) 3)(2(6| )()(jjsHjHjsjjjejwHeAeA| )(|62121根据上式可分别画出其幅频曲线和相频曲线 j -1 -2 -3 0A1A221-8-6-4-202468-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5)(|6| )(|2121AAjH-80-60-40-2002040608000.10.20.30.40.50.60.

17、70.80.91-80-60-40-20020406080-4-3-2-101234幅频曲线相频曲线 全通函数：全通函数： 如果系统的幅频响应如果系统的幅频响应| |H H( (jj) )对所有的对所有的均为常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函均为常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。数称为全通函数。 以二阶系统为例说明。以二阶系统为例说明。如有二阶系统，其系统函数在左平面有如有二阶系统，其系统函数在左平面有 一对共轭极点：一对共轭极点： p p1,21,2= = j j ，令，令s s1 1= =p p1 1， s s2 2= =p p2 2，它在右半平面上，它在右半平

18、面上有一对共轭零点有一对共轭零点 1 1= = j= sj= s1 1， 2 2= = j= sj= s2 2，那么系统函数的零点和极点对于那么系统函数的零点和极点对于jj轴是镜像对称的。轴是镜像对称的。其系统函数可写为：其系统函数可写为：)()()()()(*11*112121sssssssssssssssssH 其频率特性为：其频率特性为：对所有的对所有的有有A A1 1=B=B1 1， A A2 2=B=B2 2，所以幅频特性，所以幅频特性)(21212121212)()()( jeAABBsjsjsjsjjH1)( jH相频特性：相频特性：)2arctan(22)(2222121 上述

19、幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平上述幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函数称为全通函数。等地传输，因而被称为全通系统，其系统函数称为全通函数。无失真传输？无失真传输？1 1 jjoA1B1s2 -s1-s222s1A2B22 1H| j |H| j |() ()如下图所示：如下图所示： 最小相移函数最小相移函数:右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。最小相移函数。全通函数全通函数:若系统的幅频响应若系统的幅频响应| H(j)|为常数，则称为为常数，则称为全通系统全通系统，其相应的其相应的H(s)称为称为全通函数全通函

20、数。凡极点位于左半开平面，零点位。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。的系统函数即为全通函数。 2、离散因果系统的频率响应、离散因果系统的频率响应 若H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上也收敛，频率响应为：)()(| )()(11ijnijjmjmezjpeebzHeHj式中式中 Ts, 为原来信号的角频率，为原来信号的角频率， Ts为取样周期为取样周期系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的系统系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的系统函数函数 例7.1-2 某离散

21、因果系统的系统函数13) 1(2)(zzzH求其频率响应。求其频率响应。解：解：由H(z)的表达式可知，其极点在p=1/3处，故收敛域包括单位圆，系统的频率响应（= Ts）)3()(213) 1(2| )()(222222jjjjjjjjezjeeeeeeeezHeHj)2tan(12)2sin(4)2cos(2)2cos(4jj 其幅频响应为)2(tan412| )(|2jeH相频响应为)2tan(2arctan)(响应曲线？响应曲线？ 01234567-2-1.5-1-0.500.511.52一、系统的因果性一、系统的因果性 因果系统因果系统指的是，系统的零状态响应指的是，系统的零状态响应

22、y yzszs()()不出现不出现于激励于激励f f()()之前的系统。即对于任意的之前的系统。即对于任意的f(.)=0,t(f(.)=0,t(或或k)0,k)0,如果系统的零状态响应都有如果系统的零状态响应都有y yzszs(.)=0,t(.)=0,t(或或k)0k)0; 00 ; 0=0 ?系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性离散因果系统的充分和必要条件是：离散因果系统的充分和必要条件是：0, 0)(kkh或者，系统函数或者，系统函数H H( (z z) )的收敛域为的收敛域为0z即其收敛域为半径等于0的圆外区域，或者说H(z)的极点都在收敛圆|z|= 0内部二、系统的稳定性二、系统的

23、稳定性一个系统（连续的或离散的），如果对任意的有界输入，一个系统（连续的或离散的），如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定的系统，输出稳定的系统，简称为稳定系统。简称为稳定系统。也就是说，设也就是说，设M Mf f，M My y为正常数，如果系统对于所有的激励为正常数，如果系统对于所有的激励fMf )(其零状态响应其零状态响应yzsMy)(则称则称该系统是稳定的该系统是稳定的。 连续系统是稳定系统的连续系统是稳定系统的充分充分和必要条件：和必要条件： Mdtth )( 0)(Mdtth连续因果系统离散系统是

24、稳定系统的充分和必要条件离散系统是稳定系统的充分和必要条件： kMkh)( 0)(kMkh离散因果离散因果系统系统 若若H(z)H(z)的收敛域的收敛域包括单位圆包括单位圆，则系统是稳定的；，则系统是稳定的； 对于既是稳定的又是因果的连续系统，其系统对于既是稳定的又是因果的连续系统，其系统函数函数 H H( (s s) )的极点都在的极点都在s s平面的平面的左半开平面左半开平面；其；其逆也成立。逆也成立。若存在虚轴上的一阶极点，按上面的定义是不稳定的，若存在虚轴上的一阶极点，按上面的定义是不稳定的，但有时也称为边界稳定系统。但有时也称为边界稳定系统。 对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统

25、函对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数数 H H( (z z) )的极点都在的极点都在z z平面的单位圆内；平面的单位圆内；其逆也成立。其逆也成立。 例1、如图所示的反馈因果因果系统，问当k满足什么条件时，系统是稳定的，其中子系统的系统函数为)2)(1(1)(sssG F(s)G(s)KY(s)X(s)解：解：设加法器的输出信号为X(s),有)()()(skYsFsX)()()()()()()(sFsGsYskGsXsGsYkssskGsGsFsYsH231)(1)()()()(2 H(s)的极点为kssskGsGsFsYsH231)(1)()()()(2kp2)23(2322, 1为

26、使极点在左半平面，必须为使极点在左半平面，必须2223223k K2),()2()21(4 . 0)(kkhkk系统不稳定（2）若系统是稳定的，0.5|z|2;所以),1()2(4 . 0)()21(4 . 0)(kkkhkk问，该系统是因果系统吗？若问，该系统是因果系统吗？若|z|0.5，系统稳定吗？，系统稳定吗？ 例3、下图为离散因果系统因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围。 F(z)Z1Y(z) 2 a解：解：设加法器输出信号为X(z),有)()()(1zaXzzFzX)()1/()2()()2()(111zFazzzXzzYazzazzzH121)2()(11为使系统稳定为使

27、系统稳定，H(z)的极点必须在单位圆内，即有即有|a|0当当k1/4时，为复极点，时，为复极点，21412, 1kjp为使极点在单位圆内，必须满足|p1,2|1,可得k1;所以当0k0，不难得，不难得出，出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：为霍尔维兹多项式的条件为：a10，a00 例例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：罗斯阵列： 2 12 2 1 8 041811222 8.5 02第第1列元素符号改变列元素符号改变2次，因此，有次，因此，有2个根位于右半平面。个根位于右半平面。 注意：注意：在排罗斯阵列在排罗斯阵列时，可能遇到一些特时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的

28、殊情况，如第一列的某个元素为某个元素为0或某一行或某一行元素全为元素全为0，这时可断，这时可断言：该多项式不是霍言：该多项式不是霍尔维兹多项式。尔维兹多项式。 例例2 已知某因果系统函数已知某因果系统函数 kssssH1331)(23为使系统稳定，为使系统稳定，k应满足什么条件？应满足什么条件？ 解解 列罗斯阵列列罗斯阵列 33 1+k(8-k)/31+k所以，所以， 1k0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0|奇数行，其第奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。个元素必大于最后一个元素的绝对值。 特例特例：对二阶系统。

29、：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得易得 A(1)0 A(-1)0 a2|a0| 例例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解解4 -4 0 2 -1-1 2 0 -4 415 -14 0 44 0 -14 15209 -210 5641 ， 154 ， 20956 所以系统稳定。所以系统稳定。 (-1)4A(-1)=50排朱里列表排朱里列表A(1)=10信号流图信号流图 主要内容主要内容 信号流图信号流图 梅森公式梅森公式信号流图信号流图是用有向的线段和点描述线性方程组变量间因果关系的一种图。信号流图信号流图用来描述系统较较方框图更为简便；而且通过梅森公式梅森公式将系统函数与相

30、应的信号流图联系起来，不仅有利于系统分析，而且也便于系统模拟。一一.信号流图信号流图Y(z)H(s)F(s)Y(s)H(s)F(s)Y(s)H(z)F(z)H(z)F(z)Y(z)方框图方框图信号流图信号流图)()()(FHY一般而言，信号流图是一种一般而言，信号流图是一种赋权赋权的有向图。的有向图。它由连接在结点间的有向支路构成。它的它由连接在结点间的有向支路构成。它的一些术语定义如下：一些术语定义如下：2、源点：、源点：仅有出支路的结点称为源点源点。 汇点：汇点：仅有入支路的结点称为汇点汇点。信号流图基本术语信号流图基本术语1、结点和支路、结点和支路 信号流图中的每个结点对应于一个变量或信

31、号，连接两结点间的有向线段称为支路支路，每条支路的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）。3 3、通路通路 从任一任一结点出发沿着箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点到达另一结点的路径路径称为通路通路。通路包含有：通路包含有：开通路、闭通路或回路（或环路）、不接触回路、自回路（自环）等。 前向通路前向通路：从源点到汇点的开通路。 闭通路或回路（或环路）闭通路或回路（或环路）:通路的起点就是通路的终点（与其余节点相遇不多于一次） 不接触回路不接触回路:相互没有公共节点的回路。 自回路（自环）自回路（自环）:只有一个节点和一条支路的回路。开通路开通路:如果通路与任一节点相遇不多于

32、一次； d x5 x4 x3 x2 x1 1 a b c g f e前向通路前向通路：x1x2 x3 x4 x5; x1x2 x3 x5回路回路: x2 x3 x2; x2 x3 x4 x2; x4 x4不接触回路：不接触回路： x2 x3 x2与x4 x4自回路：自回路： x4 x4通路通路(开通路或回路开通路或回路)中各支路增益的乘积称为中各支路增益的乘积称为通路增通路增益（或回路增益）益（或回路增益）流图化简的规则流图化简的规则 （2）两条增益分别为）两条增益分别为a和和b的支路相并联，可以的支路相并联，可以合并为一条增益为（合并为一条增益为（a+b）的支路。）的支路。（1）两条增益分别

33、为）两条增益分别为a和和b的支路相串联，可以合并的支路相串联，可以合并为一条增益为为一条增益为 ab的支路，同时消去中间的结点。的支路，同时消去中间的结点。（3 3）一条）一条x x1 1 x x2 2 x x3 3的通路，如果的通路，如果x x1 1 x x2 2支路的增益为支路的增益为 a a， x x2 2 x x3 3的增益为的增益为c c，在，在x x2 2处有增益为处有增益为b b的自环，的自环，则可以化简为增益为则可以化简为增益为ac/(1-b)ac/(1-b)的支路，同时削去的支路，同时削去结点结点x x2 2。（1 1）将串联支路合并从而减少结点；）将串联支路合并从而减少结点

34、；（2 2）将并联支路合并从而减少支路；）将并联支路合并从而减少支路；信号流图化简步骤信号流图化简步骤（3 3）消除自环。）消除自环。 反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函数。统函数。例例7.3-1 7.3-1 求图下图所示信号流图的系统函数求图下图所示信号流图的系统函数解解 根据串联支路合并规则，将图根据串联支路合并规则，将图(a)(a)中回路中回路x x1 1 x x2 2 x x1 1和和x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x1 1化简为自

35、环，如图化简为自环，如图b b所所例例7.3-17.3-1示，将示，将x x1 1到到Y(s)Y(s)之间各串联、并联支路合并，得图之间各串联、并联支路合并，得图（c c）。并利用并联支路合并规则，将）。并利用并联支路合并规则，将x x1 1处两个自环合处两个自环合并，然后消除自环，得图（并，然后消除自环，得图（d d）。于是得到系统函数）。于是得到系统函数01201222011201121)()()(asasbsbsbsasasbsbbsFsYsH)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty 这正是二阶微分方程这正是二阶微分方程的系统函数。的系统函数。二、梅森公式二、

36、梅森公式)93 . 7(,1 rqprqpnmnmjjLLLLLL梅森公式为梅森公式为)83 . 7(1iiiPHjjLnmnmLL,rqprqpLLL,式中：式中： 称为信号流图的特征行列式，其中称为信号流图的特征行列式，其中是所有是所有不同回路不同回路的增益之和；的增益之和；是所有两两不接触回路的增益乘积和是所有两两不接触回路的增益乘积和是所有三个都互不接触回路的增益乘积之是所有三个都互不接触回路的增益乘积之 和。和。 i表示由源点到汇点的第第i条前向通路条前向通路的标号； Pi是由源点到汇点的第i条前向通路的增益； i是第i条前向通路特征行列式的余因子，它是与与第i条前向通路不相接触不相

37、接触的子图的子图的特征行列式。)83 . 7(1iiiPH例7.3-2求右图信号流图的系统函数。例例 7.3-27.3-2解解 为了求出特征行列式，先求出有关参数。上图共有4个回路，各回路的增益为 x1x2 x1回路，L1=G1H1 x2 x3 x2回路，L2=G2H2 x3 x4 x3回路，L3=G3H3 x1 x4 x3 x2 x1回路，L4=G1G2G3H4它只有一对两两互不接触的回路x1 x2 x1与x x3 3 x x4 4 x x3 3，313131HHGGLL31314321332211,)(11HHGGHGGGHGHGHGLLLnmnmjj53211HHHHP 542HHP 其

38、回路增益乘积为其回路增益乘积为没有三个以上的互不接触的回路。所以得没有三个以上的互不接触的回路。所以得再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路F F x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x4 4 Y Y , ,其增益为其增益为由于各回路都与该通路有接触，故由于各回路都与该通路有接触，故1 1=1=1对于前向通路对于前向通路F F x x1 1 x x4 4 Y Y ，其增益为，其增益为最后，按式（最后，按式（7.3-87.3-8）得）得22211HGLjj31314321332211225453211)1 (HHGGHGGGHGHG

39、HGHGHHHHHHFYH不与不与P P2 2接触的回路有接触的回路有x x2 2 x x3 3 x x2 2，所以，所以 主要内容主要内容 直接实现直接实现 级联实现级联实现 并联实现并联实现为了对信号为了对信号(连续或离散的信号连续或离散的信号)进行处理（如滤波），进行处理（如滤波），就必须构造出合适的实际结构（硬件实现结构或软件就必须构造出合适的实际结构（硬件实现结构或软件运算结构）。运算结构）。 对于同一系统函数，对于同一系统函数，通过不同的运算，可以得通过不同的运算，可以得到多种形式的实现方案，常用的有直接形式、到多种形式的实现方案，常用的有直接形式、级联和并联形式等。级联和并联形式

40、等。一、直接实现一、直接实现0120122)(asasbsbsbsH将上式分子、分母除以将上式分子、分母除以s2,上式可写为上式可写为)(11)(201120112201120112sasasbsbbsasasbsbbsH设二阶系统的系统函数设二阶系统的系统函数iiipH1 根据梅森公式根据梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式，括号内表示有两个互相接触的回路，其增益分别为-a1s-1和-a0s-2。 H(s)的分子表示三条前向通路，其增益其增益分别为b2、b1s-1和b0s-2，并且不与各前向通路相接触的子图特征行列式i （i=1,2,3)均等于1，也就是说，信号流图中的两个回路都与各前向回

41、路相接触，这样就以得到(a) 信号流图，其对应的s域框图如图(b) 。 还可以得到如下的信号流图和框图。以上的分析方法可以推广到高阶的情形。见书以上的分析方法可以推广到高阶的情形。见书P348P348例 7.4-1 某连续系统的系统函数35342)(23SSSSSH用直接形式模拟系统。解解 将H(s)改写为)353(142)(32132ssssssH根据梅森公式，可画出上式的信号流图如图（a)信号流图的转置信号流图的转置二、级联和并联实现二、级联和并联实现 级联形式级联形式是将系统函数H(z)(或H(s)分解分解为几个简单的系统函数的乘积，即 liilzHzHzHzHzH121)()()()(

42、)(其框图形式如下图所示 ，其中每一个子系统Hi(z)可以用直接形式实现。并联实现并联实现并联形式是将并联形式是将H(z)或或H(s)分解为几个较简单的子系分解为几个较简单的子系统之和，即统之和，即 liiizHzHzHzHzH121)()()()()(其框图形式如图所示，其中各子系统可用直接形式实现。其框图形式如图所示，其中各子系统可用直接形式实现。通常各子系统选用一通常各子系统选用一阶函数和二阶函数，阶函数和二阶函数，分别分别称为一阶节、二称为一阶节、二阶节。阶节。其函数形式分别为其函数形式分别为 201120112101011)(1)(zazazbzbbzHzazbbzHiiiiiiii

43、ii一阶和二阶子系统的信号流图和相应的框图如图所示一阶和二阶子系统的信号流图和相应的框图如图所示解解:（1）级联实现）级联实现 首先将首先将H(s)的分子、分母多项式分解为一次因式与二的分子、分母多项式分解为一次因式与二次因式的乘积。于是次因式的乘积。于是35342)(23sssssH)32)(1()2(2)()()(221sssssHsHsH例例7.4-3 某连续系统的系统函数某连续系统的系统函数分别用级联和并联形式模拟系统。分别用级联和并联形式模拟系统。2121221113212322)(1212)(ssssssssHssssH将上式分解为一阶节与二阶节的极联，令将上式分解为一阶节与二阶节的极联，令上式中一阶节和二阶节的信号流图如下图所示上式中一阶节和二阶节的信号流图如下图所示（