函数单调与凹凸教学PPT学习教案

1、会计学1函数单调与凹凸教学函数单调与凹凸教学一、函数的单调性定理1设)(xf在区间I上连续,在区间I内可导.(1)若在I内, 0)( xf则)(xf在区间I上单调增加.(2)若在I内, 0)( xf则)(xf在区间I上单调减少.证明(1)任取,21Ixx 且21xx 则)(xf在,21xx上连续,在),(21xx内可导.由拉格朗日中值定理得:至少存在一点),(21xx 使得 )()(12xfxf)( 12xxf 内内在在又又内内在在IxfI , 0)( 0)( f)()(12xfxf 0 第1页/共23页即)()(21xfxf :按定义得按定义得)(xf在区间I上单调增加.(2)类似可证注：反

2、之不然.即)(xf在区间I上单调增加在I内0)( xf(单调减少) 0)( ( xf反例:,),()(3上上单单调调增增加加在在 xxf0)0( f但但,),()(31上上单单调调增增加加在在 xxg.)0( 不存在不存在但但g第2页/共23页在讨论)(xf的单调性时,在定义域中如有使得导数为零的点或导数不存在的点,应先求出它们.例1讨论函数xxysin 在2 , 0 上的单调性解 yxcos1 )2 , 0( x时,xycos1 0 xxysin 在2 , 0 上是单调增加的.第3页/共23页例2讨论函数593)(23 xxxxf的单调性解定义域:),( )( xf9632 xx )32(3

3、2 xx )3)(1(3 xx )3)(1( 3 xx令)( xf0 解得 x, 1 3它们将定义域分为:,1,( ,3 , 1 ), 3)1,( x时,)( xf0 在1,( 上,)(xf是单调增加的.)3 , 1( x时,)( xf0 在3 , 1 上,)(xf是单调减少的.), 3( x时,)( xf0 在), 3上,)(xf是单调增加的.第4页/共23页例3证明:当)2, 0( x时,有xx tan分析:即证0tan xx令xxxf tan)(即)0()(fxf 所以,只需证:.,)2, 0)(即即可可上上是是单单调调增增加加的的在在 xf第5页/共23页证令xxxf tan)( )(

4、 xf1sec2 x x2tan)2, 0( x时,xxf2tan)( 0 上上是是单单调调增增加加的的在在)2, 0)( xf当)2, 0( x时,有)0()(fxf 即xx tan 0即xx tan第6页/共23页二. 函数的凹凸性与拐点先看两条曲线:它们有何不同？向上弯向下弯弯曲的方向不同怎样描述曲线的弯曲方向？函数的凹凸性（凹的）（凸的）第7页/共23页xyoxyoabab1x2x221xx )(xfy )(1xf)(2xf2)()(21xfxf )(xfy 1x2x221xx )2(21xxf )(1xf)(2xf2)()(21xfxf 2)()()2(2121xfxfxxf 2)(

5、)()2(2121xfxfxxf )2(21xxf 第8页/共23页定义设)(xf在区间I上连续.如果对于任意两点Ixx 21,都有2)()()2(2121xfxfxxf 则称函数)(xf在区间上上 I的图形 是凹的.) ( ( 凸 )()定理2设)(xf在区间I上连续,在区间I内二阶可导,那么(1)若在I内, 0)( xf则)(xf在I上是凹的.(2)若在I内, 0)( xf则)(xf在I上是凸的.第9页/共23页证(1)任取两点,21Ixx 不妨设21xx )(xf在I内二阶可导,因而在I内一阶可导,又)(xf在I上连续在2,211xxx 上,应用拉格朗日中值定理得:至少存在一点, )2,

6、(2111xxx 使得)2)( )()2(1211121xxxfxfxxf 即2)( )()2(121121xxfxfxxf (1)第10页/共23页同理,在,2221xxx 上,应用 拉格朗日中值定理得:至少存在一点),2(2212xxx 使得)2)( )2()(2122212xxxfxxfxf 即2)( )2()(122212xxfxxfxf (2)(2)-(1)得)2(2)()(2112xxfxfxf 2)( )( 1212xxff 2).()( 1212|xxxfx ) (21 2)( 1212xxf (拉格朗日中值定理)第11页/共23页 在区间I内0)( f)2(2)()(2112

7、xxfxfxf 2)( 1212xxf 0 即2)()()2(2121xfxfxxf 按定义得:)(xf在I上是凹的.(2)类似可证.第12页/共23页注:反之不然.反例:4)(xxf 在),( I上是凹的,但0)0( f ), 0(,0 ,(,)(32xxxxxg在),( I上是凹的,但)0( g不存在.在讨论凹凸性时,应先求出使0)( xf或)( xf不存在的点.第13页/共23页例4讨论下列函数的凹凸性（1）xyln （2）3xy 解（1）定义域：), 0(xy1 21 xy ,), 0(时时 x21 xy 0 )(xf在), 0( 上是凸的.第14页/共23页（2）定义域：),(23x

8、y xy6 令0 y解得0 x它将定义域分为：,0 ,(), 0,)0 ,(时时 xxy6 0 )(xf在0 ,(上是凸的.,), 0(时时 xxy6 0 )(xf在), 0上是凹的.第15页/共23页定义曲线上凹凸性的转折点称为拐点.在上例中,点)0 , 0(是曲线3xy 的拐点.例5求下列函数的凹凸区间与拐点 （1）14334 xxy（2）31xy 解(1)定义域:),(231212xxy xxy2436 2 )32(36 xx令0 y解得32 , 0 x第16页/共23页它们将定义域分为：,0 ,(,32, 0),32,)0 ,(时时 x)32(36 xxy0 14334 xxy在0 ,

9、(上是凹的.,)32, 0(时时 x)32(36 xxy0 14334 xxy在32, 0上是凸的.,),32(时时 x)32(36 xxy0 14334 xxy在),32上是凹的.第17页/共23页点)2711,32( ),1 , 0(是拐点凹区间:,0 ,(),32凸区间:32, 0（2）定义域：),(, 31313232xxy 3592 xy0 x时, y3592x 不存在它将定义域分为：,0 ,( ), 0 第18页/共23页,)0 ,(时时 x3592 xy 0 )(xf在0 ,(上是凹的.,), 0(时时 x3592 xy 0 )(xf在),0 上是凸的.拐点:)0,0(凹区间:0 ,(凸区间:), 0第19页/共23页定理若点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的拐点,且)(xfy 在0 x处二阶可导,则0)( 0 xf反之不然.反例:,4xy 0)0( y但点)0 , 0(不是4xy 的拐点.第20页/共23页小 结1. 函数的单调性的判别单调区间，即：单增区间，