效用理论与保险学习教案

1、会计学1效用理论效用理论(lln)与保险与保险第一页，共49页。厌恶(ynw)风险第2页/共49页第二页，共49页。第3页/共49页第三页，共49页。1.2 期望效用期望效用(xioyng)模型模型 假设一个个体面临损失额为假设一个个体面临损失额为B ，发生概率，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意的风险，他可以将损失进行投保，并愿意(yun y)为这份保单支付保费为这份保单支付保费P，B 和和P之间有何种关系之间有何种关系？第4页/共49页第四页，共49页。第5页/共49页第五页，共49页。第6页/共49页第六页，共49页。第7页/共49页第七页，共49页。 为比较X 和Y

2、，效用函数与其线性变换是等价的，即无论选择哪个效用函数会得出相同(xin tn)的决策。 当且仅当当且仅当)(xubxau)(与与是等价的是等价的。第8页/共49页第八页，共49页。第9页/共49页第九页，共49页。第10页/共49页第十页，共49页。第11页/共49页第十一页，共49页。当当 b = 1 b = 1 时 ， 他 选 择时 ， 他 选 择(xunz)A(xunz)A；当当 b = 4 b = 4 时 ， 他 选 择时 ， 他 选 择(xunz)B(xunz)B；当当b =2 b =2 时，两者等价时，两者等价这既不是这既不是(b shi)凸函数也不是凸函数也不是(b shi)凹

3、函数。凹函数。第12页/共49页第十二页，共49页。第13页/共49页第十三页，共49页。定理不等式） 如果是一个(y )凸函数，Y 是一个(y )随机变量，则其中等号成立(chngl)当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效用函数，有第14页/共49页第十四页，共49页。被保险人被保险人(bi bo xin rn)方面：方面：第15页/共49页第十五页，共49页。第16页/共49页第十六页，共49页。保险人方面保险人方面(fngmin)：第17页/共49页第十七页，共49页。第18页/共49页第十八页，共49页。买卖买卖(mi mai)成功！成

4、功！第19页/共49页第十九页，共49页。第20页/共49页第二十页，共49页。第21页/共49页第二十一页，共49页。在后面式子的两边同时取期望在后面式子的两边同时取期望(qwng)，得到，得到第22页/共49页第二十二页，共49页。因此，风险因此，风险(fngxin)X 的最大保费近似的最大保费近似为为于是于是(ysh)风险风险X 的最大保费近似为的最大保费近似为第23页/共49页第二十三页，共49页。注意到注意到 用替换时，并没有改变用替换时，并没有改变从（从（1.18) ，我们可以看到风险厌恶系数真正反，我们可以看到风险厌恶系数真正反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，准备映了风险

5、厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，准备支付的保费也越大支付的保费也越大 u x au xb r w第24页/共49页第二十四页，共49页。.效用函数族第25页/共49页第二十五页，共49页。-例例1.3.1（指数保费）（指数保费） 假设一保险人使用参假设一保险人使用参数为数为 的指数效用函数，对于风险的指数效用函数，对于风险X ，最小，最小保费保费 应为多少？应为多少？Pa第26页/共49页第二十六页，共49页。把 代入均衡(jnhng)方程（1.11）得其中(qzhng) 是X 的矩母函数第27页/共49页第二十七页，共49页。假设损失假设损失X 服从服从 分布，其中分布，其中 表示参数为表示

6、参数为 的指数分布令的指数分布令 0.01 ，则，则EX=100 ExpExp如果被保险人的效用函数是参数为如果被保险人的效用函数是参数为 的指数效用函数，的指数效用函数， 0.005a第28页/共49页第二十八页，共49页。 因此被保险人愿意在纯保费因此被保险人愿意在纯保费 之上之上附加相当数量的额外保费附加相当数量的额外保费E X138.6100第29页/共49页第二十九页，共49页。由例中近似(jn s)式(1.18)得显然，近似表达式(1.22)随 递增(dzng)，如果X 是方差有限的非负随机变量，则(1.20)所决定的保费也是递增(dzng)的，具体证明如下。令由Jensen 不等

7、式知第30页/共49页第三十页，共49页。取 则 且第31页/共49页第三十一页，共49页。对任意(rny) 有第32页/共49页第三十二页，共49页。第33页/共49页第三十三页，共49页。由方程(fngchng)(1.10)发生损失X 之后的期望效用为以及支付保费P之后(zhhu)的效用为第34页/共49页第三十四页，共49页。近似(jn s)的最大保费：第35页/共49页第三十五页，共49页。例（不可保的风险(fngxin)） 某决策者使用风险(fngxin)厌恶系数为 的指数效用函数，他想对分布为 的风险(fngxin)进行投保，其中 表示参数为a, b的伽玛分布确定 并证明 ，何时

8、此时说明了什么？P第36页/共49页第三十六页，共49页。因为 , 我们有 .因而 所以，计算出的保费大于纯保费如果 ，则 ，这表明决策者愿意支付任何(rnh)有限的保费按照效用理论，如果风险厌恶系数为 .那么承保该风险的保险人对于任何(rnh)有限的保费P，都会遭受损失，因为 对于这些保险人来说，这种风险是不可保的P 第37页/共49页第三十七页，共49页。1.4 停止(tngzh)损失再保险的最优性 再保险合同通常只承保保险人的一部分风险停止损失(再）保险承保损失超出指定(zhdng)免赔额的超额部分它的定义如下：如果发生的损失为X(我们假设 ) . 则理赔支付为第38页/共49页第三十八

9、页，共49页。对于停止(tngzh)损失保险合同，其纯保费 称为停止(tngzh)损失保费，记为在离散(lsn)情形， 为阶梯函数，其在x 处的跳为 ；在连续情形， 有导函数 两种情形下的停止损失保费都可由下式给出 第39页/共49页第三十九页，共49页。为什么？第40页/共49页第四十页，共49页。定理定理1.4.l （停止损失再保险的最优性）用（停止损失再保险的最优性）用 记当损失为记当损失为 时，某再保险合同约定的时，某再保险合同约定的理赔支付假设理赔支付假设 对于任意对于任意 成立成立,则则I X0X X 0I xx0 x 第41页/共49页第四十一页，共49页。证明(zhngmng) 因为(yn wi) ，所以只需证明第42页/共49页第四十二页，共49页。上式成立上式成立(chngl)的一个充分条件是的一个充分条件是 以概率以概率1 成立成立(chngl)当当 时，时， 显然成立显然成立(chngl)；当当 时时, 我们有我们有 ，有，有第43页/共49页第四十三页，共49页。第44页/共49页第四十四页，共49页。例（比例再保险的最优性） 假设保险人收取保费 ,正寻求最有利的再保险 满足(mnz) ，且自留风险的方差给定如下：第45页/共49