1079高等代数专题研究-国家开放大学2018年1月至2021年7月期末考试真题及答案（201801-202107不少于6套）

1、试卷代号：1079高等代数专题研究 试题（半开卷） 2018年1月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）2若向量组ai，a，与pl，卢，均线性无关，则向量组ai，a，pl，卢；( ) A. -定线性无关 B-定线性相关 C不一定线性无关 D以上说法都不对3如果线性空间V的线性变换A在V的基ei，。下的作用为：4.设A是n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充要条件是( ). A矩阵A的列向量组是R”的标准正交基BA-1=A CIAI=1 DA的列向量两两正交5设A是咒阶实可逆矩阵，则A rA必是( ) A.A的主对角线上元素全为零 BE CIArA l =o D正定矩阵二、填空题（本题共20分，每小

2、题4分） 6有理数域上的不可约多项式昀次数是 次的 7全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法： 构成R上的线性空间，则R+的零向量为 8设A，B都是咒阶方阵如果存在咒阶可逆矩阵T，使T-1AT =B，则称A与B 9设是欧氏空间V的对称变换，则盯在V的标准正交基下的矩阵是 。 10双线性函数，非退化的充分必要条件是它的度量矩阵M 三、计算题（本题共45分，每小题15分）11.在线性空间R3中有两组基： 13.已知a1=(l，1，0)，a2=(1，0，1)，a3=(1，0，0)是欧氏空间R3的一组基，请用施密特正交化方法求R3的一组标准正交基四、证明题（本题15分）14.如果A，B都是正

3、定对称矩阵，证明：A+B也是正定对称矩阵，试卷代号：1079高等代数专题研究 试题答案及评分标准（半开卷）（供参考） 2018年1月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分） 1B 2C 3B 4A 5D二、填空题（本题共20分，每小题4分） 6任意 7. 1 8相似 9对称矩阵 10非退化三、计算题（本题共45分，每小题15分）试卷代号：1079高等代数专题研究 试题（半开卷） 2019年1月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1下列法则是有理数域Q上的代数运算的是( ) Aab=ba+2b2 Bab=b Cab=2 Dab =2a +3b2设Vl，V2都是线性空间V的真子空间，则下列

4、集合中不是V的子空间的是( ) AV1UV2 BV1V2 C V1+V2 DV103设n阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是( ) AA有n个不同的特征值 BA是可逆矩阵 CA有n个线性无关的特征向量 DA是实对称矩阵 4设A是n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充要条件是( ) A矩阵A的列向量组是Rn的标准正交基 BA-1=A CIAI=1 DA的列向量两两正交 5设AMn(R)是n元二次型q的矩阵，A的秩为r1，二次型q的秩为r2，则r1与r2的关系为( ) Ar1 r2 Dr1与r2没有必然联系二、填空题（本题共20分，每小题4分）6复数域上的不可约多项式的次数是_次的7向量组=(a，0，0)

5、，=(2，a，0)，=(1，3，2)线性相关，则a=_.8线性交换A的属于不同特征值的特征向量一定是_的9设e1，e2是2维欧氏空间V中的一组标准正交基，V，且(，e1) =3，(，e2)=-1，则=_.10双线性函数f是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是_矩阵.三、计算题（本题共45分，每小题15分）11设 f(x)=x4+2x3-x2-4x-2，g (x)=x4 +x3-x2-2x-2,求 f (x) ，g(x). 12在线性空间R3中有两组基： 1=(1，0，0)， 2=(1，1，0)， 3=(1，1，1) 1=(1，2，3)，2=(2，3，5)，3 =(3，5，9)求基1，2，3到基1

6、，2，3的过渡矩阵T13.求取何值时，下面的实二次型是正定的f(x1 , x2 , x3) =x12 + 4x22 + 4x32 + 2x1x2 - 2x1x3 + 4x2x3四、证明题（本题15分）14证明：若n阶方阵A与B相似，则它们的行列式相等试卷代号：1079高等代数专题研究 试题答案及评分标准（半开卷）（供参考）2019年1月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1B 2A 3C 4A 5B二、填空题（本题共20分，每小题4分） 61 70 8线性无关 93e1e2 10对称三、计算题（本题共45分，每小题15分）11解：辗转相除q2(x)x+1g(x)x4 +x3 -x2 -2

7、x - 2x4 +x3-2x2 - 2xf(x)x4 + 2x3 -x2-4x- 2x4 +x3 -x2-2x -2q1(x)1x2 -2x3-2xx3 -2xq3(x)x0 x1(x)x3 - 2x （6分） r2(x)x2-2 (10分)所以 (f(x)，g(x)x2-2 （15分）12解：1-1 -2+33 （4分）2-1 -22 +5 （8分）3-21 -42 +93 12（分）因此，(1，2，3)(1 , 2 , 3)-，即过度矩阵-1（分）13解：二次型的系数阵A-（分）利用A是正定实对称矩阵的充分必要条件是它的各阶顺序主子式都大于零，可得1 44，-4+80. （10分）解得20

8、B.A的主对角线上的元素全为正C.A的元素全为正D.A是非退化的二、填空题（本题共20分，每小题4分）6.多项式f(x)=x4-2x3+2x2-1的有理根为_ .7.向量组a1=(1，2，3)，a2=(1，0，0)，a3=(10，19，30)线性_.8.如果存在可逆矩阵T，使得T-1AT为_，则n阶方阵A称为可对角化.9.若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是一变换.10.双线性函数，非退化的充分必要条件是它的度量矩阵M_.三、计算题（本题共45分，每小题15分）11.已知1=(1，1，1)，2=(1，0，1，-1)，3=(1，-2，1，-5)，求W=L(1，2，3)的基与维数

9、.12.设A=101010101，求一个正交矩阵T，使T-1AT=TTAT为对角矩阵.13.将三元二次型f=2x1x2+2 x1x3-2 x2x3化为标准形.四、证明题（本题15分）14.证明：若A为可逆矩阵，则它的特征值均非零.试卷代号：1079高等代数专题研究 试题答案及评分标准（半开卷）2019年7月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分） 1D 2B 3D 4A 5C二、填空题（本题共20分，每小题4分） 6. 1 7无关 8对角阵 9正交 10.非退化三、计算题（本题共45分，每小题15分） 11解：把1,2,3写成列向量组成矩阵A，对A进行初等行变换，化简成行阶梯形矩阵：A111

10、10-2111-21-51110-1-3000-20-6A111013000000（10分） 由此可知1,2是W的一组基，dimW=2（15分） 12.解：A的特征多项式E-A=(-1)(-2)，故A的特征值为0，1，2（5分） A是实对称矩阵，可对角化，分别求得A的属于每个特征值的特征向量： 当1=0时，-AX=0的基础解系为1T=(1，0，-1)；（7分） 当2=1时，(E3-A)X=0的基础解系为2T=(1，1 ，0)；（9分） 当3=2时， 2E3-AX=0的基础解系为3T=(1，0，1)（11分） 1，2，3已正交，单位化得 1T=(12,0，-12), 2T=0，1，0,3T=(1

11、2，0，12)令T=12012010-12012（13分） 则T是正交阵，且TTAT=T-1AT=diag0,1,2.（15分） 13.解：作非退化线性替换x1=y1+y2x2=y1-y2x3=y3造平方项得（5分） f=2y12-2y22+4y2y3=2y12-(y2-y3)2+2y32（10分） z1=y1z2=y2-y3z3=y3（12分） 则有f=2z12-2z22+2z32（15分）四、证明题（本题15分） 14证明：若A为可逆矩阵，则它的特征值均非零 证明：反证法，设为A的一个特征值，且=0，则存在非零向量X，使得 AX=X=0（5分） 又A是可逆矩阵，在上式两边左乘A-1可得 A

12、-1AX=A-10 即X=0（10分） 这与X是非零向量相矛盾故假设不成立，0.由此可得，A的特征值均非零（15分）试卷代号：1079 座位号口口国家开放大学2 01 9年秋季学期期末统一考试高等代数专题研究试题（半开卷） r2020年1月一、单项选择题本题共20分，每小题4分）1设，f(x)在有理数域Q内不可约，则( ) Af(x)在实数域内一定不可约 B. f(x)在复数域内一定可约 Cf(x)在实数域内一定可约 D以上说法都不正确2若向量组1，r，与1，s均线性无关，则向量组1，r，1，s ( ) A一定线性无关 B一定线性相关 C不一定线性无关 D以上说法都不对3矩阵A与B相似的充分必

13、要条件是( ) A.A与B的特征多项式相等 BA与B的行列式相等 CA与B的秩相等 D. 存在可逆矩阵丁，使T-1AT=B4实对称矩阵的特征值都是( ) A实数 B零或纯虚数 C非零实数 D模为1的复数5线性空间V上的双线性函数f(，)在不同基下的度量矩阵( ) A相似 B相合 C正交相似 D. 相等二、填空题（本题共20分每小题4分）6当a= ，b=_时，x2+1l x3+ax+b.7全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法：ab=ab，k a= ak构成R上的线性空间，则R+的零向量力_8线性变换A的属于不同特征值的特征向量一定是_ 的9第二类正交矩阵的行列式的值等于_10若A为正

14、定实对称矩阵，则A的主对角线上的元素全为_三、计算题（本题共45分，每小题15分）11求多项式，f(x)=x4 -5x3+11x2-16x+12的有理根12求A=122212221的特征值和特征向量13.已知1=(1，1，0)，2=(1，0，1)，3=(l1，0，0)是欧氏空间R3的一组基，请用施密特正交化方法求R3的一组标准正交基.四、证明题（本题15分）14设A，B都是n阶正定对称矩阵，证明：A+B也是正定对称矩阵试卷代号：1079国家开放大学2 0 1 9年秋季学期期末统一考试高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）（供参考） 2020年1月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）

15、 1D 2C 3D 4A 5B二、填空题（本题共20分，每小题4分） 6=1，b=0 7. 1 8线性无关 9-1 10正三、计算题（本题共45分，每小题lo分） 11解：因为a4=1，a0=12，所以方程可能的有理根是1，2，3，4，6，12. （3分） 因为f(1)0,f (-2)0，(3)0，f(4)0，f(6)0，f(12)0，故1，-2，3，4，6，12都不是根 (8分) 而f(2)=0，故2是f(x)的根 （12分） 用综合除法验证，2是f(x)的二重根 （15分） 12解：A的特征多项式 A=E-A=-1-2-2-2-1-2-2-2-1=+12(-5) 所以A的特征值是-1，-1

16、和5 （7分） 当=-1时，解齐次线性方程组(-E-A)X=0，得基础解系 110-1，201-1 因此，属于-1的全部特征向量为k11+k22，k1，k2是不全为零的全部数对（11分） 当=5时，解齐次线性方程组(5E-A)X=0，得基础解系南3111 因此，属于5的全部特征向量为k3，k0. （15分） 13解：用施密特正交化方法可得1=a1=（1，1，0） (3分)1=a1-a2，11，11=1，0，1-12 1，1，0=（12，-12，1）（6分） 3=a3-a3，11，11-（a3，2）（2，2）2 =1，0，0-121，1，0-13（12，-12，1） =(13，-13，-13)

17、（9分） 单位化可得一组标准正交基为 1=（22，22，0） (11分) 2=（66，-66，63） (13分) 3=（33，-33，-33） (15分)四、证明题(本题15分) 14设A，B都是n阶正定对称矩阵，证明：A+B也是正定对称矩阵 证明：(A+B)T=AT+BT=A+B，故A+B是对称矩阵 （5分） 对任一n维列向量X0，都有XTA+BX=XTAX+XTBX0，因此，A+B是正定对称矩阵 （15分）试卷代号：1079座位号国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试高等代数专题研究 试题 2020年7月一、单项选择题（每小题4分，共20分）1下列法则是整数集Z上的代数运算的是(

18、 ) A。b=+b B。b=b2 C。b=2 D。b=13 2若向量组1，2，t与，1以均线性无关，则向量组1+1，t+t。( ) A一定线性无关 B一定线性相关 C可能线性相关，也可能线性无关 D以上说法都不对3设咒阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是( ) AA有n个不同的特征值 BA是可逆矩阵 CA有n个线性无关的特征向量 DA是实对称矩阵4设是n维欧氏空间V上的线性变换，在基1，2，n。下的矩阵为对称矩阵A，则( ) A为可逆变换 B当1，2，n为标准正交基时，为对称变换 C为正交变换 D为对称变换5线性空间V上的双线性函数f(，)在不同基下的度量矩阵( ) A相似 B相等 C正交相似

19、 D相合二、填空题（每小题4分，共20分） 6有理数域上的不可约多项式的次数是_次的 7在有限维线性空间中，任意两个基所含向量酌个数是_的 8 设A，B都是n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵T，使T-1AT=B，则称A与B_ 9若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是_变换 10设A是n阶实矩阵，当A是_矩阵时，ATA是正定矩阵.三、计算题（每小题15分，共45分）11已知1，2，3是3维线性空间V的一组基，向量组1，2，3满足1+3=1+2+3，1+2=2+3，2+3=1+3求由基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵12设R3的线性变换定义如下：x1，x2，x3=（2x1-x2，x2

20、-x3，x2+x3），求在基1=1，0，0，2=0，1，0，3=（0，0，1）下的矩阵13用正交线性替换化实二次型x12+2x22+3x32-4x1x2-4x2x3为标准形.四、证明题（共15分）14设fx，g(x)是数域P上的一元多项式，且fx，gx=1证明：fx，fx+gx=1试卷代号：1079国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试高等代数专题研究 试题答案及评分标准（供参考） 2020年7月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分） 1.A 2.C 3.C 4.B 5.D二、填空题（本题共20分，每小题4分） 6.任意 7.相等 8.相似 9.正交 10.可逆三、计算题（本题共

21、45分，每小题15分）11.解：1，2，3=1，2，3001100121212，T=0011001212120所以1，2，3是一组基. (5分)因为1，2，3=1，2，3001100121212， (10分)故1，2，3=1，2，3010-1-12100，即基 1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵为 010-1-12100 (15分)12.解：1=(2,0,0)=21, 2=-1,1,1=-1+2+3, 3=0,-1,1=-2+3, （10分）因此在基1=1，0，0，2=(0，l，0)，3=(0，0，1)下的矩阵为 A=2-1001-1011 （15分） 13.解：二次型的系数矩阵A=1-20-

22、22-20-23 （1分）A的特征多项式E-Al=(+1)(-2)（-5），由此得，A的特征值为-1，2，5（3分）解相应的齐次线性方程组，得单位正交的基础解系为1=232313， 2=-231323，3=13-2323 (8分)令T=232313-23132313-2323为正交矩阵，则正交线性替换为 x1x2x3=232313-23132313-2323y1y2y3 所得标准形为一y12+2y22+5y32， （15分）四、证明题（本题15分） 14.设f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且fx，gx=1. 证明：fx，fx+gx=1. 证明：由fx，gx=1可知，存在u(x)，(x

23、)Px使得 u(x)fx+(x)gx=1 由此可得uxfx+xfx+gx-(x)fx=1 即 (ux-x)fx+xfx+gx=1 （10分） 故 fx，fx+gx=1 （15分） 试卷代号：1079国家开放大学2020年秋季学期期末统一考试高等代数专题研究 试题2021年1月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.下列结论正确的是( ).A.可约一定有根B.不可约一定无根C.有根一定可约D.无根未必不可约2.若向量组1，2，r，与1，2，r，均线性无关，则下列向量组中一定线性无关的是( ).A. 1+1，2+2，r+rB. 1-1，2-2，r-rC. 1，22，rrD. 1，2，r，1，

24、2，r3.如果线性空间V的线性变换A在V的基1，2下的作用为：A1=a1+b2A2=c1+d2那么A在基1，2下的矩阵为( ).A.abcdB.cadbC. acbdD.cdab4.实对称矩阵的特征值都是( ).A.实数B.零或纯虚数C.非零实数D.模为1的复数5.线性空间V上的双线性函数f(,)在不同基下的度量矩阵( ).A.相似B.相合C.正交相似D.相等二、填空题（本题共20分.每小题4分）6.当a=_时，x+1|x3+x+a.7.从基1，2，3到基2，1，3的过渡矩阵T=_.8.n阶方阵A称为可对角化，如果存在可逆矩阵T，使得T-1AT为_.9.欧几里得平面上的正交变换一定是_或镜射.

25、10.实对称矩阵A是正定的充分必要条件是A的顺序主子式_.三、计算题（本题共45分，每小题15分）11.已知1=(1，1，1，1)，2=(1，0，1，-1)，3=（1，3，0，-4），求W=L(1，2，3)的基与维数.12.求A=122212221特征值和特征向量.13.已知1=1，1，0，2=1，0，1，3=(1，0，0)是R3的一组基，求R3的一组标准正交基.四、证明题（本题15分）14.如果A，B都是正定实对称矩阵，证明：A+B也是正定实对称矩阵.试卷代号:1079国家开放大学2020年秋季学期期末统一考试高等代数专题研究试题答案及评分标准(供参考)2021年1月一、单项选择题(本题共2

26、0分,每小题4分)1.D2.C3.C4.A5.B二、填空题(本题共20分,每小题4分)6.27.0101000018.对角阵9.旋转10.全大于零三、计算题(本题共45分,每小题15分)11.已知1=(1,1,1,1),2=(1,0,1,-1),3=(1,3,0,-4),求W=L(1,2,3)的基与维数.解:把1,2,3写成列向量组成矩阵A,对A进行初等行变换,化成简化的行阶梯形矩阵:A=1111031101-1-4111012001000(10分)由此知1,2,3是W的一组基,dimW=3.(15分)12.求A=122212221的特征值和特征向量.解:A的特征多项式A()=E-A=-1-2

27、-2-2-1-2-2-2-1=(+1)2(-5)所以A的特征值是-1和5.(7分)当=-1时,解齐次线性方程组(-E-A)X=0,得基础解系1=10-1,2=01-1.因此属于-1的全部特征向量为k11+k22,k1,k2为P中不全为零的全部数对.(11分)当=5时,解齐次线性方程组(5E-A)X=0,得基础解系3=111.因此属于5的全部特征向量为k3,kP,k0.(15分)13.已知1=(1,1,0),2=(1,0,1),3=(1,0,0)是R3的一组基,求R3的一组标准正交基.解:用施密特正交化方法可得1=1=(1,1,0)(3分)2=2-(2,1)(1,1)1=(1,0,1)-12(1

28、,1,0)=12，-12，1(6分)3=3-(3,1)(1,1)1-(3,2)(2,2)2=(1,0,0)-12(1,1,0)-1312，-12，1 =13，-13，-13(9分)单位化可得一组标准正交基为1=22，22，0(11分)2=66，-66，63(13分)3=33，-33，33(15分)四、证明题(本题15分)14.如果A,B都是正定实对称矩阵,证明:A+B也是正定实对称矩阵.证明:(A+B)T=AT+BT=A+B,故A+B是实对称矩阵, (5分)对任一n维列向量X0,都有XT(A+B)X=XTAX+XTBX0.因此,A+B为正定实对称矩阵.(15分)试卷代号：1079国家开放大学2

29、021年春季学期期末统一考试高等代数专题研究 试题2021年7月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.下列运算中，（ ）是有理数域Q上的代数运算.A.a。b=abB.a。b=bC.a。b=abD.a。b=2a2.按通常数的加法与乘法，复数域C可以看成实数域R上的线性空间，则它的维教是（ ）.A.0B.1C.2D.无限3.矩阵A与B相似的充分必要条件是（ ）.A.A与B的特征多项式相等B.A与B的行列式相等C.A与B的秩相等D.存在可逆矩阵T，使T-1AT = B4.设A是正交矩阵，则下列选项中错误的是（ ）.A.A2=EB.AT=A-1C.A的每一行的元素的平方和等于1D.A的不同行的

30、对应元素乘积之和等于O5.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定的充分必要条件是（ ）.A.A的行列式大于零B.存在矩阵C，使得A=CTCC.A的特征值全为正D.存在n维非零向量X，使得XTAXO二、填空题（本题共20分，每小题4分）6.实数域上的不可约多项式的次数是 次的.7.向量组a=(0，O，1)，=（0，1，2)，=(a，3，5)线性相关，则a = .8.设A是线性空间V的线性变换，则A的属于不同特征值的特征向量线性 _.9.设是欧氏空间V的对称变换，则在V的标准正交基下的矩阵是 .10.线性空间V上的双线性函数f(，)在不同基下的度量矩阵 .三、计算题（本题共45分，每小题15分）11.设R3的线性变换定义如下：(x1，x2，x3)=(2x1-x2，x2-x3，x2+x3)，求在基1=(1，O，O)，2=(0，1,0)，3=(0，O，1)下的矩阵.12.设A=2-20-21-20-20，求一个正交矩阵T，使T -1AT = T TAT为对角矩阵.13.求取何值时，下面的实