信号分析_第6章 多分辨分析

1、1*,( )( , ),( )( )msm nm ndnW m nss tt dtwhere信号的离散小波展开信号的离散小波展开 mnnmmtndts)()()(,信号的信号的Fourier级数展开级数展开mtjkekSts0)()(0dtetsTkStjk0)(1)(0where2主要内容主要内容u尺度函数与小波函数的性质尺度函数与小波函数的性质uMallat Mallat 算法与实现算法与实现u多分辨分析的引入多分辨分析的引入u正交小波构造的基本方法正交小波构造的基本方法u多分辨分析与正交小波变换多分辨分析与正交小波变换第第8章章 小波变换的多分辨分析小波变换的多分辨分析3多分辨分析又称为

2、多尺度分析。多分辨分析又称为多尺度分析。多分辨分析理论统一了孤立的正交小波的构造行多分辨分析理论统一了孤立的正交小波的构造行为，建立了正交小波变换的数学基础，使小波构为，建立了正交小波变换的数学基础，使小波构造有了一般的方法。造有了一般的方法。 1986 年，年，Mallat 将图象处理的多尺度分析引入将图象处理的多尺度分析引入小波分析，建立了小波构造理论及小波分析，建立了小波构造理论及OWT的的 快速快速算法。算法。MRA (Multi-Resolution Analysis)是建立在函数是建立在函数空间概念上的理论，它将函数空间剖分为尺度空空间概念上的理论，它将函数空间剖分为尺度空间和小波

3、空间。间和小波空间。引言引言注：以下没有特殊申明，分辨率指时间分辨率注：以下没有特殊申明，分辨率指时间分辨率41 尺度函数尺度函数 (Scale Function)与尺度空间与尺度空间Zknknttkn, )()(),(则称则称 为为尺度函数尺度函数，即平移后正交的函数。，即平移后正交的函数。)(t1)尺度函数尺度函数)()(nttn若若基带函数基带函数满足满足)(t平移后平移后5对对 作二进制伸缩及整数移位，得到函数序列作二进制伸缩及整数移位，得到函数序列, )(t)2(2)(2/,nttmmnm为为m尺度函数尺度函数称作零尺度函数称作零尺度函数)()(, 0nttn特例：特例：m=062)

4、尺度空间尺度空间由零尺度函数由零尺度函数 张成张成(支撑、组成支撑、组成)的空间的空间),()(, 0ZnnttnZntspanVn ),(, 00为为零尺度空间。零尺度空间。由由 m 尺度函数序列尺度函数序列ZntspanVnmm ),(,)2(2)(2/,nttmmnm张成的空间张成的空间称为称为m尺度空间尺度空间7t)2/(1t5 . 0t)(t1Example: Haar 小波对应的尺度函数小波对应的尺度函数)(tt)2/(1t12t)2/(2t12121ma020ma121ma222ma分辨率分辨率2/1a12/14/11V尺度空间尺度空间0V1V2Vm分辨率分辨率尺度因子尺度因子对

5、应的子空间对应的子空间2101VVVV83)信号在尺度空间中的展开信号在尺度空间中的展开nmmmnmnmmmntnatnatstsP)2()(2)()()()(2/,在在m尺度空间中对信号尺度空间中对信号s(t)进行展开进行展开)(),()(,ttsnanmmmwhere意义意义：展开得到：展开得到sm(t)是信号是信号s(t)在空间在空间Vm中的投中的投影。影。 sm(t)仅仅是仅仅是s(t)在在Vm空间中的近似。空间中的近似。)()(),()()()()(,tttstnatstsPnmnnmmnmnmmm低频分量的)(滤出 ts9Especial case ：在：在0尺度空间中展开尺度空间

6、中展开nnnntnatnatstsP)()()()()()(0, 0000)(),()(, 000ttsnanwhere意义意义：展开：展开s0(t)是信号是信号s(t)在空间在空间V0中的投影中的投影, s0(t)仅仅是仅仅是s(t)在在V0空间中的近似。空间中的近似。)()(),()()()()(, 0, 00, 0000tttstnatstsPnnnnn有关带宽度与尺度因子其低频部分，a频的)(滤出 ts102 信号的分解近似信号的分解近似离散矢量离散矢量)(its可以用来近似信号可以用来近似信号s(t) 成立Zknknttkn, )()(),(1,0t1( ) 0,t 其它函数函数成一

7、组正交函数移可构是一个尺度函数，其平因此函数)(t)()(0 , 0ttV0空间中的基函数空间中的基函数mmtt2)(0 ,Vm空间中的基函数空间中的基函数11(a)11t)(t1) 在在0尺度空间中对尺度空间中对s(t)的概貌近似的概貌近似 (b)(0tsPt(c)(0nan(a)1t12)2/(t(b)t)(1tsPt(c)k)(1nan高分辨率高分辨率低分辨率低分辨率2) 在在1尺度空间中尺度空间中s(t)的概貌近似的概貌近似nntnatsP)()()(, 000nntnatsP)()()(, 111123) 不同的尺度空间中对信号近似的特点不同的尺度空间中对信号近似的特点m 小时，投影

8、可反映信号的细微特征。小时，投影可反映信号的细微特征。m大时，投影只反映信号的粗略概貌。大时，投影只反映信号的粗略概貌。随尺度因子随尺度因子m减小时，可实现对信号由粗到精的观察。减小时，可实现对信号由粗到精的观察。这就是这就是 MRA 的思想。即由的思想。即由大尺度看信号概貌大尺度看信号概貌，小尺度小尺度看信号细节看信号细节。)(| )(tstsPmm近似误差趋于近似误差趋于0mmtsP| )(近似误差最大近似误差最大) 1()()2(1ttt由于由于)1(2()2()2()1(tttmmm推广为推广为13作业作业8-1：在：在0尺度空间中展开尺度空间中展开nnnntnatnatstsP)()

9、()()()()(0, 0000)(),()(, 000ttsnanwhere)()()(和)()()(),(),(, 111, 00000tnatsPtnatsPtstsPnnnn当当ftfttsin)()(0na是满足采样定理的是满足采样定理的采样序列时，讨论采样序列时，讨论物理意义及相互之间的关系，并与采样定理进物理意义及相互之间的关系，并与采样定理进行对比分析行对比分析143 近似误差的表示近似误差的表示用用Haar小波小波 其它012/112/101)(ttt来表示误差项来表示误差项 ) () (),(nnntnt) () 2()2(2)(),(*,nnntntttmmmnmnmwh

10、ere)2(2)(2/,nttmmnm15小波空间小波空间ZntspanWn ),(, 00为为尺度为尺度为0的小波空间。的小波空间。由由 m 尺度小波函数尺度小波函数ZntspanWnmm ),(,)2(2)(2/,nttmmnm张成的空间张成的空间称为称为尺度为尺度为m的小波空间的小波空间由尺度为由尺度为0的小波函数的小波函数 张成的空间张成的空间)()(, 0nttnexampleexample16(b)(1tsDt(b)(0tsDt(c)(1ndn(c)(0ndn(a)t)(t011(a)t)2/(t1121) 在在0尺度空间中对尺度空间中对s(t)的细节近似的细节近似 2) 在在1尺

11、度空间中尺度空间中s(t)的细节近似的细节近似nntndtsD)()()(, 000nntndtsD)()()(, 11117从空间的角度来讲，从空间的角度来讲， .1jj210VVVVVmmVV1即即s(t)在高分辨率基函数所形成的在高分辨率基函数所形成的尺度空间尺度空间中的近似，等中的近似，等于它在低分辨率于它在低分辨率尺度空间尺度空间中的近似，再加上某些细节。中的近似，再加上某些细节。 )()()(110tsDtsPtsPwhere)(1tsD是用是用)(0tsP)(1tsP近似时和用近似时和用近似时的差值近似时的差值很显然很显然)(0tsP)(1tsP比比对信号的近似要好对信号的近似要

12、好18从空间的角度来讲，从空间的角度来讲， 110WVV进一步推广有进一步推广有 mmmWVV1 -进而有进而有 122110WWVWVV11 -WWWVjjj且且 .1210jjVVVVV即它们是即它们是正交补空间正交补空间194 尺度函数和小波函数的关系尺度函数和小波函数的关系)2/()2/(2)(1ttt(a)11t)(t(b)1t12)2/(t(c)t)(t011(d)t) 2/(t112) 1()()2(1ttt) 1()()2(1ttt低频低频高频高频200V1V1W2V2W3V3W2/4/00002/4/8 /5 基于树结构的滤波器组实现信号的多分辨分析基于树结构的滤波器组实现信

13、号的多分辨分析21110WVV2W3W3V1W)(H)(G00V1V2V1V122WWV1233WWWV2V频率空间的剖分频率空间的剖分0000,( )( )( )( )nnPs ts ta nt1111,( )( )( )( )nnPs ts ta nt2222,( )( )( )( )nnPs ts ta nt22主要内容主要内容u尺度函数与小波函数的性质尺度函数与小波函数的性质uMallat Mallat 算法与实现算法与实现u多分辨分析的引入多分辨分析的引入u正交小波构造的基本方法正交小波构造的基本方法u多分辨分析与正交小波变换多分辨分析与正交小波变换231 多分辨分析多分辨分析(Mu

14、lti Resolution Analysis, MRA)的定义的定义)()()(110tsDtsPtsP从空间的角度来考察上式，可表示为从空间的角度来考察上式，可表示为110WVVwhere表示空间直和表示空间直和,它们是正交补它们是正交补推广上述概念推广上述概念110WVV122WWV.11WWWVmmm1233WWWV1210mmVVVVVwhere24MRA的严格定义的严格定义MRA 是指在是指在 空间内构造一个子空间空间内构造一个子空间 列列 ，使之满足，使之满足:zmVm)(2RL伸缩性（包容性）伸缩性（包容性）21012VVVVV逼近性（渐近完全性）逼近性（渐近完全性）0mZmV

15、)(2RLVmZm 11)2()(mmVtsVts单调性（包容性）单调性（包容性）平移不变性平移不变性ZnVntsVtsmmm,)2()(25正交基存在性正交基存在性0( ) tV ():tnnZ0V如果存在一个基本函如果存在一个基本函数数，使得，使得是是的的Riesz基基 Riesz 基基 ：线性独立的框架。由：线性独立的框架。由Riesz 基基 可构造出一组正交基。可构造出一组正交基。则称由同一尺度函数则称由同一尺度函数 伸缩后的平移序列伸缩后的平移序列张成的闭子尺度空间张成的闭子尺度空间 是关于是关于 尺度函数的尺度函数的多分辨分析或多分辨近似多分辨分析或多分辨近似:zmVm)(t)(t

16、26110WVV2W3W3V1W)(H)(G00V1V2V1V122WWV1233WWWV2V频率空间的剖分频率空间的剖分272 尺度函数与尺度空间的特点尺度函数与尺度空间的特点)()2(),2(knttmkmn尺度函数尺度函数 在在 中中(同一尺度空同一尺度空 间内间内)正交。正交。)2(tmnmV尺度函数尺度函数 在在 中中(不同尺度不同尺度 空间内空间内)不正交。不正交。)2(tmn)(2RL ),()2(),2(mmknttmkmn正交要求互不包容，也不相交。正交要求互不包容，也不相交。)2()2(ttmkmn1mmVV1mmVV中的正交基，是中的正交基，是)2(tm)(2RLmV不是

17、不是中的正交基中的正交基conclusion 283 小波空间的特点小波空间的特点-L2(R R)中的正交子空间中的正交子空间mmmmmWVVVV之间有差异，令差异为与11mmmmmWVWVV,1正交性正交性mmmWW完备性完备性mWL)(2RZm伸缩不变性伸缩不变性mmWtsWts)2()(0由由 可推想可推想s(t) 在在 空间上的投影，空间上的投影，正好是正好是 s(t)在在 空间上投影之差，所以又称空间上投影之差，所以又称为为细节空间细节空间。mmmVVW1mWmmVV,1Conclusion294 信号在信号在Vm和和Wm空间中的分解空间中的分解中的低通函数是设归一化尺度函数0)(V

18、t中的带通函数是设小波函数0)(Wt),(Znnt0V是是中的正交归一化基，中的正交归一化基，,),(,ZnZmtnmmV是是中的正交归一化基中的正交归一化基 ),(Znnt0W是是中的正交归一化基，中的正交归一化基，,),(,ZnZmtnmmW是是中的正交归一化基中的正交归一化基 301)信号在信号在V0, V1和和W1空间中的分解空间中的分解s(t)在在0V中的投影中的投影 nnnntnatnatsP)()()()()(0,000)(),()(),()(,0,000ttsttsPnannwherennnnnntttstttstsP)()(),()()(),()(,0,0,00)(0tsP0

19、V是是s(t)在在中的分段平滑逼近，中的分段平滑逼近，)(0na0V是其在是其在中的离散逼近。中的离散逼近。 它们得到的均是它们得到的均是s(t)在尺度在尺度m=0时的概貌时的概貌 物理意义：物理意义：31nnnntnatnatsP)2()(2)()()(111, 111)(),()(),()(, 1, 111ttsttsPnannnnntttstsP)()(),()(, 1, 11同理同理nnnttts)()(),(, 1, 1s(t)在在1W中的投影中的投影 nnnntndtndtsD)()()()()(1, 111)(),()(),()(, 1, 111ttsttsDndnn)(1tsD

20、1W是是s(t)在在中的分段连续细节逼近，中的分段连续细节逼近，)(1nd1W是其在是其在中的离散细节逼近。中的离散细节逼近。 物理意义：物理意义：)(1nd12a就是尺度就是尺度时离散网格上的小波变换时离散网格上的小波变换 )(1tsD)(1nd反映的是反映的是s(t)的高频成分的高频成分32110WVV)()()(110tsDtsPtsP)()()(101tsPtsPtsD由于由于)(1nd12a就是尺度就是尺度时离散网格上的小波变换时离散网格上的小波变换 )(1tsD)(1nd反映的是反映的是s(t)的高频成分的高频成分1W10,VVs(t)在在中的投影，等于中的投影，等于s(t)分别在

21、分别在也是在也是在m=0和和m=1这两个分辨率水平上的逼近之差这两个分辨率水平上的逼近之差 中的投影的差，中的投影的差，物理意义物理意义332)信号在信号在Vm和和Wm空间中的分解空间中的分解nnmmmtnatsP)()()(,)(),()(),()(,ttsttsPnanmnmmmnnmmmtndtsD)()()(,)(),()(),()(,ttsttsDndnmnmmm)()()(1tsDtsPtsPmmm)()()(1tsPtsPtsDmmms(t)在在mV中的投影中的投影 s(t)在在mW中的投影中的投影 它们之间的关系它们之间的关系 34)(),()(),()(,ttsttsPnaa

22、nmnmmmnm)(),()(),()(,ttsttsDnddnmnmmmnm3)正交小波变换正交小波变换)(),(,ttsanmnm)(),(,ttsdnmnm称为正交小波变换称为正交小波变换物义物义 ：将信号分解为尺度分量和小波分量。：将信号分解为尺度分量和小波分量。尺度分量对应信号的尺度分量对应信号的低频成分低频成分，小波分量对应信号，小波分量对应信号的的高频成分高频成分尺度系数尺度系数小波系数小波系数353)正交小波逆变换正交小波逆变换mjjmWVRL)(2 nnjmjnjnmnnmtdtcts)()()(,)()(,tdtsnmnmnmmVmW1mW0,)(,0,2nmmmcWRLV

23、m当Zm)(),(1)(),()(,ttsAttstsnmnmnmnmnmnmA=B=1 与正交与正交 DWT是一致是一致36主要内容主要内容u多分辨分析与正交小波变换多分辨分析与正交小波变换u尺度函数与小波函数的性质尺度函数与小波函数的性质uMallat Mallat 算法与实现算法与实现u正交小波构造的基本方法正交小波构造的基本方法u多分辨分析的引入多分辨分析的引入371. Poisson公式公式满足),(函数集合 )Znnti) () ()(*nndtntnt的充分必要条件为的充分必要条件为1| )2(|2Znnwhere)()(t意义：意义：给出了一种判断一个函数可否作为尺度函数的方法

24、给出了一种判断一个函数可否作为尺度函数的方法38和),( )111Znntii),(222Znnt是两组正交的函数集合是两组正交的函数集合，即，即0)()(2*211dtntnt0)2()2(*21Znnn有有where)()(),()(2211tt意义：意义：给出了一种判断两组函数是否正交的频域方法给出了一种判断两组函数是否正交的频域方法例如例如同一尺度下的小波空间和尺度空间中的信号集合同一尺度下的小波空间和尺度空间中的信号集合392. 尺度函数与小波函数的重要性质尺度函数与小波函数的重要性质1) 对尺度函数而言，同一尺度之对尺度函数而言，同一尺度之 具有具有位移正交性，即位移正交性，即)(

25、,tnm)()(),(,knttkmnm时域时域1)2(2Zkk频域频域不同尺度之尺度函数不具有正交性，即不同尺度之尺度函数不具有正交性，即),()(),(,mmnnttnmnm402) 小波函数小波函数 ，对所有，对所有 都具有正交性。都具有正交性。)(,tnmZnm,; ,) () (nnmmnmnmnnmm3) 同一尺度同一尺度 与与 具有位移正交性具有位移正交性nm,nm , 0,nnnmnm时域时域0)2( )2(kkk频域频域1)2( 2kk且：where)()(t413. 二尺度方程二尺度方程(a)11t)(t(b)1t12)2/(t(c)t)(t011(d)t) 2/(t112

26、) 1()()2(1ttt1)特例特例 Harr小波与尺度函数的关系小波与尺度函数的关系) 1()()2(1ttt0)(Vt 011)2(VVt011)2(VWt) 12()2()() 12()2()(tttttt422) 尺度尺度m=1的时域二尺度方程的时域二尺度方程将波形的能量归一后有：将波形的能量归一后有：)()() 1(21)(21)2(211 ,01ntnhtttn)()() 1(21)(21)2(211 , 01ntngtttn21) 1 (,21)0(hh21) 1 (,21)0(gg物理意义：物理意义：低一级分辨率的尺度函数和小波函数可以通低一级分辨率的尺度函数和小波函数可以通

27、过上一级尺度函数滤波得到，对应的滤器组为过上一级尺度函数滤波得到，对应的滤器组为两通道两通道正正交共轭镜像滤波器组交共轭镜像滤波器组43ZnnZnZnnZntngntngtttnhntnhtt)()()()()21(21)()()()()()21(21)(, 00, 1, 00, 1可写成可写成 ():tnnZ0V),(Znnh),(Znng构成构成 的标准正交基，所以存在数列的标准正交基，所以存在数列 使上式成立使上式成立11,0101( )(2)2ttVV11,0101( )(2)2ttWV0,00( )( )ttV4411( ), ()2211( ), ()22h nttng nttn同

28、时有：同时有：2( ) ()22( ) ()2n Zn Zth ntntg ntn物理意义：物理意义： 可由可由 经数字滤波而经数字滤波而得，该数字滤波器的单位冲激响应为得，该数字滤波器的单位冲激响应为)(),(tt)2(nt )(),(ngnh)(),(10nhnh称为滤波器组系数称为滤波器组系数(单位冲激响应单位冲激响应) .453)推广到推广到m尺度尺度111(2)( ) (2)21(2)( ) (2)2mmi Zmmi Zth ititg iti 对应的是低通滤波器的冲激响应对应的是低通滤波器的冲激响应),(Znnh二尺度方程揭示了二尺度方程揭示了相邻两尺度下相邻两尺度下, 尺度函数之

29、间及尺度函数与小波尺度函数之间及尺度函数与小波函数之间的关系函数之间的关系 ),(Znnh),(Znng)()(tt和与与m无关，对任意两无关，对任意两序列序列个相邻分辨率级的个相邻分辨率级的都适用都适用 对应的是高通滤波器的冲激响应对应的是高通滤波器的冲激响应),(Znng不同的尺度函数和小波函数对应不同的不同的尺度函数和小波函数对应不同的),(Znng),(Znnh,1,1,( )(2 )( )( )(2 )( )m nmkkm nmkkth knttg knt460V1V1W2V2W3V3W2/4/00002/4/8 /( )H z( )H z( )G z( )G z474)二尺度方程的

30、频域表示二尺度方程的频域表示m=0 的二尺度频域方程的二尺度频域方程thentif )()( dtentnhtjn)2()(2)(Rt detnhntjnR2)()()(212)(212njnenh22HnjnenhH)(21)(where48njnengG)(21)(22)( G同理同理1 . 可用可用 经滤波而得。经滤波而得。 )( ),()2(2 . 是数字滤波器，其单位冲激是数字滤波器，其单位冲激 响应为响应为 )(),(GH)(),(ngnh物理意义：物理意义：4922)(H442HH8842HHHlNllH221 102limll12)(llH22)( G同理同理442HG8842

31、HHG222llHG意义：意义：( )H( )G)()( 建立了建立了和和与与的直接关系的直接关系 与与给出了一种获取正交小波的方法给出了一种获取正交小波的方法505)滤波器组系数的性质滤波器组系数的性质， dtntnhdttn)2()(2)(RRRt dtnhn)(21)(dtntngdttn)2()(2)(RR11(0)( )( )( ) (0)22nng nt dtg nR,2)( )Znnhi0)(Znng证明提示证明提示51频域初值 )ii2)()(0knhH0)()(0kngG带通)(H)(G是数字高通滤波器。是数字高通滤波器。)(G物理意义：物理意义： 是数字低通滤波器是数字低通

32、滤波器)(H满足和)()( )GHiii22( )()1HH22( )()1GG( )( )()()0GHGH52二尺度方程的作用和物理解释：二尺度方程的作用和物理解释：满足小波变换多分辨分析中的二尺度满足小波变换多分辨分析中的二尺度方程的滤波器组成一对共轭正交滤波器方程的滤波器组成一对共轭正交滤波器组；组；将小波变换和滤波器组联系起来；将小波变换和滤波器组联系起来；为离散信号的小波变换的快速实现提为离散信号的小波变换的快速实现提供了途径。供了途径。为构造正交小波提供了通用的方法。为构造正交小波提供了通用的方法。53主要内容主要内容u多分辨分析与正交小波变换多分辨分析与正交小波变换u尺度函数与

33、小波函数的性质尺度函数与小波函数的性质uMallat Mallat 算法与实现算法与实现u正交小波构造的基本方法正交小波构造的基本方法u多分辨分析的引入多分辨分析的引入541)( mVtsif尺度展开系数 ,Zncnm小波展开系数 ,Zndnm ZnnmnmZnnmnmZnnmnmtdtctctsthen)()()()( , 1, 1)(),(,ttsdnmnm)(),(,ttscnmnmwhere意义意义来近似时，可以用当)()(,ttnm采样满足采样满足Nyquist准则时，准则时，nmc,是对是对)(tsPm采样序列采样序列nmd,是对是对)(tsDm采样序列采样序列1)问题的提出问题的

34、提出 )(),(, 1, 1ttscnmnmnmc, 1是对是对)(ts采样序列采样序列55 mmmWVV1ZnnmnmZnnmnmZnnmnmtdtctc)()()(, 1, 1Zncnm,Zncnm,Zndnm确定展开系数确定展开系数和和与与之间的关系之间的关系,如何互求？如何互求？ 研究内容：研究内容：mdmc1mcmdmc1mc56由二尺度方程由二尺度方程)()2()(, 1,tnkhtkmknm)()2()(, 1,tnkgtkmknm*,1,( ),(2 )( ),m nm nmkkcs th kns t*1,(2 )mkkh kn c注意：注意：n是是m尺度空间的位移变量。尺度空

35、间的位移变量。k是是m-1尺度空间的位移变量。尺度空间的位移变量。2)快速分解算法快速分解算法 1,(2 )mkkh kn c57,1,( ),(2 )m nm nmkkds tg kn c1d1c2d2c1Nd1NcNdNc0c上述分解的图解上述分解的图解,1,(2 )m nmkkch kn c,1,(2 )m nmkkdg kn c58尺度系数分解之物理含义与实现尺度系数分解之物理含义与实现kmkkmknmcknhcnkhc, 1, 1,)2()2(mmxmkhkxkhky)()()()()(比较比较卷积变量为卷积变量为 k ，卷积的结果中，只有偶数，卷积的结果中，只有偶数2k项存项存在，

36、无奇数在，无奇数 2k+1 项，故为半滤波，项，故为半滤波，应在全滤波应在全滤波后进行后进行2 处理。处理。求求 时，时， 与与 进行卷积运算，其实质进行卷积运算，其实质是对是对 进行低通滤波进行低通滤波nmc,nmc, 1)(0nh nmc, 1同理同理kmkkmknmckngcnkgd, 1, 1,)2()2(59nmc, 1)( nh 2nmc,低通滤波抽取器nmc, 1)( ng 2nmd,波高通滤抽取器nmkmknmcnhcknhc, 1, 1,*)()2(nmkmknmcngckngd, 1, 1,*)()2(实现方法实现方法分解后，分解后， ， 数据量减半，但合并（重构）后相同。

37、数据量减半，但合并（重构）后相同。nmc, 1nmc,nmd, 经低通、高通滤波后，频带带宽经低通、高通滤波后，频带带宽一倍，一倍， 其抽样率可其抽样率可一倍。一倍。nmc, 1nmc, 1nmc,nmd,解释解释603)快速重构算法快速重构算法 mmmWVV1)(),()(),()(,ttsttstsnmnnmnmnnm)()(,tdtcnmnnmnmnnm)(,)()(, 1,ttdtckmnnmnmnnmnmkmnmnnmkmnmnnmdc, 1, 1,s(t)向向m尺度空间尺度空间 mmWV 和投影投影)(),(, 1, 1ttsckmkm而而61nnmnnmkmdnkgcnkhc,

38、1)2()2(,1, ( )( 2 )( )m nmkkth knt,1, ( )( 2 )( )m nmkktg kntMcMd1Mc1Md2c2d1c1d0c上述合成的图解上述合成的图解讨论：讨论： Mallat快速算法，用尺度、小波系数的离散卷积快速算法，用尺度、小波系数的离散卷积代替了代替了(t)、(t)的连续内积运算的连续内积运算62nmc,nmd,22)(nh)(ngnmc, 1器插值插值器高通滤波低通滤波快速重构实现方法快速重构实现方法63nnmnnmkmdnkgcnkhc, 1)2()2(尺度系数合成之物理含义与实现尺度系数合成之物理含义与实现mmxmkhkxkhky)()()

39、()()(比较比较卷积变量为卷积变量为 n ，卷积运算时，卷积运算时， 只有偶数项只有偶数项参与运算，参与运算，2k+1 项不参与运算，故项不参与运算，故 应在应在 2k+1 处作加零处理。处作加零处理。nmnmdc,)(),(kgkh 添零后，序列数添零后，序列数一倍称为倍滤波一倍称为倍滤波nmnmdc,尺度系数重构运算，即为尺度系数重构运算，即为 2插值插值 后，再与后，再与 卷积。卷积。nmnmdc,)(),(kgkh64分解与重构的总结：分解与重构的总结：nmkmknmcnhcknhc, 1, 1,*)()2(nmkmknmcngckngd, 1, 1,*)()2(分解分解nnmnnm

40、kmdnkgcnkhc, 1)2()2(重构重构654) 初始输入序列初始输入序列讨论讨论 OWT 塔式算法初始序列塔式算法初始序列 的确定方法。的确定方法。kc, 0理论上的方法理论上的方法,( ),( )m nm ncs tt工程上的方法工程上的方法 人对信号的观察力是有限的，即实际的尺度人对信号的观察力是有限的，即实际的尺度m是有限的，是有限的，工程上认为此时工程上认为此时 m 已足够小。已足够小。,( )( )m ntt 取取 （其中采样间隔（其中采样间隔 满足满足Nyquist准则）作为初始序列。准则）作为初始序列。)(, 0, 0nTscmnT66)()(Hkh)()(Hkh)()

41、(Gkg)()(*Gkg)(*H)(*G22nc, 0)(G)(H22nc, 0数字处理m=0时的时的 一次分解与重构实现框图一次分解与重构实现框图5) 分解与合成的实现分解与合成的实现676) 系数分解的频率空间剖分系数分解的频率空间剖分110WVV2W3W3V1W)(H)(G00V1V2V1V122WWV1233WWWV2V频率空间的剖分频率空间的剖分68不同尺度下，位移参数不同尺度下，位移参数 的确定的确定bD2mbkT=Q2mbT D=0,00 4000 kmbTcV=D=1,11 2 2000 nmbTdW=D=3,38 500 kbTcVD=2,22 4 1000 nmbTdW=D

42、=3,33 8 500 mmbTdW=D=7) 系数分解的时间位移空间剖分系数分解的时间位移空间剖分结果：结果：69DWT 相当于相当于 FSnmnmdcts,)(DTWT 相当于相当于 DFTnmnmdckTs,)(DWT与与 DTWT 比较比较Mallat 塔式算法塔式算法 相当于相当于 FFT70设设 长度为长度为 N)(kTs最快)()(NOMallatDTWT慢最)(2NODFT快)log(较NNOFFT1logN一般DTWT 计算量计算量算法算法 计算量计算量 速度速度71CWT*1( , )( )stbW a bs tdtaa小波变换总结：小波变换总结：DTOWTMallat算法DWT*,( )( , ),( )( )msm nm nd nW m nss tt dt mnnmmtndts)()()(,nmkmknmcnhcknhc, 1, 1,*)()2(nmkmknmcngckngd, 1, 1,*)()2(nnmnnmkmdnkgcnkhc, 1)2()2(DOWT,( )( )( )mm nmns tdnt *,( )( , ),( )( )msmnmnd nW mnss tt dt72主要内容主要内容u多分辨分析与正交小波变换多分辨分析与正交小波变换u尺度函数与小波函数的性质尺度函数与