必修一数学抽象函数习题含答案

1、抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1如果奇函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上是增函数且有最小值为5，那么 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上是( )A. 增函数且最小值为 SKIPIF 1 0 B. 增函数且最大值为 SKIPIF 1 0 C. 减函数且最小值为 SKIPIF 1 0 D. 减函数且最大值为 SKIPIF 1 0 分析：画出满足题意的示意图，易知选B。2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在 SKIPIF 1 0 上的偶函数 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，并且 SKIPIF 1 0

2、在 SKIPIF 1 0 上为增函数。若 SKIPIF 1 0 ，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围 .二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3已知函数f(x)= SKIPIF 1 0, g(1) =2,g(x) 是增函数. SKIPIF 1 x2因为，g(x)是R上的增函数, 且g(x)0。故g(x1) g(x2) 0。 g(x1)+1 g(x2)+1 0， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 - SKIPIF 1 0。f(x1)- f(x2)= SKIPIF 1 0 - SKIPIF 1 0 =1- SKIP

3、IF 1 0 -(1- SKIPIF 1 0 ) = SKIPIF 1 0 - SKIPIF 1 0。可以推出：f(x1) f(x2)，所以f(x)是R上的增函数。例4已知 SKIPIF 1 0 对一切 SKIPIF 1 0 ，满足 SKIPIF 1 0 ，且当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，求证：（1） SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 在R上为减函数。证明： SKIPIF 1 0 对一切 SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 。且 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，

4、现设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， 则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 为减函数。 2.证明奇偶性例5已知 SKIPIF 1 0 的定义域为R，且对任意实数x，y满足 SKIPIF 1 0 ，求证： SKIPIF 1 0 是偶函数。分析：在 SKIPIF 1 0 中，令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF

5、1 0 ，得 SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 是偶函数。三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ SKIPIF 1 0 ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例6已知 SKIPIF 1 0 是定义在（ SKIPIF 1 0 ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 SKIPIF 1 0 ，试确定 SKIPIF 1 0 的取值范围。解： SKIPIF 1 0 是偶函数，且在（0，1）上是增函数， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是减函数，

6、由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 。 （1）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，不等式不成立。（2）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 （3）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，综上所述，所求 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 四、不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ SKIPIF 1 0 ”，转化为代数不等式求解。例7已知函数 SKIPIF 1 0 对任意 SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 ，当 SKIP

7、IF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求不等式 SKIPIF 1 0 的解集。解：设 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， 则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， 故 SKIPIF 1 0 为增函数， 又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因此不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 SKIPIF 1 0 。五、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数

8、的奇偶性去掉函数符号“ SKIPIF 1 0 ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ SKIPIF 1 0 ”。例8.设函数 SKIPIF 1 0 定义在R上，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，且对任意 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 。（1）证明 SKIPIF 1 0 ；（2）证明： SKIPIF 1 0 在R上是增函数；（3）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 满足的条件。解：（1）令 SKIPIF 1 0 得 SK

9、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 。 若 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 ，这与当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 矛盾， SKIPIF 1 0 。 （2）设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，由已知得 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （3）由 SKIPIF 1 0 得 SKIP

10、IF 1 0 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 （2）从（1）、（2）中消去 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 。例9. 已知 SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 0 ,若 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 .（1）判断函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+ SKIPIF 1 0 )f( SKIPIF 1 0 ).解：（1）设任意x1,x21,1,且x1x2.由于f(x)是定义在 SKIPIF 1 0 上的奇函数，f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1).因为x1x2,所以x2+(x1)0,由已知有 SKIPIF 1 0f(x2)+f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在1，1上是增函数.（2）由不等式f(x+ SKIPIF 1 0 )f( SKIPIF 1 0 )得 SKIPIF 1 0 ,解得1x0,即为所求. 例10、已知设函数 SKIPIF 1