工程力学第十章

1、第第1010章章 应力状态应力状态 强度理论强度理论 组合变形组合变形10.1 10.1 应力状态的概念应力状态的概念10.2 10.2 平面应力状态分析平面应力状态分析10.3 10.3 强度理论强度理论10.4 10.4 组合变形的强度计算组合变形的强度计算小小 结结返回10.1 10.1 应力状态的概念应力状态的概念下一页 返回10.1.1 10.1.1 一点的应力状态一点的应力状态分析横截面上的应力对解决强度问题是必要的，为了全面地分析横截面上的应力对解决强度问题是必要的，为了全面地分析强度问题，仅仅分析横截面上的应力还不够，还必须对分析强度问题，仅仅分析横截面上的应力还不够，还必须对

2、各个不同方向的斜面上的应力进行分析。各个不同方向的斜面上的应力进行分析。 通过物体内某一点不同截面上的应力情况，叫做该点的应力通过物体内某一点不同截面上的应力情况，叫做该点的应力状态。状态。10.1 10.1 应力状态的概念应力状态的概念下一页上一页返回10.1.2 10.1.2 单元体的概念单元体的概念为了研究受力构件内某一点的应力状态，假想围绕该点取出一个微小为了研究受力构件内某一点的应力状态，假想围绕该点取出一个微小的正六面体的正六面体单元体来进行分析。因为单元体的边长是非常微小的，单元体来进行分析。因为单元体的边长是非常微小的，所以，可以认为单元体各个面上的应力是均匀分布的，相对平行的

3、平所以，可以认为单元体各个面上的应力是均匀分布的，相对平行的平面上的应力大小相等、性质相同。若令单元体的边长趋于零，则单元面上的应力大小相等、性质相同。若令单元体的边长趋于零，则单元体各不同方向上的应力情况就代表了该点的应力状态。体各不同方向上的应力情况就代表了该点的应力状态。一般情况下，杆件横截面上的应力是可以求得的，因此，在截取单元一般情况下，杆件横截面上的应力是可以求得的，因此，在截取单元体时，常以横截面为基础，用一对横截面和相互垂直的两对纵截面，体时，常以横截面为基础，用一对横截面和相互垂直的两对纵截面，就可以从受力杆件中截取一个各侧面上的应力均为已知的单元体。就可以从受力杆件中截取一

4、个各侧面上的应力均为已知的单元体。这些单元体中各侧面上的应力均可通过杆件的外载荷求得，故称为原这些单元体中各侧面上的应力均可通过杆件的外载荷求得，故称为原始单元体。始单元体。10.1 10.1 应力状态的概念应力状态的概念下一页上一页返回10.1.3 10.1.3 主平面、主应力主平面、主应力单元体中切应力等于零的平面称为主平面。作用于主平面上的单元体中切应力等于零的平面称为主平面。作用于主平面上的正应力称为主应力。正应力称为主应力。根据弹性理论可以证明，在受力物体内的任一点处，总可以找根据弹性理论可以证明，在受力物体内的任一点处，总可以找到具有三个互相垂直的主平面组成的单元体，称为主单元体。

5、到具有三个互相垂直的主平面组成的单元体，称为主单元体。相应的三个主应力，一个是最大，一个最小，通常用相应的三个主应力，一个是最大，一个最小，通常用11、22、33表示，并且规定按它们代数值的大小表示，并且规定按它们代数值的大小1 2 31 2 3顺序顺序排列。排列。 上一页 返回10.1.4 10.1.4 应力状态分类应力状态分类一向应力状态，一个主应力数值不等于零的应力状态。一向应力状态，一个主应力数值不等于零的应力状态。二向应力状态二向应力状态( (平面平面) )：两个主应力数值不等于零的应力状态。：两个主应力数值不等于零的应力状态。三向应力状态三向应力状态( (空间空间) )：三个主应力

6、数值都不等于零的应力状态。：三个主应力数值都不等于零的应力状态。一向一向( (单向单向) )应力状态也称简单应力状态，二向、三向应力状态应力状态也称简单应力状态，二向、三向应力状态也称复杂应力状态。也称复杂应力状态。10.1 10.1 应力状态的概念应力状态的概念10.2 10.2 平面应力状态分析平面应力状态分析 下一页 返回工程上许多受力构件的危险点都是处于平面应力状态。例如，工程上许多受力构件的危险点都是处于平面应力状态。例如，图图10-3a10-3a所示的单元体，其上面的应力所示的单元体，其上面的应力xx、yy、xx、yy 分分布在同一个平面内，故称为平面应力状态。布在同一个平面内，故

7、称为平面应力状态。10.2.1 10.2.1 斜截面上的应力斜截面上的应力图图10-3a10-3a所示的单元体，设所示的单元体，设x x平面平面( (外法线沿外法线沿x x轴的平面轴的平面) )上的应上的应力力xx、xx和和y y平面上的应力平面上的应力yy、yy 均已知。由于垂直于均已知。由于垂直于z z轴的两平面上没有应力作用，即为主平面，该主平面上的主应轴的两平面上没有应力作用，即为主平面，该主平面上的主应力为零，因此，该单元体也可用力为零，因此，该单元体也可用图图10-3b10-3b的平面状态表示。利的平面状态表示。利用截面法可以求出与用截面法可以求出与x x轴正向轴正向角的任意斜截面

8、上的正应力角的任意斜截面上的正应力和切应力和切应力 下一页上一页返回式式(10.1)(10.1)和和(10.2)(10.2)中，正应力中，正应力xx、yy以拉应力为正，压应以拉应力为正，压应力为负；切应力力为负；切应力xx、yy以对单元体内一点产生顺时针转向以对单元体内一点产生顺时针转向的力矩时为正，反之为负；角度的力矩时为正，反之为负；角度以以x x轴逆时针转到斜截面的轴逆时针转到斜截面的外法线外法线n n时为正，反之为负。时为正，反之为负。2yx2sin2cos2xyx(10.1)(10.1) 2cos2sin2xyx(10.2)(10.2) 10.2 10.2 平面应力状态分析平面应力状

9、态分析10.2 10.2 平面应力状态分析平面应力状态分析下一页上一页返回10.2.2 10.2.2 主应力的大小和方向主应力的大小和方向由式由式(10.1)(10.1)和和(10.2)(10.2)可知，斜截面上的正应力可知，斜截面上的正应力和剪应力和剪应力随随角的改变而改变，即角的改变而改变，即和和都是都是的连续函数。的连续函数。对公式对公式(10.1)(10.1)求导，即可确定极值正应力所在平面的方位。求导，即可确定极值正应力所在平面的方位。令令 得得即即 0dddd02cos22sin)(xyx=02cos2sin2xyx(10.5)(10.5)10.2 10.2 平面应力状态分析平面应

10、力状态分析下一页上一页返回将上式与式将上式与式(10.2)(10.2)相比较可知，在切应力相比较可知，在切应力=0=0的主平面上，的主平面上，正应力正应力取得极值，即极值正应力就是主应力。取得极值，即极值正应力就是主应力。如果用如果用0 0表示主平面的外法线与表示主平面的外法线与x x轴正向间的夹角，则由式轴正向间的夹角，则由式(10.5)(10.5)可得可得 (10.6)(10.6)式式(10.6)(10.6)可确定主平面的位置可确定主平面的位置0 0，因为，因为 tg20=tg(20+180)=tg2(0+90)yxxtg22010.2 10.2 平面应力状态分析平面应力状态分析下一页上一

11、页返回所以所以0 0和和0+900+90都满足式都满足式(10.6)(10.6)。这表明有两个相互垂直。这表明有两个相互垂直的主平面，其上面的主应力分别对应最大和最小极值正应力。的主平面，其上面的主应力分别对应最大和最小极值正应力。由式由式(10.6)(10.6)求出求出sin2sin20 0和和cos2cos20 0后入后入(10.1)(10.1)式中，得两个式中，得两个主平面上的最大和最小正应力为主平面上的最大和最小正应力为因为平面应力状态可视为一个主应力为零的三向应力状态，因为平面应力状态可视为一个主应力为零的三向应力状态，则可根据则可根据maxmax和和minmin代数值的大小，按代数

12、值的大小，按1 1 2 2 3 3顺顺序排列，定出三个主应力。序排列，定出三个主应力。22minmax)2(2xyxyx(10.7)(10.7) 10.2 10.2 平面应力状态分析平面应力状态分析上一页 返回10.2.3 10.2.3 最大切应力最大切应力理论分析证明，在复杂应力状态下，最大切应力与主应力之间存理论分析证明，在复杂应力状态下，最大切应力与主应力之间存在如下数量关系：在如下数量关系：最大切应力最大切应力maxmax的作用面与最大主应力的作用面与最大主应力1 1和最小主应力和最小主应力3 3的的所在平面的夹角均成所在平面的夹角均成4545，与主应力，与主应力2 2垂直，如垂直，如

13、图图10-510-5所示。所示。231max(10.8)(10.8) 10.3 10.3 强强 度度 理理 论论下一页 返回10.3.1 10.3.1 强度理论的概念强度理论的概念无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料按某种方式的无论是单向应力状态还是复杂应力状态，材料按某种方式的失效失效( (如断裂或屈服如断裂或屈服) )都是由某一特定的因素都是由某一特定的因素( (如应力、应变或如应力、应变或变形能等变形能等) )引起的，只要导致材料失效的这一因素达到极限值，引起的，只要导致材料失效的这一因素达到极限值，构件就会破坏。这样就可以根据简单应力状态的实验结果来构件就会破坏。这样就可以根据简单

14、应力状态的实验结果来建立复杂应力状态的强度条件。关于引起材料失效的决定性建立复杂应力状态的强度条件。关于引起材料失效的决定性因素的各种假说，称为强度理论。因素的各种假说，称为强度理论。在强度理论的指导下，对复杂应力状态进行强度计算时，可在强度理论的指导下，对复杂应力状态进行强度计算时，可把它的三个主应力把它的三个主应力1 1、2 2、3 3，“折算折算”成一个与它们相成一个与它们相当的单向应力状态的主应力当的单向应力状态的主应力rr，rr就称为所研究的复杂应就称为所研究的复杂应力状态的相当应力。力状态的相当应力。 10.3 10.3 强强 度度 理理 论论下一页上一页返回不同的强度理论因为假设

15、材料破坏的原因不同，所以就有不同不同的强度理论因为假设材料破坏的原因不同，所以就有不同的的“折算折算”方法。经过方法。经过“折算折算”后，就可以用相当应力后，就可以用相当应力rr与材与材料在单向应力状态下的许用应力料在单向应力状态下的许用应力 相比较，建立起复杂应力相比较，建立起复杂应力状态下的强度条件状态下的强度条件 rr (10.9) (10.9)式式(10.9)(10.9)中的许用应力中的许用应力 ，对于脆性材料：，对于脆性材料： ， 对于塑性材料：对于塑性材料： 。 nbns10.3 10.3 强强 度度 理理 论论下一页上一页返回10.3.2 10.3.2 常用的四种强度理论常用的四

16、种强度理论由于材料的破坏按其物理实质可分为脆断和屈服两类，因而由于材料的破坏按其物理实质可分为脆断和屈服两类，因而强度理论也相应分为两类，第一类强度理论以脆断作为破坏强度理论也相应分为两类，第一类强度理论以脆断作为破坏标志的，包括最大的拉应力理论和最大拉应变理论；第二类标志的，包括最大的拉应力理论和最大拉应变理论；第二类强度理论以屈服作为破坏标志的，包括最大切应力理论和形强度理论以屈服作为破坏标志的，包括最大切应力理论和形状改变比能理论。状改变比能理论。1. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论( (第一强度理论第一强度理论) )这一理论认为：引起材料的脆性断裂的主要因素是最大拉应这一理论认为：

17、引起材料的脆性断裂的主要因素是最大拉应力。力。 10.3 10.3 强强 度度 理理 论论下一页上一页返回 2. 2. 最大拉应变理论最大拉应变理论( (第二强度理论第二强度理论) )这一理论认为：引起材料的脆性断裂的主要因素是最大拉应变。这一理论认为：引起材料的脆性断裂的主要因素是最大拉应变。3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论( (第三强度理论第三强度理论) )这一理论认为：引起材料的塑性屈服的主要因素是最大切应力。这一理论认为：引起材料的塑性屈服的主要因素是最大切应力。4.4.形状改变比能理论形状改变比能理论( (第四强度理论第四强度理论) )这个理论又称为畸变能理论，它认为材料在各

18、种复杂应力作用下，引这个理论又称为畸变能理论，它认为材料在各种复杂应力作用下，引起塑性屈服的主要原因是形状改变比能达到其单向拉伸时的极限值。起塑性屈服的主要原因是形状改变比能达到其单向拉伸时的极限值。10.3 10.3 强强 度度 理理 论论下一页上一页返回 10.3.3 10.3.3 四种强度理论的适用范围四种强度理论的适用范围材料的失效是一个极其复杂的问题，四种常用的强度理论都材料的失效是一个极其复杂的问题，四种常用的强度理论都有它符合实际的一方面，又有它不符合实际的片面的一方面。有它符合实际的一方面，又有它不符合实际的片面的一方面。大量的工程实践和试验结果表明，上述四种强度理论的适用大量

19、的工程实践和试验结果表明，上述四种强度理论的适用范围与材料的类别和应力状态等有关：范围与材料的类别和应力状态等有关：(1) (1) 脆性材料通常以断裂形式失效，宜采用第一或第二强度脆性材料通常以断裂形式失效，宜采用第一或第二强度理论。理论。(2) (2) 塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四强度塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四强度理论。理论。上一页 返回(3) (3) 在三向拉应力状态下，如果三个拉应力相近，无论是塑在三向拉应力状态下，如果三个拉应力相近，无论是塑性材料或脆性材料都将以断裂形式失效，宜采用第一强度理性材料或脆性材料都将以断裂形式失效，宜采用第一强度理论论最大

20、拉应力理论。最大拉应力理论。(4) (4) 在三向压缩应力状态下，如果三个压应力相近，无论是在三向压缩应力状态下，如果三个压应力相近，无论是塑性材料或脆性材料都可引起塑性变形，宜采用第三或第四塑性材料或脆性材料都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。强度理论。10.3 10.3 强强 度度 理理 论论10.4 10.4 组合变形的强度计算组合变形的强度计算下一页 返回工程上大多数杆件在外力作用下，产生较为复杂的变形，但工程上大多数杆件在外力作用下，产生较为复杂的变形，但经分析可知，这些变形均可看成是两种或两种以上的基本变经分析可知，这些变形均可看成是两种或两种以上的基本变形组合，这种变形称

21、为组合变形。形组合，这种变形称为组合变形。10.4.1 10.4.1 弯曲与拉伸弯曲与拉伸( (压缩压缩) )组合变形的强组合变形的强度计算度计算当构件发生的弯曲拉伸当构件发生的弯曲拉伸( (压缩压缩) )组合变形时，对于抗压强度等组合变形时，对于抗压强度等于抗拉强度的塑性材料，为使杆件具有足够的强度，只需按于抗拉强度的塑性材料，为使杆件具有足够的强度，只需按截面上的最大应力进行强度计算，其强度条件为截面上的最大应力进行强度计算，其强度条件为WzMAFNmaxmax (10.14)(10.14)下一页上一页返回10.4.2 10.4.2 弯曲与扭转组合变形的强度计算弯曲与扭转组合变形的强度计算

22、机械中的转轴，通常是在弯曲与扭转组合变形下工作。现以机械中的转轴，通常是在弯曲与扭转组合变形下工作。现以图图10-9a10-9a所示的圆轴所示的圆轴ABAB为例，来具体说明弯曲与扭转组合变形为例，来具体说明弯曲与扭转组合变形的强度计算方法。该轴的左端固定，在右端带轮的边缘上受的强度计算方法。该轴的左端固定，在右端带轮的边缘上受一垂直向下的力一垂直向下的力F F作用，带轮半径为作用，带轮半径为R R。首先分析力首先分析力F F对轴对轴ABAB的作用。将力的作用。将力F F向圆轴的向圆轴的B B截面形心简化，截面形心简化，得到一个力和一个力偶矩得到一个力和一个力偶矩M Me e，如，如图图10-9

23、b10-9b。其值分别为。其值分别为 F F = =F F M Me=e=FRFR 力力F F 使轴在使轴在xAyxAy平面内发生弯曲，力偶平面内发生弯曲，力偶MeMe使轴扭转，故轴上使轴扭转，故轴上产生弯曲与扭转组合变形。产生弯曲与扭转组合变形。10.4 10.4 组合变形的强度计算组合变形的强度计算10.4 10.4 组合变形的强度计算组合变形的强度计算下一页上一页返回根据轴根据轴ABAB的受力情况，画出的受力情况，画出ABAB轴的扭矩图和弯矩图如轴的扭矩图和弯矩图如图图10-10-9c,d9c,d所示。由图可知，固定端截面所示。由图可知，固定端截面A A为危险截面，其上的弯矩为危险截面，

24、其上的弯矩和扭矩值分别为和扭矩值分别为 M M= = F F l l T T= = M Me=e=FRFR由于在危险截面上同时作用弯矩和扭矩，故该截面上必同时由于在危险截面上同时作用弯矩和扭矩，故该截面上必同时存在弯曲正应力和扭转切应力，其分布情况如存在弯曲正应力和扭转切应力，其分布情况如图图10-9e10-9e所示。所示。由应力分布图可见，由应力分布图可见，C C、D D两点的正应力和切应力均达到了最两点的正应力和切应力均达到了最大值，因此，大值，因此，C C、D D两点为危险点，该两点的弯曲正应力和扭两点为危险点，该两点的弯曲正应力和扭转切应力分别为转切应力分别为zWMPWT10.4 10

25、.4 组合变形的强度计算组合变形的强度计算下一页上一页返回取取C C、D D两点的单元体如两点的单元体如图图10-9f10-9f、g g所示，它们均属于平面应所示，它们均属于平面应力状态，故需按强度理论来建立强度条件。力状态，故需按强度理论来建立强度条件。对于在弯曲和扭转作用下的转轴，一般用塑性材料制成，由对于在弯曲和扭转作用下的转轴，一般用塑性材料制成，由于其抗拉、抗压强度相同，因此，于其抗拉、抗压强度相同，因此，C C、D D两点的危险程度是相两点的危险程度是相同的。现取同的。现取C C点为例，采用第三强度理论和第四强度理论进行点为例，采用第三强度理论和第四强度理论进行强度计算。强度计算。

26、由前述知，单元体由前述知，单元体C C的第三、第四强度理论的相当应力分别为的第三、第四强度理论的相当应力分别为2234r2243r10.4 10.4 组合变形的强度计算组合变形的强度计算上一页 返回将将 、 代入上面两式，并注意到代入上面两式，并注意到W WP=2P=2W WZ Z， 即得到按第三和第四强度理论建立的强度条件为即得到按第三和第四强度理论建立的强度条件为zWMPWTWzTMr223 WzTMr22475. 0 (10.15)(10.15)(10.16)(10.16) 下一页 返回(1) (1) 一点和的应力状态是指受力构件内某点处在各个不同方位一点和的应力状态是指受力构件内某点处

27、在各个不同方位截面上的应力情况。一点处的应力状态可采用单元体来表示。截面上的应力情况。一点处的应力状态可采用单元体来表示。(2) (2) 单元体上切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应单元体上切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。过受力构件的某点，总可以找到一个主单元体，力称为主应力。过受力构件的某点，总可以找到一个主单元体，其上作用着三个主应力其上作用着三个主应力1 1 2 2 3 3 。它是解释材料失效。它是解释材料失效和建立强度理论的基础。和建立强度理论的基础。(3) (3) 平面应力状态下的主要公式。平面应力状态下的主要公式。任意斜截面上的应力计算公式：任意斜截面上的应力计算公式：小小 结结2yx2sin2cos2xyx下一页上一页返回主应力计算公式主应力计算公式按按1 1 2 2 3 3定出三个主应力。定出三个主应力。主平面的方位角：主平面的方位角：最大切应力计算公式：最大切应力计算公式： 小小 结结2cos2sin2xyx22minmax)2(2xyxyxyxxtg220231max下一页上一页返回(4) (4) 强度理论是关于材料失效原因的假说。它利用单向拉伸的实强度理论是关于材料失效原因的假说。它利用单向拉伸的实验结果来建立复杂应力状态下的强度条件：验结果来建立复杂应力状态下的强度条件：rr 四个强度理论的相当应力分别为四