数学分析反常积分习题解答PPT学习教案

1、会计学1数学分析反常积分习题解答数学分析反常积分习题解答一一. 无穷限积分无穷限积分收敛的收敛的Cauchy准则准则: 定理定理8.2.1 (Cauchy收敛原收敛原则则)adxxf)(反常积分反常积分 收敛收敛 , ( ) AAA AAf x dx有 0 , , A第1页/共25页收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛条件收敛. 绝对收敛收敛，反之不成立 第2页/共25页 . 32232,212,232212,2122,2122,22322232nxnnxnxnnxnxnnxxfnnnnnnO2132n21n yx212122n 00dxxf ndxxfn1211lim20第3页/共25页二二

2、 非负函数无穷积分判敛法非负函数无穷积分判敛法:第4页/共25页比较判别法比较判别法 第5页/共25页比较判敛法的极限形式比较判敛法的极限形式: : 推论推论(比较判敛法的极限形式比较判敛法的极限形式) 设在区间设在区间 上函数上函数 则则 同敛散同敛散 : , )a( )0 , ( )0,xf x( )lim,( )xf xcx0( )( )aacf x dxx dx 和0( )( )aacx dxf x dx 时， ( )( )aacx dxf x dx 时，第6页/共25页 Cauchy判敛法判敛法: 在比较判敛法中在比较判敛法中, 以以 为比较对象为比较对象, , 即取即取则得到以下的

3、则得到以下的Cauchy判敛法判敛法. 以下取以下取 a 0 .a 0 . 1pxdx1( ),pxx第7页/共25页 定理定理8.2.3 (Cauchy判敛法判敛法 ) 设设 在在 上恒有上恒有 为正常数为正常数. (1) 若若 (2) 若若 ,)(0,)a ( ),1pKf xpx ( );af x dx ()0 ,fxK( ),1pKf xpx ( ).af x dx 第8页/共25页例例 讨论121xxxdx的敛散性.22111xxxx xx1xxx第9页/共25页 推论推论( (Cauchy判敛法的极限形式判敛法的极限形式) ) 设是在设是在 上恒有上恒有 且且 则则 (1)(2)

4、lim( ),pxx f xc ,)(0,)a ()0 ,fx0,1( ),acpf x dx 0,1( ).acpf x dx Cauchy判敛法的极限形式判敛法的极限形式: : 第10页/共25页lim( )pxx f xc( )pcf xx0,c 如果则第11页/共25页例例 讨论积分讨论积分 的敛散性的敛散性. . 0521dxxx1dxexx第12页/共25页 比较判别法是对所给的被积函数做适当的放大(如果预判为收敛)或缩小(如果预判为发散) 将不易判别的函数转化成易于判定敛散性的函数甚至是已知敛散性的函数 所谓适当，即是放大后的无穷积分应为收敛的，而缩小后的无穷积分应为发散的 对于

5、简单的函数进行适当的放大或缩小是可能的，但若被积函数比较复杂,则要适当放缩就不易了，可用极限形式的判别法第13页/共25页三三. 一般函数反常积分的收敛判敛法一般函数反常积分的收敛判敛法:定理定理8.2.4 ( 积分第二中值定理积分第二中值定理) 设函数设函数 f(x) 在区间在区间a,b上可积上可积 , g(x) 在在 a,b 上单调上单调. 则则 使使 , ,a b ( ) ( )( )( )( )( ).bbaaf x g x dxg af x dxg bf x dx证证 只就函数只就函数f(x) 在区间在区间a,b上连续上连续 , g(x) 在在 a,b上可导上可导的特殊情况施证的特殊

6、情况施证.第14页/共25页若若g(x) 在在 a,b 上单调增加上单调增加, 且且 则则 使使 若若g(x) 在在 a,b单调减少单调减少, 且且 则则 使使 ( ) ( )( )( );bbaf x g x dx g bf x dx( ) ( )( )( ).baaf x g x dx g af x dx( )0,g a , ,a b ( )0,g b , ,a b 积分第二中值定理的特例积分第二中值定理的特例:第15页/共25页 Abel 判别法判别法: : 设积分设积分 收敛收敛 , , g(x) 在在 a,b 上上单调有界单调有界, , 则积分则积分 收敛收敛.( )af x dx(

7、 ) ( )af x g x dx Dirichlet 判别法判别法: 设设 在区间在区间 上有界上有界, , g(x) 在在 a,b 上上单调有界且单调有界且 , , 则积分则积分 收敛收敛.( )( )AaF Af x dx) , a0)(limxgx( ) ( )af x g x dxAbel 判别法判别法和Dirichlet 判敛法判敛法统称为 AD 判别法。判别法。 定理第16页/共25页 例例 讨论积分讨论积分 的敛散性的敛散性. . 1sindxxx例例 讨论积分讨论积分 的敛散性的敛散性. . 1sin arctanxxdxx第17页/共25页四四. . 无界函数无界函数反常积

8、分收敛判敛法反常积分收敛判敛法: 无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反常积分常积分. 以只有一个奇点以只有一个奇点 为例为例, 列出相应的结果如下列出相应的结果如下:xb定理定理8.2.1 (Cauchy收敛原则收敛原则) 反常积分反常积分 收敛收敛 ( )baf x dx 0 , 0 , , (0, ), ( ) .bbf x dx 第18页/共25页定理定理8.2.3 (8.2.3 (Cauchy判敛法判敛法) 设在设在a,b)a,b)上有上有 若当若当x x 属于属于b b 的某个左邻的某个左邻域域 时时, , 存在正常数存

9、在正常数K, K, 使使 (1) 若若 (2) 若若 ( )0,f x 0, )bb( ),1()pKf xpbx ( );baf x dx ( ),1()pKf xpbx ( ).baf x dx 第19页/共25页 推论推论( (Cauchy判敛法的极限形式判敛法的极限形式) ) 设在设在 上恒有上恒有 且且 则则 (1)(2) lim()( ),pxbbxf xl , )a b()0 ,fx0,1( ),balpf x dx 0,1( ).balpf x dx 第20页/共25页定理定理 8.2.58.2.5 (1) Abel 判别法判别法: : 设积分设积分 收敛收敛, , g(x) 在在 a,b 上上单调有界单调有界, , 则积分则积分 收敛收敛.( )baf x dx( ) ( )baf x g x dxDirichlet 判别法判别法: 设设 在区间在区间 上有界上有界, , g(x) 在在 a,b) 上上单调有界且单调有界且 , , 则积分则积分 收敛收敛.( )baFf( 0 , ba