第十一章 压杆稳定

1、第第 十十 一一 章章压杆稳定压杆稳定 11-1 11-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 11-2 11-2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 11-3 11-3 杆端约束的影响杆端约束的影响 11-4 11-4 临界应力曲线临界应力曲线 11-5 11-5 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 11-6 11-6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施内容提要内容提要 11111 1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念理想压杆理想压杆满足满足“轴心受压、均质、等截面直杆轴心受压、均质、等截面直杆”假定假定的一种抽象化的理想模型。的一种抽象化的理想模型。在无扰动（如微小横向干扰力）时，在无

2、扰动（如微小横向干扰力）时，理想压杆将只产生轴向压缩变形，而理想压杆将只产生轴向压缩变形，而且保持直线状态的平衡；且保持直线状态的平衡；有微小横向干扰力时，理想压杆将有微小横向干扰力时，理想压杆将产生弯曲变形产生弯曲变形其平衡状态有稳定和不稳定之分。其平衡状态有稳定和不稳定之分。一、理想压杆的稳定性一、理想压杆的稳定性Fl/2y0FQ图11.1F(a)(b)lFQl/2FF(a)FQ 当当 F较小较小时，撤去横向干扰力时，撤去横向干扰力FQ后，杆的轴线后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡状态（图将恢复其原来的直线平衡状态（图 b b），则压杆在），则压杆在直线形态下的平衡是直线形态下的平衡是 。

3、较较小小F(b)较较小小FFF(a)FQ 当当 F F较大较大时，撤去横向力时，撤去横向力FQ后，压杆继续弯曲到后，压杆继续弯曲到一个变形更显著的位置而平衡，则压杆在直线状态的一个变形更显著的位置而平衡，则压杆在直线状态的平衡是平衡是不稳定的不稳定的(c)较较大大F较较大大F较较小小F(b)较较小小FFF(a)FQ临界状态：当轴力临界状态：当轴力F F达到一定数值时，施加干扰力达到一定数值时，施加干扰力FQ后压杆将后压杆将在一个微弯状态保持平衡，而在一个微弯状态保持平衡，而FQ去除后压杆既不能回到原来的去除后压杆既不能回到原来的直线平衡状态，弯曲变形也不增大。则压杆在直线状态的平衡直线平衡状态

4、，弯曲变形也不增大。则压杆在直线状态的平衡是是临界平衡临界平衡或或中性平衡中性平衡，此时压杆上所作用的外力称为压杆的，此时压杆上所作用的外力称为压杆的临界力临界力或或临界荷载临界荷载，用用Fcr表示。表示。较较小小F(b)较较小小F(d)crFF crFF (c)较较大大F较较大大F 11111 1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念1、分叉点失稳、分叉点失稳A A点称为点称为分叉点分叉点，F Fcr cr又称为又称为分叉点分叉点荷载荷载。OACOAC曲线所描写的失稳模型也曲线所描写的失稳模型也称为称为分叉点失稳分叉点失稳。二、分叉点失稳和极值点失稳二、分叉点失稳和极值点失稳Fl/2y0FQ图11.

5、1F(a)(b)lFQl/2FDFcry00y图11.2(a)(b)FOBBFcr稳定不稳定OFADECA 11111 1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念2、极值点失稳、极值点失稳 FJ 极值点荷载（极值点荷载（GJK曲线顶曲线顶点所对应的荷载点所对应的荷载）二、分叉点失稳和极值点失稳二、分叉点失稳和极值点失稳Fl/2y0FQ图11.1F(a)(b)lFQl/2FDFcry00yJF图11.2(a)(b)FOBBFcr稳定不稳定OFJKGADECA长为长为 l 的理想细长压杆，两端球形绞支，在临界力作用下处于的理想细长压杆，两端球形绞支，在临界力作用下处于微弯平衡状态时微弯平衡状态时Fcr xy

6、xMFcr)(mxmymmxyBy(x) 11112 2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导一、公式推导yABxFcrlFcrFcr 压杆任一压杆任一 x x 截面沿截面沿 y y 方向方向的位移为的位移为 y y (x)(x)该截面的弯矩为该截面的弯矩为 xyxMFcr)(杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为 xyxMEIyFcr)(Fcr xyxMFcr)(mmxyBy(x)Fcr 11112 2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导一、公式推导令令kFEIcr2则有二阶常系数线性微分方程则有二阶常系数线性微分方程02yky

7、其通解为其通解为kxBkxAycossinA，B为待定为待定常数常数，由该挠曲线的边界条件确定。由该挠曲线的边界条件确定。yxMEIyFcr)(FcryxMFcr)(mmxyByFcr一、公式推导一、公式推导 11112 2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 边界条件：边界条件：kxBkxAycossin代入方程得：代入方程得：B=0mxmyyABxFcrlFcr一、公式推导一、公式推导x = 0，y = 0 x = l ，y = 0因为因为A不等于零（否则与微弯状态不等于零（否则与微弯状态相矛盾）相矛盾）klA sin00klsinnnnkl,210nnlnk,2102222

8、 11112 2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导一、公式推导nnlnk,2102222所以所以kFEIcr2nnlEInEIkFcr,2102222n=0时时Fcr0，矛盾，所以，矛盾，所以n取使取使Fcr不为零的最小值，即不为零的最小值，即n = 1欧拉公式欧拉公式22lEIFcr 11112 2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导一、公式推导欧拉公式欧拉公式22lEIFcr注意：注意：1、此公式是两端铰支压杆的临界力计算公式；、此公式是两端铰支压杆的临界力计算公式；2、当压杆端部各个方向的约束相同时，、当压杆端部各个方向的约束相同

9、时，I取为压杆取为压杆横截面的横截面的最小形心主惯性矩最小形心主惯性矩。3、两端铰支压杆临界平衡时的挠曲线为、两端铰支压杆临界平衡时的挠曲线为一半波正一半波正弦曲线弦曲线 11112 2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 例例11.1 11.1 用三号钢制成的细长杆件，长用三号钢制成的细长杆件，长1m1m，截面是，截面是8mm8mm 20mm20mm的矩形，两端为铰支座。材料的屈服极限的矩形，两端为铰支座。材料的屈服极限为为 ，弹性模量，弹性模量 ，试按强度观点和，试按强度观点和稳定性观点分别计算其屈服荷载稳定性观点分别计算其屈服荷载FS及临界荷载及临界荷载FCR，并，并加以比

10、较。加以比较。s240MPa210GPaE 2ss8 20 mm240MPa38.4kNFA344min120 8 mm853.3mm12I2234cr222210 10 MPa 853.3mm1.768kN1 000 mmEIFlcrs:1.768:38.41:21.72FF 例例11.2 11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长两端铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材料的，材料的弹性模量弹性模量E E200GPa200GPa，考虑采用三种不同截面，如图，考虑采用三种不同截面，如图11.411.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。66(b)图11.

11、4yyzz45452838(c)1050zyy(a)例例11.2 11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长两端铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材料的，材料的弹性模量弹性模量E E200GPa200GPa，考虑采用三种不同截面，如图，考虑采用三种不同截面，如图11.411.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。66(b)图11.4yyzz45452838(c)1050zyy(a)33min,14150mm 10 mm124166.6mmzII2cr,1223422200 10 MPa 4166.6mm /1000 mm8.255kNEIFl解解 （1

12、1）矩形截面）矩形截面例例11.2 11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长两端铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材料的，材料的弹性模量弹性模量E E200GPa200GPa，考虑采用三种不同截面，如图，考虑采用三种不同截面，如图11.411.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。66(b)图11.4yyzz45452838(c)1050zyy(a)444min,23.89cm3.89 10 mmzII2cr,22234422200 10 MPa (3.89 10 mm )/1000 mm76.79kNEIFl（2 2）等边角钢）等边角钢4545 6

13、6例例11.2 11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长两端铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材料的，材料的弹性模量弹性模量E E200GPa200GPa，考虑采用三种不同截面，如图，考虑采用三种不同截面，如图11.411.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。66(b)图11.4yyzz45452838(c)1050zyy(a)44min,34444()64(3828 )mm72 182mm64IDd2cr,3223422200 10 MPa 72182mm /1000 mm142.48kNEIFl（3 3）圆管截面）圆管截面例例11.2 11.2

14、两端铰支的中心受压细长压杆，长两端铰支的中心受压细长压杆，长1m1m，材料的，材料的弹性模量弹性模量E E200GPa200GPa，考虑采用三种不同截面，如图，考虑采用三种不同截面，如图11.411.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。21500mmA 22507.6mmA 2223(3828 )518.4mm4A123:1:1.02:1.04AAA cr,1cr,2cr,3min,1min,2min,3:1:9.34:17.32FFFIII讨论：三种截面的面积依次为讨论：三种截面的面积依次为所以，三根压杆所用材料的量相差无几，但是所以，三根压杆所用材

15、料的量相差无几，但是66(b)图11.4yyzz45452838(c)1050zyy(a)1 1、两端铰支、两端铰支4 4、一端固定、一端固定另端铰支另端铰支3 3、一端固定，一端、一端固定，一端夹支（两端固定）夹支（两端固定）2 2、一端固定另端自由、一端固定另端自由 11113 3 杆端约束的影响杆端约束的影响 22lEIFcrABFcrlABFcrll222 )( lEIFcr2250).(lEIFcr2270).(lEIFcrFcrAB0.5llABFcrll.70两端铰支两端铰支一端固定另端铰支一端固定另端铰支两端固定两端固定一端固定另端自由一端固定另端自由22crlEIFl0 =

16、l支承情况支承情况临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式长度系数长度系数 = 1 = 0.7 = 0.5 = 222cr(2l)EIF22cr(0.5l)EIF22cr(0.7l)EIF计算长度计算长度l0l0 = 2ll0 =0.5 ll0 = 0.7l22202)( lEIlEIFcr 11113 3 杆端约束的影响杆端约束的影响 讨论讨论（1 1）计算长度）计算长度 l0 l 的物理意义的物理意义1 1压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的计算计算长度长度 l 。2 2计算长度计算长度 l都都相当于相当于挠曲线挠曲线一个半波正一个半波正弦弦曲线

17、的弦长曲线的弦长22202)( lEIlEIFcr（2 2） I为为横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩1 1若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I应取最小的形心主惯性矩。应取最小的形心主惯性矩。2 2若杆端在各个方向的约束情况不同（夹支），应分别若杆端在各个方向的约束情况不同（夹支），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对为其相应的对中性轴的惯性矩。中性轴的惯性矩。 11113 3 杆端约束的影响杆端约束的影响 例例11.3 11.3 图图11.611.6（a

18、 a）所示一细长压杆，截面为）所示一细长压杆，截面为b b h h的矩的矩形形，就，就xyxy平面内的弹性曲线而言它是两端铰支，就平面内的弹性曲线而言它是两端铰支，就xzxz平平面内的弹性曲线而言它是两端固定，问面内的弹性曲线而言它是两端固定，问b b和和h h的比例应的比例应等于多少才合理？等于多少才合理？图11.6yxh(a)(b)xzb223cr220()12zxyEIE bhFll223cr22()4()( / 2)12yxzEIEhbFllcrcr()()xyxzFF2hb一、临界应力一、临界应力 压杆受临界力压杆受临界力 Fcr 作用而仍在直线平衡形态下维作用而仍在直线平衡形态下维

19、持不稳定的平衡时，其横截面上的压应力称为持不稳定的平衡时，其横截面上的压应力称为临界临界应力应力，记为，记为 cr。即即Al(EIAFcrcr22) 11114 4 临界应力曲线临界应力曲线AIi 压杆横截面对中性轴的压杆横截面对中性轴的回转回转半径半径2222222)il(Eil(EAl(EIcr一、临界应力一、临界应力临界应力临界应力令：令：2222222)il(Eil(EAl(EIcril 称为称为压杆的压杆的长细比（柔度）长细比（柔度）。集中地反映了压杆的长度，。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。临界应力的影响。22Ecr欧拉公

20、式欧拉公式 11114 4 临界应力曲线临界应力曲线 越大，相应的越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。越小，压杆越容易失稳。 若若压杆在不同平面内失稳时的约束条件不同，压杆在不同平面内失稳时的约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的长细比应分别计算在各平面内失稳时的长细比 ，并，并按按较大者较大者计算压杆的临界应力计算压杆的临界应力 cr 。一、临界应力一、临界应力22EcrcrcrAF 11114 4 临界应力曲线临界应力曲线 只有只有在在 cr P 的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力计算压杆的临界力 Fcr（临界应力（临界应力 cr ）。）。Pcr

21、E22或或PPPEE2二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用条件欧拉公式的适用条件大柔度杆大柔度杆 大于大于 p的压杆的压杆 11114 4 临界应力曲线临界应力曲线或或PPE二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围讨论讨论 当当 P P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。公式。 当当 P P 时发生非弹性屈曲，不能应用欧拉公式。用经时发生非弹性屈曲，不能应用欧拉公式。用经验公式验公式 P P 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于3 3号号钢，可取钢，可取 E=210MPaE=21

22、0MPa， P P=200MPa=200MPa，得，得102PPE 11114 4 临界应力曲线临界应力曲线 对于细长压杆，由欧拉公式得到的结果：对于细长压杆，由欧拉公式得到的结果：（1 1）结构钢）结构钢2cr0kpsSpO图11.8(b)2ABDCE欧拉曲线抛物线crcrBA(c)OpS2E2crpscrScra-bcrO(a)ppcr2E2 当当 P P 时发生非弹性屈曲，不能应用欧拉公式。用经时发生非弹性屈曲，不能应用欧拉公式。用经验公式验公式2cr2Ep 对于中长压杆与粗短压杆，由抛物线公式得到的结果对于中长压杆与粗短压杆，由抛物线公式得到的结果sSpO图11.8(b)2ABDCE欧

23、拉曲线抛物线crcrBA(c)OpS2E2crpscrScra-bcrO(a)ppcr2E2 对于细长压杆，由欧拉公式得到的结果：对于细长压杆，由欧拉公式得到的结果：（2 2）铸铁、铝合金与木材）铸铁、铝合金与木材 当当 P P 时发生非弹性屈曲，不能应用欧拉公式。用经时发生非弹性屈曲，不能应用欧拉公式。用经验公式验公式2cr2Ep 对于粗短压杆：对于粗短压杆：crscrbs 或或 对于中长压杆，对于中长压杆，采用直线经验公式：采用直线经验公式：crabspsSpO图11.8(b)2ABDCE欧拉曲线抛物线crcrBA(c)OpS2E2crpscrScra-bcrO(a)ppcr2E2或或三、

24、应用欧拉公式的步骤三、应用欧拉公式的步骤 计算计算 ，看是否满足，看是否满足 P P 若满足，再分析压杆在哪个平面内失稳，压杆若满足，再分析压杆在哪个平面内失稳，压杆总在总在 大的平面内失稳。大的平面内失稳。 11114 4 临界应力曲线临界应力曲线例题例题1 1 ：图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各：图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相等。问哪个杆先失稳。杆的材料及直径相等。问哪个杆先失稳。aFF1.3aF1. 6adAcB杆杆B B： =1 =1a.l31杆杆C C： =0.7 =0.7aal1216170.杆杆A A： = 2 = 2解：解：A A杆先失稳杆先失稳aFF1.3aF1. 6adAcBal222)( lEIFcr例题例题 2 2：截面为圆形，直径为：截面为圆形，直径为 d d 两端固定的细长压杆和截两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为面为正方形，边长为d d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度两端绞支